Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

56 §. Keskeny sugárnyalábok

56 §. Keskeny sugárnyalábok

Az optikai rendszereken áthaladó sugárnyalábok vizsgálatában különleges szerepet játszanak az olyan nyalábok, amelyeknek minden sugara egy pontban találkozik (ún. homocentrikus nyalábok).

Ha egy homocentrikus nyaláb optikai rendszeren halad át, általában véve nem lesz többé homocentrikus, vagyis az adott testen áthaladva, a sugarak nem gyűlnek össze egyetlen pontba. Csak különleges esetekben fordul elő, hogy egy fénylő pontból kiinduló sugarak – miután az optikai rendszeren áthaladnak – mind újra egy pontban, a fénylő pont képében metszik egymást.[55]

Bebizonyítható (lásd az  57. §-t), hogy az egyetlen eset, amikor az optikai rendszeren áthaladó minden homocentrikus nyaláb szigorúan homocentrikus marad, az azonos leképezés, tehát mikor a kép megkapható a tárgyból annak egészként való eltolásával, elforgatásával vagy tükrözésével.

Az előzőek szerint egy optikai rendszer sem képezhet le egészen élesen egy (véges kiterjedésű) tárgyat, az azonos leképezés triviális esetétől eltekintve.[56] Kiterjedt tárgyak nem azonos leképezését csak közelítően, nem teljesen élesen lehet megvalósítani.

A legfontosabb olyan eset, amikor homocentrikus nyalábok közelítőleg homocentrikusba mennek át az, amikor a nyalábok elegendően keskenyek (vagyis kicsi a nyílásszögük), és az adott optikai rendszer által meghatározott vonal mentén terjednek. Ezt a vonalat a rendszer optikai tengelyének nevezzük.

Itt meg kell jegyeznünk, hogy (a háromdimenziós térben) még végtelenül keskeny sugarak sem szükségszerűen homocentrikusak; láttuk (7. ábra), hogy a különböző sugarak egy ilyen nyalábban is általában különböző pontokban metszik egymást (ez a jelenség az asztigmatizmus). A hullámfelületnek azok a pontjai képeznek kivételt, amelyekben a két görbületi sugár egyenlő; az ilyen pont közelében a felület kis darabkáját gömbfelületnek tekinthetjük, az ennek megfelelő keskeny sugárnyalábot pedig homocentrikusnak.

A továbbiakban hengerszimmetrikus optikai rendszereket vizsgálunk. [57] Egy ilyen rendszer szimmetriatengelye egyúttal az optikai tengely is. Valóban, a fenti tengely mentén terjedő nyaláb hullámfelületei szintén hengerszimmetrikusak; egy forgásfelület szimmetriatengelyén levő pontjában pedig a két görbületi sugár egyenlő. Így az ilyen irányú keskeny nyaláb homocentrikus marad.

Vezessük le a leképezést meghatározó általános összefüggéseket hengerszimmetrikus optikai rendszereken áthaladó keskeny nyalábok esetére. Ehhez először az (55.6) egyenletben szereplő χ függvény alakját kell meghatározni.

Mivel a sugárnyalábok keskenyek, és az optikai tengely közelében haladnak, így az n és n′ vektorok bármelyik nyaláb esetén majdnem a fenti tengely irányába mutatnak. Ha az optikai tengelyt választjuk x tengelynek, akkor az ny, nz, ny′, nz′ komponensek kicsik lesznek az egységhez képest. Ugyanakkor nx≈1 és nx′≈+1 vagy –1. Az első esetben a sugarak majdnem az eredeti irányban haladnak tovább, áthaladnak az optikai rendszeren, amelyet ekkor lencsének nevezünk. A második esetben a sugarak iránya majdnem ellentétesre változik; az ilyen optikai rendszert tükörnek nevezzük.

Mivel ny, nz, ny′, nz′ kicsik, a χ(ny,nz,ny′,nz′) szögeikonált sorba fejthetjük, és elég a sor első tagjait figyelembe venni. A rendszer tengelyszimmetriája miatt χ invariáns az optikai tengely körül végzett elforgatással szemben. Ebből látható, hogy χ sorfejtésében az n és n′ vektorok y és z komponenseinek első hatványával arányos tagok nem szerepelhetnek – az ilyen tagok nem rendelkeznek a kívánt invarianciával. A másodrendű tagok közül szóba jöhetnek az n2, n′2 négyzetek és az nn′ skalárszorzat. Így tengelyszimmetrikus optikai rendszerek esetén a szögeikonál másodrendű tagokig bezárólag:

7.23. egyenlet - (56.1)

χ = c o n s t + g 2 ( n y 2 + n z 2 ) + f ( n y n y + n z n z ) + h 2 ( n y 2 + n z 2 ) ,

ahol f, g, h állandók.

