Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

39 §. Mozgás Coulomb-térben

39 §. Mozgás Coulomb-térben

m tömegű, e töltésű részecske mozgását vizsgáljuk egy másik e′ töltés erőterében; feltételezzük, hogy az utóbbi tömege olyan nagy, hogy mozdulatlannak tekinthető. Ekkor a feladat az, hogy az e töltés mozgását vizsgáljuk centrálszimmetrikus elektromos erőtérben, amelynek potenciálja φ=e′∕r.

A részecske teljes energiája:

= c p 2 + m 2 c 2 + α r ,

ahol α=ee′. A részecske mozgásának síkjában felvett polárkoordinátákkal, mint az a mechanikából ismeretes,

p 2 = J 2 r 2 + p r 2 ,

ahol pr az impulzus radiális komponense, J pedig a részecske állandó impulzusmomentuma. Ekkor

5.28. egyenlet - (39.1)

= c p r 2 + J 2 r 2 + m 2 c 2 + α r .

Kérdés, vajon mozgása során a részecske tetszőlegesen közel juthat-e a középponthoz. Nyilvánvaló, hogy nem, ha az e és e′ töltések taszítják egymást, azaz ha e és e′ egyező előjelűek. Továbbá vonzás esetén (ha e és e′ különböző előjelűek) sem lehetséges, ha Jc>|α|; valóban, ebben az esetben (39.1) első tagja mindig nagyobb a másodiknál, és r→0 esetén az egyenlőség jobb oldala végtelenné válna. Ellenben, ha Jc<|α|, akkor r→0 esetén a kifejezés értéke véges maradhat (pr természetesen végtelenhez tart). Így, ha

5.29. egyenlet - (39.2)

J c < | α | ,

akkor mozgása során a részecske belezuhan az őt vonzó töltésbe – ellentétben a nemrelativisztikus mechanikával, ahol Coulomb-térben ez a bezuhanás egyáltalán nem lehetséges (kivéve az J=0 esetet, amikor az e részecske egyenesen az e′ részecskére esik).

Coulomb-térben a töltés mozgásának teljes meghatározásához legcélszerűbb a Hamilton–Jacobi-egyenletből kiindulni. Vegyük fel a mozgás síkjában az r,φ polárkoordinátákat. A (16.11) Hamilton–Jacobi-egyenlet alakja most a következő:

1 c 2 S t + α r 2 + S r 2 + 1 r 2 S φ 2 + m 2 c 2 = 0 .

Keressük S-et az

S = t + J φ + f ( r ) ,

alakban, ahol ℰés J a mozgó részecske állandó energiája és impulzusmomentuma. A következő eredményt kapjuk:

5.30. egyenlet - (39.3)

S = t + J φ + 1 c 2 α r 2 J 2 r 2 m 2 c 2 d r .

A pályagörbét a ∂S∕∂J=const egyenlet határozza meg. (39.3) integrálásával a következő eredményeket kapjuk:

a) ha Jc>|α|, akkor

5.31. egyenlet - (39.4)

( c 2 J 2 α 2 ) 1 r = c ( J ) 2 m 2 c 2 ( J 2 c 2 α 2 ) cos φ 1 α 2 c 2 J 2 α ;

b) ha Jc<|α|, akkor

5.32. egyenlet - (39.5)

( α 2 c 2 J 2 ) 1 r = ± c ( J ) 2 + m 2 c 2 ( α 2 J 2 c 2 ) ch φ α 2 c 2 J 2 1 + α ;

c) ha Jc=|α|, akkor

5.33. egyenlet - (39.6)

2 α r = 2 m 2 c 4 φ 2 α c J 2 2 .

Az integrációs állandó φ kezdőértékének tetszőleges megválasztásában jelentkezik.

(39.4)-ben a gyök előjele lényegtelen, mivel ez is a cos argumentumában levő φ kezdőértékének megválasztásával kapcsolatos. Az egyenlet által meghatározott görbe, vonzás esetén (α<0) teljes egészében r véges értékein megy keresztül (véges mozgás), ha ℰ<mc2. Ha ℰ>mc2, akkor r végtelenné is válhat (a mozgás nem véges). A nemrelativisztikus mechanikában a véges mozgás zárt pályán (ellipszisen) való mozgásnak felel meg. A relativisztikus mechanikában a pályagörbe soha nem lehet zárt, hiszen (39.4)-ből látható, hogy a φ szöget 2π-vel megváltoztatva, a középponttól mért r távolság nem tér vissza a kiindulási értékhez. Ellipszis helyett a pályagörbe itt egy nem záródó „rozetta”. A nemrelativisztikus mechanika szerint Coulomb-térben a véges mozgás zárt pályán történik, a relativisztikus mechanikában viszont a Coulomb-tér elveszti ezt a tulajdonságát.

(39.5)-ben a gyök előtt a + előjelet kell választani α<0, a – előjelet α>0 esetén [a másik előjel annak felelne meg, hogy (39.1)-ben a gyök előjelét megváltoztatnánk].

α<0 esetén a (39.5) és (39.6) görbék spirálok, melyeknek r sugara nullához tart φ→∞ esetén. A töltés véges idő alatt zuhan be a koordináta-rendszer kezdőpontjába. Erről könnyen meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy az r koordináta időfüggését a ∂S∕∂ℰ=const egyenlet határozza meg; (39.3)-ból látható, hogy az időtartamot olyan integrál adja meg, amely r→0 esetén konvergál.

Feladatok

1. Határozzuk meg a taszító Coulomb-térben (α>0) mozgó töltés elhajlási szögét.

Megoldás. Az elhajlási szög, χ=π–2φ0, ahol φ0(39.4) trajektória két aszimptotája által bezárt szög. Az eredmény:

χ = π 2 c J c 2 J 2 α 2 arctg v c 2 J 2 α 2 c α ;

ahol v a töltés sebessége a végtelenben.

2. Coulomb-térben határozzuk meg a kisszögű szórás effektív hatáskeresztmetszetét.

Megoldás. A dσ hatáskeresztmetszet az adott dΩ térszögelembe (1 s alatt) szóródó részecskék számának és a szóródó részecskék áramsűrűségének (azaz a részecskenyalábra merőleges 1 cm2 területen 1 s alatt átmenő részecskék számának) hányadosa.

Az elektromos erőtéren áthaladó részecske χ elhajlási szögét a ϱ „ütközési paraméter” határozza meg. (Az ütközési paraméter a középpontnak attól az egyenestől való távolsága, amelyen a részecske mozogna, ha nem lenne elektromos erőtér.) Így

d σ = 2 π ϱ d ϱ = 2 π ϱ d ϱ d χ d χ = ϱ d ϱ d χ d Ω sin χ ,

ahol dΩ=2πsinχdχ (lásd az I. kötet 18. §-át). Az elhajlási szög (ha kicsi) egyenlőnek vehető az impulzusváltozás és az eredeti impulzusérték hányadosával. Az impulzus növekedése a töltésre a mozgás irányára merőlegesen ható erő időintegrálja; ez az erő közelítőleg (α/r2)(ϱ/r). Így

χ = 1 c + α ϱ d t ( ϱ 2 + v 2 t 2 ) 3 2 = 2 α p ϱ v

(v a részecske sebessége). Ebből kapjuk a kisszögű szórás hatáskeresztmetszetét (kis χ-re):

d σ = 4 α p v 2 d Ω χ 4 .

Nemrelativisztikus esetben p≈mv, és a fenti kifejezés megegyezik a Rutherford-képlet kis χ-re érvényes alakjával (lásd az I. kötet 19. §-át).