Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

29 §. A kontinuitási egyenlet

29 §. A kontinuitási egyenlet

A töltés időbeli változását adott térfogatban a

t ϱ d V

differenciálhányados adja meg. Másrészt ugyanezt az időegységre jutó megváltozást az adott térfogatból időegység alatt kijutó, illetve az abba beáramló töltésmennyiség határozza meg. A térfogatot határoló df felületelemen időegység alatt áthaladó töltés ϱvdf, ahol v a töltés sebessége a df felületelemet meghatározó pontban. A df vektor, ahogyan ez szokásos, a felület külső normálisának irányába, tehát a térfogatból kifelé mutat. Ezért ϱvdf pozitív, ha a töltés a térfogatból kimegy, negatív, ha abba bemegy. Az adott térfogatból időegység alatt kilépő teljes töltésmennyiség következésképpen ∮ϱvdf, ha az integrált a térfogatot határoló teljes zárt felületre terjesztjük ki.

A két kifejezést összevetve:

4.25. egyenlet - (29.1)

t ϱ d V = ϱ v d f .

A jobb oldalon azért áll negatív előjel, mert a bal oldal pozitív, ha az adott térfogatban az össztöltés nő. A töltésmegmaradást kifejező (29.1) egyenlet az integrálalakban felírt kontinuitási egyenlet. Mivel ϱv éppen az áramsűrűség, ezért (29.1) a

4.26. egyenlet - (29.2)

t ϱ d V = j d f .

alakban írható.

Felírjuk az egyenlet differenciális alakját is. (29.2) jobb oldalán a

jdf=divjdV

Gauss-tételt alkalmazva, kapjuk, hogy

divj+ϱtdV=0.

Mivel az integrálási térfogat tetszőleges, az integrandusnak el kell tűnnie:

4.27. egyenlet - (29.3)

div j + ϱ t = 0 .

Ez a kontinuitási egyenlet differenciális alakja.

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ϱ-nak δ-függvényekkel kifejezett (28.1) alakja automatikusan kielégíti a (29.3) egyenletet. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy egyetlen töltésről van szó, így

ϱ=eδ(rr0).

Az áramsűrűség ekkor

j=evδ(rr0),

ahol v a töltés sebessége. Képezzük a ∂ϱ∕∂t differenciálhányadost. A töltés mozgása során annak r0 helyzetvektora változik:

ϱt=ϱr0r0t

Itt ∂r0∕∂t éppen a töltés v sebessége. Mivel ϱ az r–r0 függvénye, azért

ϱr0=ϱr.

Következésképpen

ϱt=vgradϱ=divϱv

(a töltés v sebessége természetesen független r-től). Így a (29.3) egyenletet kapjuk.

(29.3) kontinuitási egyenlet négydimenziós alakja azt mondja, hogy a négyesáram négyesdivergenciája zérus:

4.28. egyenlet - (29.4)

j i x i = 0 .

Az előző szakaszban láttuk, hogy a teljes térben levő töltés az

1cjidSi

alakban írható, ahol az integrálás az x0=const hiperfelületre történik. Egy más időpillanatban az össztöltést ugyanez az integrál adja az x0 tengelyre merőleges másik hipersíkon. Könnyen igazolható, hogy a (29.4) egyenlet valóban a töltésmegmaradást fejezi ki: az ∫jidSi integrál értéke azonos, bármilyen x0=const hipersíkra integrálunk. Két különböző hipersíkra vett ∫jidSi integrál különbsége ∮jidSi alakba írható, ahol az integrált a vizsgált két hipersík által közrefogott négyestérfogatot körülvevő teljes zárt hiperfelületre kell képezni. (Az integrál a keresett különbségtől a végtelen távoli „oldal”-felületekre vett integrálban különbözik, ez azonban nulla, mert a végtelenben nincsenek töltések.) A (6.15) Gauss-tétel segítségével a különbség négyes térfogati integrállá írható át, és így

4.29. egyenlet - (29.5)

j i d S i = j i x i d Ω = 0 .

Ezt kellett bizonyítanunk.

A bizonyítás nyilván érvényben marad akkor is, ha az ∫jidSi kifejezésben az integrálást két tetszőleges végtelen hiperfelületre (nem feltétlenül olyanokra, amelyekre x0=const) végezzük, melyek a teljes (háromdimenziós) teret magukban foglalják. Látható tehát, hogy az (1/c)∫jidSi integrál értéke azonos (és a térben levő teljes töltést adja meg) tetszőleges ilyen hiperfelületre.

Már említettük (lásd a  18. §  5 számú lábjegyzetét), hogy szoros összefüggés van az elektrodinamika egyenleteinek mértékinvarianciája és a töltésmegmaradás törvénye között. Most még egyszer megmutatjuk ezt a hatás (28.6) kifejezésén. Ha az Ai→Ai–∂f∕∂xi helyettesítést végezzük, akkor a második taghoz az

1 c 2 j i f x i d Ω

integrál adódik. A töltés megmaradása, amit a (29.4) kontinuitási egyenlet fejez ki, lehetővé teszi, hogy az integrandust a (∂/∂xi)(fji) négyes divergencia alakjában írjuk.

Ezután a térfogati integrál a Gauss-tétel felhasználásával átírható a határoló hiperfelületekre vett integrállá; a hatás variációjával ezek az integrálok kiesnek, és így a mozgásegyenletek nem változnak.