Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

6. fejezet - ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

6. fejezet - ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

46 §. A hullámegyenlet

Vákuumban az elektromágneses tér meghatározásánál a Maxwell-egyenletekbe ϱ=0-t és j=0-t kell írni. Az egyenletek alakja ekkor a következő:

6.1. egyenlet - (46.1)

rot E = 1 c H t , div H = 0 ,

6.2. egyenlet - (46.2)

rot H = 1 c E t , div E = 0 .

Ezeknek az egyenleteknek létezhet zérustól különböző megoldása. Ez azt jelenti, hogy elektromágneses tér akkor is lehet, ha semmiféle töltés sincs jelen.

A töltések nélküli vákuumbeli elektromágneses tereket elektromágneses hullámoknak nevezzük. A következőkben az ilyen erőterek tulajdonságait tanulmányozzuk.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ezek az erőterek feltétlenül időben változóak. Valóban: az ellenkező esetben ∂H∕∂t=∂E∕∂t=0, és a (46.1)(46.2) egyenletek az állandó mezőt leíró (36.1)(36.2) és (43.1)(43.2) egyenletekbe mennek át, amelyekben most ϱ=0,j=0. Az egyenletek (36.8) és (43.5) által meghatározott megoldásai azonban ϱ=0 és j=0 esetén eltűnnek.

Levezetjük az elektromágneses hullámok potenciáljait meghatározó egyenleteket.

Mint már tudjuk, a potenciálok nem egyértelműek, mindig kiszabható valamilyen mellékfeltétel. Válasszuk az elektromágneses hullámok skalárpotenciálját zérusnak:

6.3. egyenlet - (46.3)

φ = 0 .

Ekkor

6.4. egyenlet - (46.4)

E = 1 c A t , H = rot A .

E két kifejezést (46.2) első egyenletébe helyettesítve, a következőt kapjuk:

6.5. egyenlet - (46.5)

rot rot A = A + grad div A = 1 c 2 2 A t 2 .

Annak ellenére, hogy egy mellékfeltételt már kikötöttünk, az A potenciál még mindig nem egyértelmű. Nevezetesen tetszőleges, időtől független függvény gradiensét hozzáadhatjuk (úgy, hogy közben φ-t nem változtatjuk). Speciálisan az elektromágneses hullám potenciálja megválasztható úgy, hogy a

6.6. egyenlet - (46.6)

div A = 0

teljesüljön. Valóban, E(46.4) kifejezését a divE=0 egyenletbe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

divAt=tdivA=0,

tehát divA csak a koordináták függvénye. Ez a függvény mindig zérussá tehető úgy, hogy A-hoz hozzáadjuk egy megfelelő, időtől független függvény gradiensét.

(46.5) egyenlet alakja ekkor a következő:

6.7. egyenlet - (46.7)

A 1 c 2 2 A t 2 = 0 .

Ez az elektromágneses hullámok potenciálját meghatározó egyenlet. Neve: D’Alembert-egyenlet vagy hullámegyenlet.[46]

(46.7)-re a rot és ∂∕∂t operációt alkalmazva, meggyőződhetünk arról, hogy az E és H térerősségek ugyanilyen hullámegyenletet elégítenek ki.

Megismételjük a hullámegyenlet levezetését négydimenziós formában. E célból a második Maxwell-egyenletpárt a

F i k x k = 0

alakban írjuk fel. [Ez a (30.2) egyenlet ji=0 esetén.] Beírva ide Fik-nak a potenciállal kifejezett

F i k = A k x i A i x k

alakját, azt kapjuk, hogy

6.8. egyenlet - (46.8)

2 A k x i x k 2 A i x k x k = 0 .

Kössük ki a

6.9. egyenlet - (46.9)

A k x k = 0 .

mellékfeltételt (ezt Lorentz-feltételnek, az ezt kielégítő potenciálokat Lorentz-mértékben megadott potenciáloknak hívjuk). Ekkor a (46.8) egyenlet első tagja eltűnik, és a következő marad:

6.10. egyenlet - (46.10)

2 A i x k x k g k l 2 A i x k x l = 0

Ez a négydimenziós alakban felírt hullámegyenlet.[47]

(46.9) feltétel háromdimenziós alakban a következő:

6.11. egyenlet - (46.11)

1 c φ t + div A = 0 .

Ez általánosabb, mint az előbb használt φ=0, divA=0 feltételek; ez utóbbiakat kielégítő potenciálok természetesen (46.11)-et is kielégítik. A Lorentz-feltétel azonban relativisztikusan invariáns: ha a potenciálok teljesítik ezt egy vonatkoztatási rendszerben, akkor teljesítik minden más rendszerben is. [A (46.3) és (46.6) feltételek a vonatkoztatási rendszer transzformációja során általában sérülnek.]



[46] A hullámegyenletet néha a □A=0 alakban írják, ahol □=–(∂2/∂xi∂xi)=△–(1/c2)(∂2/∂t2) az ún. D’Alembert-operátor.

[47] Meg kell jegyeznünk, hogy a (46.9) feltétel nem határozza meg teljesen egyértelműen a potenciálokat. Nevezetesen A-hoz gradf hozzáadható, φ-ből egyidejűleg (1/c)(∂f/∂t) levonható, az f függvény azonban nem tetszőleges; mint arról könnyen meggyőződhetünk, ki kell elégítenie a □f=0 hullámegyenletet.