Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

43 §. Sztatikus mágneses tér

43 §. Sztatikus mágneses tér

Korlátozott mozgást végző töltések által létrehozott mágneses teret vizsgálunk, a részecskék az egész idő alatt a tér véges tartományában maradnak, impulzusaik is végesek. Az ilyen mozgás stacionárius jellegű, érdemes megvizsgálni a töltések által létrehozott H¯ átlagos (időbeli átlag) mágneses térerősséget; H¯ csak a koordináták függvénye, az időnek nem, azaz állandó.

Az átlagos mágneses teret meghatározó egyenletet úgy kapjuk, hogy a

div H = 0 , rot H = 1 c E t + 4 π c j

Maxwell-egyenleteket idő szerint átlagoljuk. Az elsőből egyszerűen

5.71. egyenlet - (43.1)

div H ¯ = 0

adódik. A második egyenletben a ∂E∕∂t differenciálhányados átlagértéke nulla, mint minden véges tartományban változó mennyiség differenciálhányados átlagértéke (lásd a  35. §  9 számú lábjegyzetét). Ezért a második Maxwell-egyenlet alakja most

5.72. egyenlet - (43.2)

rot H ¯ = 4 π c j ¯ .

A fenti két egyenlet határozza meg az állandó H¯ teret.

Bevezetjük az A¯ átlagos vektorpotenciált,

rot A ¯ = H ¯ .

Ezt (43.2)-be helyettesítve a

grad div A ¯ A ¯ = 4 π c j ¯ .

egyenletet kapjuk.

Tudjuk azonban, hogy a vektorpotenciál meghatározása nem egyértelmű, ezért tetszőleges mellékfeltétel kiszabható rá. Válasszuk tehát úgy az A¯ potenciált, hogy teljesüljön a

5.73. egyenlet - (43.3)

div A ¯ = 0

egyenlőség. Az állandó mágneses tér vektorpotenciálját meghatározó egyenlet ekkor a következő:

5.74. egyenlet - (43.4)

A ¯ = 4 π c j ¯ .

Az egyenlet megoldását könnyen megkapjuk, ha észrevesszük, hogy (43.4) teljesen analóg az állandó elektromos tér skalárpotenciáljára vonatkozó (36.4) Poisson-egyenlettel, a ϱ töltéssűrűség helyett a j¯∕c áramsűrűség szerepel. A Poisson-egyenlet (36.8) megoldásához hasonlóan írhatjuk, hogy

5.75. egyenlet - (43.5)

A ¯ = 1 c j ¯ R d V ,

ahol R a dV térfogatelem és a potenciálpont távolsága.

(43.5) képletben az integrálásról a töltések szerinti összegezésre térhetünk át, j helyett ϱv-t írva, és szem előtt tartva, hogy a töltések pontszerűek. Emellett nem szabad elfelejteni, hogy a (43.5) integrálban R egyszerű integrációs változó, arra az átlagolás természetesen nem vonatkozik. Ha a ∫j∕RdV integrál helyett a ∑(eava/Ra) összeget írjuk, akkor az egyes töltések Ra helyvektorai a töltések mozgása során változnak. Ezért

5.76. egyenlet - (43.6)

A ¯ = 1 c e a v a ¯ R a ,

ahol az átlagolást az egész vonal alatti kifejezésre kell végezni.

A ¯ ismeretében a térerősség

H¯= rotA¯= rot1cj¯RdV.

A rot operációt a megfigyelési pont koordinátái szerint kell végezni. Ezért a rot bevihető az integráljel alá, a differenciálásnál j állandónak vehető. Felhasználva az ismert

rotfa=frota+ gradf×a

képletet, amelyben f, ill. a tetszőleges skalár, ill. vektor, a következőket kapjuk:

rotj¯R= grad1R×j¯=j¯×RR3,

következésképpen

5.77. egyenlet - (43.7)

H ¯ = 1 c j ¯ × R R 3 d V .

(R a dV térfogatelemből a megfigyelési pontba mutató vektor.) Ez a Biot–Savart-törvény.