Az egyértelműség kedvéért a lencse esetét fogjuk vizsgálni, ekkor nx′≈1. (Hasonló képletek érvényesek tükrökre is.) Az (56.1) kifejezést az (55.6) általános egyenletbe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

7.24. egyenlet - (56.2)

n y ( x g ) f n y = y , f n y + n y ( x + h ) = y , n z ( x g ) f n z = z , f n z + n z ( x + h ) = z .

Tekintsünk egy, az x, y, z pontból kiinduló homocentrikus nyalábot; x′, y′, z′ legyen az a pont, amelyben a nyaláb sugarai a lencsén áthaladva metszik egymást. Ha az (56.2) egyenletrendszer első és második két egyenlete független lenne egymástól, akkor adott x, y, z, x′, y′, z′ mellett ez a négy egyenlet egyértelműen meghatározná az ny, nz, ny′, nz′ értékeket, tehát az x, y, z pontból kiinduló sugarak közül csak egy haladna át az x′, y′, z′ ponton. Ahhoz, hogy az x, y, z pontból kiinduló minden sugár áthaladjon az x′, y′, z′ ponton, az szükséges, hogy az (56.2) egyenletek ne legyenek függetlenek, tehát hogy az egyik egyenletpár a másik következménye legyen. Ez a feltétel nyilvánvalóan azt jelenti, hogy a két egyenletpár megfelelő együtthatói arányosak egymással. Ezért teljesülnie kell az

7.25. egyenlet - (56.3)

x g f = f x + h = y y = z z

egyenlőségeknek. Így többek között fenn kell állnia az

7.26. egyenlet - (56.4)

( x g ) ( x + h ) = f 2

összefüggésnek.

A kapott egyenletek megadják a kép és a tárgy koordinátáinak kapcsolatát keskeny nyalábok segítségével végzett leképezés esetén.

Az optikai tengelyen fekvő x=g, x=–h pontokat az optikai rendszer főfókuszainak nevezzük. Tekintsünk az optikai tengelyel párhuzamos sugarakból álló nyalábot. Egy ilyen nyaláb forrása nyilvánvalóan az optikai tengelyen a végtelenben levő pont, azaz x=∞. Az (56.3) összefüggésből látható, hogy ebben az esetben x′=–h. Tehát a párhuzamos sugárnyaláb az optikai rendszeren áthaladva, az egyik főfókuszban egyesül. Ugyanakkor a főfókuszból kiinduló sugárnyaláb a rendszeren áthaladva, párhuzamossá válik.

Az (56.3) egyenletekben az x és x′ koordinátákat az optikai tengelyen fekvő azonos kezdőponttól számítottuk. Célszerű azonban a tárgy és a kép koordinátáit különböző kezdőpontoktól, nevezetesen a megfelelő főfókuszoktól számítani. A koordinátatengelyek pozitív irányát úgy választjuk meg, hogy a sugár terjedési irányába mutasson. A tárgy és a kép új koordinátáit nagybetűkkel jelölve:

X = x g , X = x + h , Y = y , Y = y , Z = z , Z = z .

A leképezést meghatározó (56.3) és (56.4) egyenletek az új jelölésekkel a következőek:

7.27. egyenlet - (56.5)

X X = f 2 ,

7.28. egyenlet - (56.6)

Y Y = Z Z = f X = X f .

Az f mennyiséget a rendszer fő fókusztávolságának nevezzük.

Az Y′∕Y hányados az oldalirányú nagyítás. Mivel a koordináták nem arányosak egymással, a hosszirányú nagyítást differenciális alakban kell felírni, összehasonlítva a tárgy tengelyirányú hosszelemét a kép megfelelő hosszelemével. (56.5)-ből a hosszirányú nagyítás:

7.29. egyenlet - (56.7)

d X d X = f 2 X 2 = Y Y 2 .

Ebből láthatjuk, hogy még végtelenül kicsiny tárgyak esetén sem kaphatunk mértanilag hasonló képet. A hosszirányú nagyítás sohasem egyenlő az oldalirányúval (az azonos leképezés triviális esetétől eltekintve).

