Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

31 §. Energiasűrűség és energiaáram

31 §. Energiasűrűség és energiaáram

Szorozzuk meg a (30.3), ill. (26.1) egyenlet mindkét oldalát E-vel, ill. H-val, és az így kapott egyenleteket adjuk össze:

1 c E E t + 1 c H H t = 4 π c j E ( H rot E E rot H ) .

A vektoranalízis ismert

div ( a × b ) = b rot a a rot b

összefüggését felhasználva, a fenti egyenlőség a következő alakba írható át:

1 2 c t ( E 2 + H 2 ) = 4 π c j E div ( E × H ) ,

vagy

4.38. egyenlet - (31.1)

t E 2 + H 2 8 π = j E div S .

Az

4.39. egyenlet - (31.2)

S = c 4 π E × H

vektort Poynting-vektornak nevezik.

Integráljuk (31.1)-et valamilyen térfogatra, és a jobb oldal második tagjára alkalmazzuk Gauss tételét. Ekkor a következő egyenlőséget kapjuk:

4.40. egyenlet - (31.3)

t E 2 + H 2 8 π d V = j E d V div S d f .

Ha a teljes térfogatra integrálunk, akkor a felületi integrál eltűnik (a tér a végtelenben nulla). Az ∫jEdV integrált az ∑evE összeg alakjában írhatjuk, a térben levő összes töltésre kell összegezni. (17.7) szerint:

e v E = d d t kin .

Ekkor (31.3) a következő egyenletbe megy át:

4.41. egyenlet - (31.4)

t E 2 + H 2 8 π d V + kin = 0 .

Tehát az elektromágneses tér és a benne levő töltések zárt rendszerére a kapcsos zárójelben álló mennyiség megmarad. A kifejezés második tagja a kinetikus energia (a részecskék nyugalmi energiájával együtt; lásd a  17. §  4 számú lábjegyzetét), következésképpen az első tag az elektromágneses tér energiája. A

4.42. egyenlet - (31.5)

W = E 2 + H 2 8 π

mennyiséget ezért az elektromágneses tér energiasűrűségének nevezhetjük; ez az erőtér (mező) egységnyi térfogatának energiája.

Ha (31.3)-t valamilyen véges térfogatra integráljuk, akkor a felületi integrál általában nem tűnik el, így az egyenletet a

4.43. egyenlet - (31.6)

t E 2 + H 2 8 π d V + kin = S d f

alakban írhatjuk, ahol most a kapcsos zárójelben álló mennyiségben csak a vizsgált térfogaton belül levő részecskékre kell összegezni. A bal oldalon a mező és a részecskék teljes energiájának időegység alatti megváltozása áll. Ezért a ∮Sdf integrált az adott térfogatot határoló felületen keresztülfolyó energiaáramnak kell tekintenünk, az S Poynting-vektor tehát az energiaáram-sűrűség vektora, az egységnyi felületen egységnyi idő alatt átáramló energiamennyiség.[35]



[35] Feltesszük, hogy a vizsgált térfogat felületén az adott időpillanatban nincsenek részecskék. Ellenkező esetben a jobb oldalon ki kellene írni a felületet keresztező részecskék által hordott energiaáramot is.