Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

49 §. Spektrális felbontás

49 §. Spektrális felbontás

Minden hullámra el lehet végezni a spektrális felbontást, azaz bármely hullám előállítható különböző frekvenciájú monokromatikus hullámok szuperpozíciójaként. A felbontás jellegét a térerősség időfüggése határozza meg.

Az egyik csoportba tartozó esetekben a felbontás egy diszkrét frekvenciasorozatot tartalmaz. A legegyszerűbb ilyen sorozat a tiszta periodikus (ha nem is monokromatikus) térerősség felbontásában fordul elő. Ez a szokásos Fourier-sorba fejtés; a benne szereplő frekvenciák az ω0=(2π/T) „alapfrekvencia” egész számú többszörösei, ahol T a térerősség periódusa. A felbontás alakja

6.44. egyenlet - (49.1)

f = n = f n e i ω 0 n t

(f valamelyik térmennyiség). Az fn mennyiségek az f függvénnyel az

6.45. egyenlet - (49.2)

f n = 1 T T 2 T 2 f ( t ) e i n ω 0 t d t

integrálok formájában fejezhetők ki. Mivel az f(t) függvény valós, ezért nyilvánvaló, hogy

6.46. egyenlet - (49.3)

f n = f n .

Bonyolultabb esetekben a felbontásban olyan frekvenciák is megjelenhetnek, amelyek különböző, egymással nem összemérhető alapfrekvenciák egész számú többszörösei (és azok összegei).

(49.1) összeg négyzetének időátlagában a különböző frekvenciájú tagok szorzatai a bennük levő oszcilláló tényező miatt eltűnnek, csak az fnf–n=|fn|2 típusú tagok maradnak meg. Így a térerősség négyzetének átlagértéke (a hullám átlagos intenzitása) úgy írható, mint a monokromatikus összetevők intenzitásainak összege:

6.47. egyenlet - (49.4)

f 2 ¯ = n = | f n | 2 = 2 n = 1 | f n | 2 .

(Magától értetődően az f(t) függvény egy periódusra vett átlagértéke nulla, így f0=f¯=0.)

A másik csoportba azok a hullámok tartoznak, amelyek különböző frekvenciák folytonos sorozatát tartalmazó Fourier-integrálként állíthatók elő. Ehhez az f(t) függvénynek meghatározott feltételeket kell kielégítenie; általában olyan függvényekről van szó, amelyek t=±∞ esetén eltűnnek. Az ilyen felbontás

6.48. egyenlet - (49.5)

f ( t ) = f ω e i ω t d ω 2 π

alakú, a Fourier-komponensek az f(t) függvénnyel az

6.49. egyenlet - (49.6)

f ω = f ( t ) e i ω t d t

integrálok formájában fejezhetők ki. (49.3)-hoz hasonlóan

6.50. egyenlet - (49.7)

f ω = f ω .

A Fourier-komponensek intenzitásaival kifejezzük a hullám teljes intenzitását, azaz az f2 függvénynek a teljes időtartamra vett integrálját. (49.5) és (49.6) segítségével:

f 2 d t = f f ω e i ω t d ω 2 π d t = f ω f e i ω t d t d ω 2 π = f ω f ω d ω 2 π ,

vagy (49,7) figyelembevételével:

6.51. egyenlet - (49.8)

f 2 d t = | f ω | 2 d ω 2 π = 2 0 | f ω | 2 d ω 2 π .