Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

44 §. Mágneses momentum

44 §. Mágneses momentum

A stacionáriusan mozgó töltések rendszere által létrehozott átlagos mágneses teret vizsgáljuk a töltésrendszertől nagy távolságban.

A koordináta-rendszer kezdőpontját valahol a töltésrendszeren belül vesszük fel, mint ahogyan a  40. §-ban tettük. Az egyes töltésekhez mutató helyvektorokat ra-val jelöljük. R0 annak a pontnak helyvektora, amelyben a térerősséget keressük. Ekkor R0–ra az ea töltéstől a megfigyelési pontba mutató vektor. (43.6) szerint a vektorpotenciál:

A ¯ = 1 c e a v a ¯ | R 0 r a | .

Sorba fejtjük e kifejezést ra hatványai szerint ugyanúgy, mint a  40. §-ban. Az elsőrendű tagokig bezárólag (az a indexet a rövidség kedvéért elhagyjuk):

A ¯ = 1 c R 0 e v ¯ 1 c e v r 1 R 0 ¯ .

Az első tagban

e v ¯ = d d t e r ¯

írható. A véges intervallumban változó ∑er mennyiség differenciálhányadosának átlagértéke zérus. Ezért csak A¯ második tagja marad meg:

A ¯ = 1 c e v r 1 R 0 ¯ = 1 c R 0 3 e v ( r R 0 ) ¯ .

Átalakítjuk ezt a kifejezést. Figyelembe véve, hogy v=ṙ, a következőket írhatjuk (R0 állandó vektor):

e ( R 0 r ) v = 1 2 d d t e r ( r R 0 ) + 1 2 e [ v ( r R 0 ) r ( v R 0 ) ] .

Beírva ezt A¯ kifejezésébe, az első tag (az idő szerint képzett differenciálhányados) ismét eltűnik, így azt kapjuk, hogy

5.78. egyenlet - (44.1)

A ¯ = 1 2 c R 0 3 e [ v ( r R 0 ) ¯ r ( v R 0 ) ¯ ] .

Bevezetjük az

5.79. egyenlet - (44.2)

𝖒 = 1 2 c e r × v

vektort, ezt hívjuk a rendszer mágneses momentumának. Ezzel

5.80. egyenlet - (44.3)

A ¯ = 𝖒 ¯ × R 0 R 0 3 = 1 R 0 × 𝖒 ¯ .

A vektorpotenciál ismeretében a mágneses térerősség könnyen meghatározható. A

rot a × b = ( b ) a ( a ) b + a div b b div a

képlet segítségével azt kapjuk, hogy

H¯= rotA¯= rot𝖒¯×R0R03=𝖒¯divR0R03(𝖒¯)R0R03.

A két tagot külön-külön kiszámítjuk:

divR0R03=R0 grad1R03+1R03divR0=0,(𝖒¯)R0R03=1R03(𝖒¯)R0+R0𝖒¯1R03=𝖒¯R033R0(𝖒¯R0)R05.

Így

5.81. egyenlet - (44.4)

H ¯ = 3 n ( 𝖒 ¯ n ) 𝖒 ¯ R 0 3

ahol n most is az R0 irányba mutató egységvektor. Látjuk, hogy a mágneses térerősség ugyanúgy fejezhető ki a mágneses momentum segítségével, mint az elektromos térerősség az elektromos dipólmomentummal [lásd a (40.8) egyenletet].

Ha a töltés és a tömeg hányadosa a rendszer mindegyik töltésére azonos, akkor

𝖒=12cer×v=e2mcmr×v.

Ha mindegyik töltés sebességéré v≪c, akkor mv a töltés p impulzusa, és

5.82. egyenlet - (44.5)

𝖒 = e 2 m c r × p = e 2 m c J ,

ahol J=∑r×p a rendszer mechanikai impulzusmomentuma. Ebben az esetben tehát a mágneses momentum és az impulzusmomentum hányadosa állandó, és e∕2mc-vel egyenlő.

Feladat

Határozzuk meg a mágneses momentum és az impulzusmomentum hányadosát két töltésből álló rendszerre (a sebességekre fennáll, hogy v≪c).

Megoldás. A koordináta-rendszer kezdőpontját a két részecske tömegközéppontjában vesszük fel, ekkor m1r1+m2r2=0, és p1=–p2=p, ahol p a relatív mozgás impulzusa. Ezeket felhasználva azt kapjuk, hogy

𝖒 = 1 2 c e 1 m 1 2 + e 2 m 2 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 J .