Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

48 §. Monokromatikus síkhullám

48 §. Monokromatikus síkhullám

Az elektromágneses hullámok egyik fontos speciális esete az, amikor a térerősség az idő egyszerű periodikus függvénye. Az ilyen hullámot monokromatikusnak hívjuk. A monokromatikus hullámban minden mennyiség (potenciálok, térkomponensek) időfüggését egy cos(ωt+α) tényező írja le, ahol ω a hullám körfrekvenciája (vagy egyszerűen frekvenciája).

A terek hullámegyenletében szereplő idő szerint képzett második differenciálhányados most ∂2f∕∂2t=–ω2f, így a monokromatikus hullám térbeli eloszlását a

6.23. egyenlet - (48.1)

f + ω 2 c 2 f = 0 .

egyenlet határozza meg.

Síkhullámban (amely az x tengely mentén terjed) a térerősség csak t–(x/c) függvénye. Ha tehát a síkhullám monokromatikus, benne a térerősség t–(x/c) egyszerű periodikus függvénye. Az ilyen hullám vektorpotenciálját célszerű egy komplex kifejezés valós részeként felírni:

6.24. egyenlet - (48.2)

A = A 0 e i ω t x c .

Itt A0 valamilyen komplex állandó vektor. Nyilvánvaló, hogy ugyanilyen alakúak az E és H térerősségek is azonos ω frekvenciával. A

6.25. egyenlet - (48.3)

λ = 2 π c ω

mennyiséget hullámhossznak nevezzük; ez a tér x tengely menti változásának periódusa adott t időpontban.

A

6.26. egyenlet - (48.4)

k = ω c n

vektor neve hullámvektor. Ezzel (48.2) az

6.27. egyenlet - (48.5)

A = A 0 e i ( k r ω t ) .

alakban írható. E kifejezés független a koordinátatengelyek megválasztásától. A kitevőben az i mellett álló tényezőt a hullám fázisának szokás nevezni.

Mindaddig, amíg a mennyiségeket csak lineáris operációknak vetjük alá, nem kell kiírnunk a valós rész jelölését, dolgozhatunk magukkal a komplex mennyiségekkel.[48] Így (47.3)-ba az

A=A0ei(krωt).

kifejezést helyettesítve, kapjuk a monokromatikus síkhullám vektorpotenciálja és a térerősségek között fennálló

6.28. egyenlet - (48.6)

E = i k A , H = i k × A

összefüggéseket.

A továbbiakban részletesen vizsgáljuk a monokromatikus hullám terének irányát. Konkrétan az

E=E0ei(krωt).

térerősségről beszélünk (az alábbiak természetesen éppen így vonatkoznak a mágneses térre is). E0 valamilyen komplex vektor. Négyzete, E02 általában valamilyen komplex szám. Ha e szám argumentuma –2α (azaz E02=|E02|e–2iα),akkor az

6.29. egyenlet - (48.7)

E 0 = b e i α

egyenlőséggel definiált b vektor négyzete, b2=|E0|2 valós. E definícióval

6.30. egyenlet - (48.8)

E = b e i ( k r ω t α ) .

Írjuk b-t a

b=b1+ib2

alakban, ahol b1 és b2 két valós vektor. Mivel b2=b12–b22+2ib1b2 szükségszerűen valós mennyiség, ezért b1b2=0, azaz a b1 és b2 vektorok merőlegesek egymásra. Mutasson az y tengely b1 irányába (az x tengely a hullám terjedési iránya). Ekkor (48.8)-ból

6.31. egyenlet - (48.9)

E y = b 1 cos ( ω t k r + α ) , E z = ± b 2 sin ( ω t k r + α ) ,

az előjel + vagy – aszerint, hogy a b2 vektor a pozitív vagy negatív z tengely irányába mutat. (48.9)-ből következik, hogy

6.32. egyenlet - (48.10)

E y 2 b 1 2 + E z 2 b 2 2 = 1 .

Látjuk tehát, hogy az elektromos térerősség vektora a tér minden pontjában a hullám terjedési irányára merőleges síkban forog, végpontja a (48.10) ellipszist írja le. Az ilyen hullámot elliptikusan polározottnak hívjuk. A forgás egy x tengelyű csavarmenettel egyező vagy azzal ellentétes irányban megy végbe, aszerint, hogy (48.9)-ben + vagy – előjel szerepel.

