Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

51 §. Az elektrosztatikus tér felbontása

51 §. Az elektrosztatikus tér felbontása

A töltések által létrehozott erőtér (mező) formálisan szintén kifejthető síkhullámok szerint (Fourier-integrálként). Ez a kifejtés azonban lényegesen különbözik a vákuumbeli elektromágneses hullámok kifejtésétől. A töltések tere nem elégít ki homogén hullámegyenletet, és így ennek a kifejtés egyik tagja sem tesz eleget. Ebből az következik, hogy egy töltés terének kifejtésében szereplő síkhullámokra nem áll fenn a k2=(ω2/c2) összefüggés, ez csak monokromatikus elektromágneses síkhullámokra teljesül.

Ha az elektrosztatikus teret formálisan síkhullámok szuperpozíciójaként állítjuk elő, akkor e hullámok frekvenciája zérus lesz, mivel a vizsgált erőtér az időtől független; a hullámvektorok természetesen nullától különbözőek.

Vizsgáljuk a kezdőpontban levő e ponttöltés által létrehozott teret. A tér φ potenciálját a

6.68. egyenlet - (51.1)

φ = 4 π e δ ( r )

egyenlet határozza meg (lásd a  36. §-t).

Állítsuk elő φ-t térbeli Fourier-integrálként, azaz a következő alakban:

6.69. egyenlet - (51.2)

φ = + e i k r φ k d 3 k ( 2 π ) 3 , d 3 k = d k x d k y d k z .

Itt

φk=φ(r)eikrdV.

Alkalmazzuk (51.2) mindkét oldalára a Laplace-operátort:

φ=+k2eikrφkd3k(2π)3,

így a △φ kifejezés Fourier-együtthatója

(φ)k=k2φk.

(△φ)k másrészt úgy is meghatározható, hogy az (51.1) egyenlet mindkét oldalának megfelelő Fourier-komponensét vesszük:

(φ)k=4πeδ(r)eikrdV=4πe.

Összehasonlítva a két kifejezést, a következőre jutunk:

6.70. egyenlet - (51.3)

φ k = 4 π e k 2 .

Ez a képlet adja a feladat megoldását.

A φ potenciálhoz hasonlóan kifejthető az E térerősség is:

6.71. egyenlet - (51.4)

E = + E k e i k r d 3 k ( 2 π ) 3 .

(51.2) segítségével írhatjuk, hogy

E=grad+φkeikrd3k(2π)3=ikφkeikrd3k(2π)3.

Ezt (51.4)-gyel összevetve, azt kapjuk, hogy

6.72. egyenlet - (51.5)

E k = i k φ k = i 4 π e k k 2 .

Innen látható, hogy a Coulomb-tér kifejtésében szereplő „hullámok” térerőssége a hullámvektor irányába mutat. Ezért e hullámokat longitudinálisnak nevezhetjük.