Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

30 §. A Maxwell-féle második egyenletpár

30 §. A Maxwell-féle második egyenletpár

Ha a legkisebb hatás elvéből a téregyenleteket akarjuk származtatni, akkor a töltések mozgását adottnak kell feltételeznünk, és csak a mező potenciáljait kell variálnunk (ezek játsszák az anyagi rendszer „koordinátáinak” szerepét); ha a mozgásegyenleteket akarjuk felállítani, akkor fordított a helyzet: a mezőt tekintjük adottnak, és a részecske pályáját (világvonalát) variáljuk.

Most a (28.6) első tagjának variációja nulla, a második tagban a ji áramot nem kell variálni. Ezért

δ S = 1 c 1 c j i δ A i + 1 8 π F i k δ F i k d Ω = 0 .

(A második tag variációjánál figyelembe vettük, hogy FikδFik=FikδFik.) Az

F i k = A k x i A i x k

helyettesítéssel kapjuk, hogy

δ S = 1 c 1 c j i δ A i + 1 8 π F i k x i δ A k 1 8 π F i k x k δ A i d Ω .

A második tagban az i és k összegező indexeket felcseréljük, és az Fik=–Fik helyettesítést végezzük. Ekkor

δ S = 1 c 1 c j i δ A i 1 4 π F i k x k δ A i d Ω .

A második tagban parciálisan integrálunk, azaz a Gauss-tételt alkalmazzuk:

4.30. egyenlet - (30.1)

δ S = 1 c 1 c j i + 1 4 π F i k x k δ A i d Ω 1 4 π c F i k δ A i d S k .

A második tagot az integrálási tartomány határain kell venni. A koordinátákra vonatkozó integrálás végpontjai a végtelenben vannak, ahol a mező eltűnik. Az idő szerinti integrálás határain, azaz az adott kezdeti és végső időpontban a potenciálok variációja zérus, mivel a legkisebb hatás elve értelmében a potenciálok ezekben az időpontokban adottak. (30.1) második tagja tehát zérus, így:

1cji+14πFikxkδAidΩ=0.

Mivel a legkisebb hatás elve értelmében a δAi variációk tetszőlegesek, δAi együtthatójának a téridő minden pontján el kell tűnnie, azaz

4.31. egyenlet - (30.2)

F i k x k = 4 π c j i .

E négy egyenletet (i=0,1,2,3) háromdimenziós alakba írjuk át. i=1-re:

1cF10t+F11x+F12y+F13z=4πcj1.

A tenzorkomponenseket behelyettesítve, a következő egyenletet kapjuk:

1cExtHzy+Hyz=4πcjx.

Ez a következő két egyenlettel (i=2,3) együtt vektoriális alakban írható:

4.32. egyenlet - (30.3)

rot H = 1 c E t + 4 π c j .

Végül az i=0 egyenlet:

4.33. egyenlet - (30.4)

div E = 4 π ϱ .

(30.3) és (30.4) egyenletek alkotják a keresett második Maxwell-féle egyenletpárt.[34] Ezek az elsővel együtt teljesen meghatározzák az elektromágneses teret. A Maxwell-egyenletek az elektromágneses tér elméletének, az elektrodinamikának alapegyenletei.

Felírjuk az egyenleteket integrális alakban. (30.4)-et valamilyen térfogatra integrálva és az

div E d V = E d f

Gauss-tételt alkalmazva, az

4.34. egyenlet - (30.5)

E d f = 4 π ϱ d V

egyenletre jutunk. Az elektromos tér zárt felületre képzett fluxusa tehát a felület által határolt térfogatban levő össztöltés 4π-szerese.

(30.3)-at valamilyen nyitott felületre integrálva és a

rot H d f = H d l

Stokes-tételt alkalmazva,

4.35. egyenlet - (30.6)

H d l = 1 c t E d f + 4 π c j d f

egyenletet kapjuk. Az

4.36. egyenlet - (30.7)

1 4 π E t

mennyiséget „eltolási áramnak” is nevezzük.(30.6)-ot a

4.37. egyenlet - (30.8)

H d l = 4 π c j + 1 4 π E t d f

alakban írva, látható, hogy a mágneses tér valamilyen görbére vett cirkulációja a görbe által határolt felületen keresztülfolyó valódi áram és „eltolási áram” 4π∕c-szerese.

A Maxwell-egyenletekből levezethető a már ismert (29.3) kontinuitási egyenlet. Képezzük (30.3) mindkét oldalának divergenciáját:

div rot H = 1 c t div E + 4 π c div j .

De divrotH≡0 és (30.4) szerint divE=4πϱ. Így ismét a (29.3) egyenlethez jutunk. (30.2)-ből négydimenziós alakban:

2 F i k x i x k = 4 π c j i x i

Az i, k indexeiben szimmetrikus ∂2∕∂xi∂xk operátor az Fik antiszimmetrikus tenzort azonosan zérussá teszi, így a négydimenziós alakban felírt (29.4) kontinuitási egyenletre jutunk.



[34] A Maxwell-egyenleteknek a vákuumbeli elektromágneses térre és a benne levő ponttöltésekre alkalmazható alakját Lorentz állította fel.