Ha b1=b2, akkor a (48.10) ellipszis körbe megy át, azaz az E vektor nagysága a forgás közben nem változik. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a hullám cirkulárisan polározott. Az y és z tengelyt nyilván tetszőlegesen választhatjuk. Megjegyezzük, hogy az ilyen hullámban az E0 komplex amplitúdó y és z komponensének hányadosa;

6.33. egyenlet - (48.11)

E 0 z E 0 y = ± i ,

annak megfelelően, hogy a forgás iránya a csavarmenet irányával egyező vagy ellentétes (jobbra és balra polarizált hullám).[49]

Végül, ha b1 vagy b2 zérus, akkor a hullám tere mindig és mindenhol párhuzamos (vagy ellentétes) egy adott iránnyal. A hullámot ebben az esetben lineárisan polarizáltnak vagy síkban polarizáltnak nevezik. Az elliptikusan polározott hullám nyilvánvalóan két lineárisan polározott hullám szuperpozíciójának tekinthető.

Visszatérünk a hullámvektor meghatározásához, és bevezetjük a négydimenziós hullámvektort a következő komponensekkel:

6.34. egyenlet - (48.12)

k i = ω c , k .

Hogy ezek a mennyiségek valóban négyesvektort alkotnak, az már abból is nyilvánvaló, hogy az xi négyesvektorral szorozva skalár adódik. Ez a hullám fázisa:

6.35. egyenlet - (48.13)

k i x i = ω t k r .

(48.4) és (48.12) definíciókból látható, hogy a négyes hullámvektor négyzete zérus:

6.36. egyenlet - (48.14)

k i k i = 0 .

Ez az összefüggés közvetlenül adódik abból is, hogy az

A=A0 exp(ikixi).

kifejezésnek ki kell elégítenie a (46.10) hullámegyenletet.

Mint minden síkhullámnál, az x tengely mentén terjedő monokromatikus síkhullámnál is az energia-impulzus-tenzornak csak a következő komponensei különböznek nullától (lásd a  47. §-t):

T 0 0 = T 0 1 = T 1 1 = W .

Ezek az egyenlőségek a négyes hullámvektor segítségével tenzoralakban írhatók:

6.37. egyenlet - (48.15)

T i k = W c 2 ω 2 k i k k .

Végül a négyes hullámvektor transzformációs törvényének felhasználásával könnyen levezethető a Doppler-jelenség: a megfigyelőhöz képest mozgó forrás által kibocsátott hullám ω frekvenciája megváltozik ugyanennek a forrásnak K0 nyugalmi rendszerében mért ω0 „sajátfrekvenciájához” képest.

Legyen V a forrás (azaz a K0 vonatkoztatási rendszer) sebessége K-hoz képest. A négyesvektorok általános transzformációs szabályai szerint

k ( 0 ) 0 = k 0 V c k 1 1 V 2 c 2 .

Beírva ide a k0=ω∕c,k′=kcosα=(ω/c)cosα kifejezéseket (α a hullám kibocsátásának iránya és a forrás sebességének szöge a K rendszerben), ω-t ω0-val kifejezve azt kapjuk, hogy

6.38. egyenlet - (48.16)

ω = ω 0 1 V 2 c 2 1 V c cos α .

Ez a keresett képlet. V≪c esetén, ha α nincs túl közel π∕2-höz,

6.39. egyenlet - (48.17)

ω ω 0 1 + V c cos α .

Ha α=π∕2, akkor

6.40. egyenlet - (48.18)

ω = ω 0 1 V 2 c 2 ω 0 1 V 2 2 c 2 ;

ebben az esetben a frekvencia relatív megváltozása V∕c négyzetével arányos.

Feladatok

1. Határozzuk meg a polarizációs ellipszis tengelyeinek hosszát az E0 komplex amplitúdó segítségével.

Megoldás. A feladat a valós négyzetű b=b1+ib2 vektor meghatározása. (48.7)-ből

6.41. egyenlet - (1)

E 0 E 0 = b 1 2 + b 2 2 , E 0 × E 0 = 2 i b 1 × b 2 ,

vagy

b12+b22=A2+B2,b1b2=ABsinδ,

ahol az

|E0y|=A,|E0z|=B,E0zB=E0yAeiδ

jelöléseket vezettük be E0y és E0z abszolút értékére és a közöttük levő (δ) fáziskülönbségre. Ebből

6.42. egyenlet - (2)

b 1 , 2 = A 2 + B 2 + 2 A B sin δ ± A 2 + B 2 2 A B sin δ ,

amivel a polarizációs ellipszis féltengelyeinek hosszát meghatároztuk.

