Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

45 §. A Larmor-tétel

45 §. A Larmor-tétel

Külső, állandó, homogén mágneses térben levő töltésrendszert vizsgálunk. A rendszerre ható, időben átlagolt

F ¯ = e c v × H ¯ = d d t e c r × H ¯

erő eltűnik, mint minden korlátos tartományon belül változó mennyiség idő szerinti differenciálhányadosa. A forgatónyomaték átlagértéke,

M ¯ = e c r × ( v × H ) ¯

nullától különböző. M kifejezhető a töltésrendszer mágneses momentumával; a kettős vektorszorzatot felbontva, írhatjuk, hogy

M = e c { v ( r H ) H ( v r ) } = e c v ( r H ) 1 2 H d d t r 2 .

Átlagolásnál a második tag eltűnik, ezért

M ¯ = e c v ( r H ) ¯ = 1 2 c e { v ( r H ) ¯ r ( v H ) } .

[az utóbbi transzformáció ekvivalens a (44.3) levezetésekor végzettel], vagy végső, alakban

5.83. egyenlet - (45.1)

M ¯ = 𝖒 ¯ × H .

Felhívjuk a figyelmet az elektromos eset (42.6) képletével fennálló analógiára.

Külső, homogén, állandó mágneses erőtérben levő töltésrendszer Lagrange-függvénye (a zárt rendszer Lagrange-függvényéhez képest) egy további tagot tartalmaz:

5.84. egyenlet - (45.2)

L H = e c A v = e 2 c ( H × r ) v = e 2 c ( r × v ) H .

[Felhasználtuk a homogén tér vektorpotenciáljára vonatkozó (19.4) kifejezést.] A rendszer mágneses momentumát bevezetve, írhatjuk, hogy

5.85. egyenlet - (45.3)

L H = 𝖒 H .

Az elektromos térrel fennálló analógia ismét megtalálható: homogén elektromos térben levő zérus össztöltésű rendszer Lagrange-függvénye az

L E = d E

tagot tartalmazna, ez a töltésrendszer potenciális energiájának –1-szerese (lásd a  42.§-t).

Valamilyen nyugalomban levő részecske által létrehozott gömbszimmetrikus elektromos erőtérben (v≪c sebességgel) korlátozott mozgást végző töltésrendszert vizsgálunk.

A nyugvó koordináta-rendszerről a mozdulatlan részecskén átmenő tengely körül egyenletesen forgó rendszerre térünk át. A részecske eredeti és új rendszerbeli v és v′ sebessége között az ismert

v = v + Ω × r

összefüggés áll fenn, ahol r a részecske helyvektora, Ω a forgó koordináta-rendszer szögsebessége. A nyugvó rendszerben a töltésrendszer Lagrange-függvénye

L = m v 2 2 U ,

ahol U magában foglalja a töltések potenciális energiáját külső elektromos térben és az egymással való kölcsönhatás energiáját is. U a töltések nyugvó részecskétől és egymástól mért távolságainak függvénye: a forgó koordináta-rendszerre való áttérés során ezek nyilvánvalóan nem változnak. Ezért a Lagrange-függvény alakja az új rendszerben a következő:

L = m 2 ( v + Ω × r ) 2 U ,

Feltesszük, hogy az e∕m hányados minden részecskére azonos. Legyen

5.86. egyenlet - (45.4)

Ω = e 2 m c H .

Ekkor elegendően kicsi H mellett (amikor a H2-es tagok elhanyagolhatók) a Lagrange-függvény alakja a következő:

L=mv2212ce(H×r)vU,

Látható, hogy ez megegyezik azzal a Lagrange-függvénnyel, amely a vizsgált töltések mozgását írná le nyugvó vonatkoztatási rendszerben, állandó mágneses térben [vö. (45.2)-vel].

Arra az eredményre jutottunk tehát, hogy gömbszimmetrikus elektromos térben és gyenge homogén mágneses térben korlátozott mozgást végző, azonos e∕m hányadosú töltések rendszere ugyanúgy viselkedik, mintha a mágneses tér nem létezne, de a töltésrendszer egy (45.4) szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben lenne. Ez Larmor tétele. Az Ω=eH∕2mc szögsebességet Larmor-frekvenciának nevezik.

A kérdést más szempontból is megvizsgálhatjuk. Elegendően gyenge mágneses erőtérben a frekvencia az adott töltésrendszer véges mozgásának frekvenciájához képest kicsi, a rendszerre vonatkozó mennyiségeket átlagolhatjuk a 2π∕Ω periódushoz képest kis időtartamra. A mennyiségek időbeli változása lassú (kis Ω frekvenciájú) lesz.

Vizsgáljuk a rendszer átlagos mechanikai J impulzusmomentumának változását. A mechanika ismert egyenlete szerint J̇ differenciálhányados a rendszerre ható erők M forgatónyomatékával egyenlő. Ezért a (45.1) képlet segítségével írhatjuk, hogy

d J ¯ d t = M ¯ = 𝖒 ¯ × H

Ha az e∕m hányados a rendszer minden részecskéjére nézve azonos, akkor a mechanikai impulzusmomentum és a mágneses momentum arányos egymással, s a (44.5) és (45.4) képletek szerint

5.87. egyenlet - (45.5)

d J ¯ d t = Ω × J ¯ .

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az J¯ vektor (és ezzel együtt az 𝖒¯ mágneses momentum) –Ω szögsebességgel forog a tér iránya körül, J¯ abszolút értéke és az erőtér irányával bezárt szöge nem változik. (Ez a Larmor-precesszió.)