Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

42 §. Töltésrendszer külső erőtérben

42 §. Töltésrendszer külső erőtérben

Külső elektromos térben levő töltésrendszert vizsgálunk. A külső erőtér potenciálját φ(r)-rel jelöljük. Az egyes töltések potenciális energiája eaφ(ra), a rendszer teljes potenciális energiája:

5.60. egyenlet - (42.1)

U = a e a φ ( r a ) .

A koordináta-rendszert ismét úgy választjuk, hogy kezdőpontja valahol a rendszer belsejében legyen; ra az ea töltés helyvektora ezekben a koordinátákban.

Feltételezzük, hogy a külső erőtér a töltésrendszer által elfoglalt tartományban keveset változik, vagyis az erőtér a töltésrendszer körül kvázihomogén. Az U energiát ekkor ra hatványai szerint sorba fejthetjük. Az

U=U(0)+U(1)+U(2)+

sor első tagja

5.61. egyenlet - (42.2)

U ( 0 ) = φ 0 a e a ,

ahol φ0 a potenciál értéke a koordináta-rendszer kezdőpontjában. Ebben a közelítésben a töltésrendszer energiája annyi, mintha az összes töltés egyetlen pontban lenne.

A sorfejtés második tagja

5.62. egyenlet - (42.3)

U ( 1 ) = ( grad φ ) 0 e a r a .

Ha a koordináta-rendszer kezdőpontjában a térerősség E0, a töltésrendszer dipólmomentuma pedig d, akkor

5.63. egyenlet - (42.4)

U ( 1 ) = d E 0 .

A töltésrendszerre a külső kvázihomogén erőtérben ható teljes erő második közelítésben

F=E0ea+(graddE)0.

Ha az össztöltés nulla, akkor az első tag eltűnik, és

5.64. egyenlet - (42.5)

F = ( d ) E ,

azaz az erőt a térerősség differenciálhányadosa (a kezdőpontban felvett érték) határozza meg. A töltésrendszerre ható teljes forgatónyomaték

5.65. egyenlet - (42.6)

M = r a × e a E 0 = d × E 0 ,

ezt tehát a térerősség határozza meg.

Tekintsünk két olyan rendszert, amelyek mindegyikének össztöltése nulla, dipólmomentumaik d1 és d2, egymástól való távolságuk nagy a saját méreteikhez képest. Meghatározzuk kölcsönhatásuk U potenciális energiáját. E célból vizsgálhatjuk az egyiket a másik által létrehozott erőtérben. Ekkor

U=d2E1,

ahol E1 az első rendszer erőtere. Behelyettesítve (40.8)-at, azt kapjuk, hogy

5.66. egyenlet - (42.7)

U = ( d 1 d 2 ) R 2 3 ( d 1 R ) ( d 2 R ) R 5 ,

ahol R a két töltésrendszert összekötő vektor.

Abban az esetben, amikor az egyik rendszer e össztöltése nem zérus, a fentihez hasonlóan a következőt kapjuk:

5.67. egyenlet - (42.8)

U = e d R R 3 ,

ahol R a dipólustól a töltéshez mutató vektor.

(42.1) sorfejtés következő tagja:

U(2)=12exαxβ2φ0xαxβ.

Itt, akárcsak a  41. §-ban, elhagytuk a töltésekre vonatkozó indexet; a potenciál második deriváltjának kezdőpontbeli értékét kell venni. A φ potenciál azonban kielégíti a

2φxα2=δαβ2φxαxβ=0

Laplace-egyenletet. Ezért írhatjuk, hogy

U(2)=122φxαxβexαxβ13δαβr2,

vagy végső alakban

5.68. egyenlet - (42.9)

U ( 2 ) = Q α β 6 2 φ 0 x α x β .

(42.2) sor általános tagja kifejezhető az előző paragrafusban meghatározott Qm(l)2l-multipólmomentummal. Ehhez a φ(r) potenciált először sorba kell fejteni a gömbfüggvények szerint, a sorfejtés általános alakja:

5.69. egyenlet - (42.10)

φ ( r ) = l = 0 r l m = l l a l m 4 π 2 l + 1 Y l m ( 𝜃 , φ ) ,

ahol r, 𝜃, φ a pont gömbkoordinátái, alm pedig állandó együtthatókat jelöl. Most már képezhetjük a (42.1) összeget, melyre a (41.13) definíció figyelembevételével a következőt kapjuk:

5.70. egyenlet - (42.11)

U ( l ) = m = l l a l m Q m ( l ) .