Irányuk meghatározásához (tetszőleges y, z tengelyek mellett) a

{(E0b1)(E0b2)}=0,

egyenlőségből indulunk ki, melynek helyességéről E0=(b1+ib2)e–iα behelyettesítésével könnyen meggyőződhetünk. Az egyenlőséget y, z koordinátákkal kifejezve, a b1 vektor és az y tengely által bezárt 𝜃 szögre a

6.43. egyenlet - (3)

tg 2 𝜃 = 2 A B cos δ A 2 B 2 .

összefüggést kapjuk.

A térerősség forgásirányát a (b1×b2) vektor x komponensének előjele határozza meg. (1)-ből

2 i ( b 1 × b 2 ) x = E 0 z E 0 y E 0 z E 0 y = | E 0 y | 2 E 0 z E 0 y E 0 z E 0 y .

Innen látható, hogy a (b1×b2) vektor irányát (azt, hogy pozitív vagy negatív x tengely irányába mutat-e) és így a forgás előjelét (azt, hogy az x tengelyű csavarvonallal egyező vagy ellenkező) az E0z∕E0y hányados képzetes részének előjele szabja meg (amely + az első, – a második esetben). Ez a cirkuláris polarizációra vonatkozó (48.11) szabály általánosítása.

2. Határozzuk meg töltés mozgását lineárisan polarizált monokromatikus síkhullám terében.

Megoldás. Mutasson az y tengely az E térerősség irányába, ekkor

E y = E = E 0 cos ω ξ , A y = A = c E 0 ω sin ω ξ .

(ξ=t–(x/c)). A  47. § 2. feladatának (3)(4) képletei szerint (abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske átlagban nyugalomban van) a mozgást a következő paraméteres előállításban (a paraméter η=ωξ) adhatjuk meg:

x = e 2 E 0 2 c 8 γ 2 ω 3 sin 2 η , y = e E 0 c γ ω 2 cos η , z = 0 ; t = η ω e 2 E 0 2 c 8 γ 2 ω 3 sin 2 η , γ 2 = m 2 c 2 + e 2 E 0 2 2 ω 2 ; p x = e 2 E 0 2 4 γ ω 2 cos 2 η , p y = e E 0 ω sin η , p z = 0 .

A töltés az xy síkban mozog szimmetrikus 8-as alakú görbén, melynek hossztengelye az y tengely. A mozgás egy periódusának az η paraméter 0-tól 2π-ig való változása felel meg.

3. Határozzuk meg töltés mozgását cirkulárisan polarizált hullám terében.

Megoldás. A hullámban a térerősség és a potenciál a következő:

E y = E 0 cos ω ξ , E z = E 0 sin ω ξ A y = c E 0 ω sin ω ξ , A z = c E 0 ω cos ω ξ .

A mozgást leíró képletek:

x = 0 , y = e c E 0 γ ω 2 cos ω t , z = e c E 0 γ ω 2 sin ω t , p x = 0 , p y = e E 0 ω sin ω t , p z = e E 0 ω cos ω t ,

γ 2 = m 2 c 2 + c 2 E 0 2 ω 2

A töltés tehát ecE0∕γω2 állandó sugarú körpályán mozog az yz síkban, impulzusának nagysága, p=eE0∕ω állandó; az impulzus iránya minden időpontban megegyezik a hullám mágneses terének irányával.



[48] Ha valamilyen két mennyiséget komplex alakban írunk: A(t)=A0e–iωt, B(t)=B0e–iωt, akkor szorzatuk képzésekor természetesen előre le kell választanunk a valós részeket. Ha azonban, amint ez gyakran előfordul, csak a szorzat (időbeli) átlagértékére vagyunk kíváncsiak, akkor ez úgy számítható, mint (1/2)ℜ{AB∗}. Valóban ℜAℜB=(1/4)(A0e–iωt+A0∗eiωt)(B0e–iωt+B0∗eiωt). Az e±2iωt szorzótényezőt tartalmazó tagok az átlagolás során eltűnnek, így ℜAℜB¯=(1/4)(AB∗+A∗B)=(1/2)ℜ(AB∗).

[49] Magától értetődően az x, y, z tengelyek, mint mindig, jobbsodrású rendszert alkotnak.