Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

40 §. Dipólmomentum

40 §. Dipólmomentum

Töltésrendszer terét vizsgáljuk a rendszer méreteihez képest nagy távolságban.

Olyan koordináta-rendszert használunk, amelynek kezdőpontja valahol a töltésrendszer belsejében van. Az egyes töltések helyvektorait ra-val jelöljük. A tér potenciálja az R0 helyvektorú pontban

5.34. egyenlet - (40.1)

φ = e a | R 0 r a |

(összegezni kell az összes töltésre); itt R0–ra-ra az ea töltéstől a potenciálpontba mutató helyvektor.

E kifejezést nagy R0 mellett kell vizsgálnunk (R0≫ra). Ezért ra∕R0, hatványai szerint sorba fejtjük, felhasználva az

f ( R 0 r ) = f ( R 0 ) r grad f ( R 0 )

képletet. (A gradiensben az R0 vektor végpontjának koordinátái szerint kell differenciálni.) Az elsőrendű tagokig bezárólag:

5.35. egyenlet - (40.2)

φ = e a R 0 e a r a grad 1 R 0 .

A

5.36. egyenlet - (40.3)

d = e a r a

összeget a töltésrendszer dipólmomentumának nevezzük. Lényeges, hogy ha ∑ea össztöltés nulla, akkor a dipólmomentum független a koordináta-rendszer kezdőpontjának megválasztásától. Valóban, ugyanazon töltés két különböző koordináta-rendszerben mért ra és ra′ helyvektora között az

ra=ra+a

összefüggés áll fenn, ahol a valamilyen állandó vektor. Ezért ha ∑ea=0, akkor a dipólmomentum mindkét koordináta-rendszerben azonos:

d=eara=eara+aea=d.

Ha a rendszer pozitív és negatív töltéseire, ill. azok helyvektoraira az ea+,ra+ és –ea–,ra– jelöléseket használjuk, akkor a dipólmomentum a

5.37. egyenlet - (40.4)

d = e a + r a + e a r a = R + e a + R e a

alakban írható, ahol

5.38. egyenlet - (40.5)

R + = e a + r a + e a + , R = e a r a e a

a pozitív és negatív „töltésközéppontok” helyvektorai. Ha ∑ea+=∑ea–=e, akkor

5.39. egyenlet - (40.6)

d = e R + ,

ahol R+–=R+–R– a negatív töltések középpontjától a pozitívakéhoz mutató helyvektor. Ha speciálisan csak két töltés van, akkor R+– az ezeket összekötő helyvektor.

Ha a rendszer össztöltése nulla, akkor az erőtér potenciálja nagy távolságokban:

5.40. egyenlet - (40.7)

φ = d 1 R 0 = d R 0 R 0 3 .

A térerősség:

E=graddR0R03=1R03 grad(dR0)(dR0)grad1R03

vagy végső alakban:

5.41. egyenlet - (40.8)

E = 3 ( n d ) n d R 0 3 ,

ahol n az R0 irányba mutató egységvektor. Hasznos lehet a következő alak is:

5.42. egyenlet - (40.9)

E = ( d ) 1 R 0 .

Olyan töltésrendszer erőterének potenciálja tehát, amelynek össztöltése nulla, nagy távolságokban a távolság négyzetével, térerőssége pedig a távolság köbével fordítottan arányos. A tér d irányára nézve tengelyszimmetrikus. A tengelyen (ezt választjuk z tengelynek) átmenő síkban a térerősség komponensei:

5.43. egyenlet - (40.10)

E z = d 3 cos 2 𝜃 1 R 0 3 , E x = d 3 sin 𝜃 cos 𝜃 R 0 3 .

Ebben a síkban a sugárirányú és érintőleges összetevők:

5.44. egyenlet - (40.11)

E R = d 2 cos 𝜃 R 0 3 , E 𝜃 = d sin 𝜃 R 0 3 .