Az optikai tengely X=f pontjából kiinduló nyaláb a tengely X′=–f pontjában egyesül újra. Ezt a két pontot főpontoknak szokás nevezni. Az (56.2) egyenletekből (nyX–fny′=Y, nzY–fnz′=Z) látható, hogy ebben az esetben (X=f, Y=Z=0) fennállnak az ny=ny′, nz=nz′ egyenlőségek. Így az egyik főpontból kiinduló bármelyik sugár az optikai tengelyt a másik főpontban metszi az eredetivel párhuzamos irányban.

Ha a tárgy és a kép koordinátáit a főpontoktól számítjuk (nem pedig a főfókuszoktól), akkor ezek a koordináták:

ξ = X + f , ξ = X f .

Ezt (56.5)-be helyettesítve, a következő leképezési törvényt kapjuk:

7.30. egyenlet - (56.8)

1 ξ 1 ξ = 1 f .

Megmutatható, hogy a vékony optikai rendszereknél (pl. tükörnél, vékony lencsénél) a két fő pont majdnem egybeesik. Ebben az esetben különösen célszerű az (56.8) egyenletet használni, mivel ebben ξ-t és ξ′-t gyakorlatilag ugyanattól a ponttól számítjuk.

Ha a fókusztávolság pozitív, akkor a fókusztól a sugár haladási irányába eső tárgyakról (X>0) egyenes állású képet kapunk (Y′∕Y>0): az ilyen optikai rendszert gyűjtő rendszernek nevezzük. Ha f<0, akkor X>0 esetén Y′∕Y<0, vagyis a kép fordított állású; az ilyen rendszert szóró rendszernek nevezzük.

A leképezésnek létezik egy olyan határesete, amelyet az (56.8) képlet nem tartalmaz; ez az az eset, mikor az f, g, h együtthatók mindegyike végtelenné válik (vagyis az optikai rendszer fókusztávolsága végtelen, és a főfókuszai a végtelenben vannak). Ha f, g, h tart a végtelenhez, akkor az (56.4) egyenlet a következőképpen írható:

x = h g x + f 2 g h g .

Mivel csak az az eset érdekes, amikor a tárgy és a kép az optikai rendszertől véges távolságra vannak, az f, g, h értékeknek úgy kell a végtelenhez tartaniuk, hogy a h∕g, (f2–gh)∕g-ig hányadosok végesek maradjanak. Ezeket α2-tel és β-val jelölve, azt kapjuk, hogy x′=α2x+β.

A másik két koordinátára az (56.7) egyenlet alapján fennáll, hogy

y y = z z = ± α .

Ha az x és x′ koordinátákat újra különböző pontoktól, a leképezendő tengelyen felvett tetszőleges ponttól, ill. annak képétől számítjuk, a leképezés törvénye egyszerű alakot ölt:

7.31. egyenlet - (56.9)

X = α 2 X , Y = ± α Y , Z = ± α Z .

Tehát a hosszirányú és az oldalirányú nagyítás állandó (de a kettő nem egyenlő egymással). A fenti leképezést teleszkopikusnak nevezik.

A lencsékre levezetett (56.5)(56.9) képletek ugyanúgy alkalmazhatók tükrök esetére, sőt nem tengelyszimmetrikus optikai rendszerekre is, ha a leképezés az optikai tengely mentén haladó keskeny nyalábok segítségével jön létre. Eközben a tárgy és a kép x-koordinátájának az optikai tengely mentén a megfelelő pontoktól (a főfókuszoktól vagy a főpontoktól) kell mérnünk a sugár haladási irányában. Természetesen a nem tengelyszimmetrikus optikai rendszereknél az optikai tengely a rendszer két oldalán különböző irányba mutat.

Feladatok

1. Határozzuk meg a fókusztávolságot két, közös optikai tengelyű, tengelyszimmetrikus optikai rendszer segítségével történő leképezés esetén.

Megoldás. Legyenek f1 és f2 a rendszerek fókusztávolságai. Mindkét rendszerre külön-külön igaz, hogy

X 1 X 1 = f 1 2 , X 2 X 2 = f 2 2 .

Mivel az első rendszer által alkotott kép a második rendszer tárgya, az első rendszer hátsó főfókusza és a második rendszer elülső főfókusza között levő távolságot l-lel jelölve, azt kapjuk, hogy X2=X1′–l. Az X2′-t X1-gyel kifejezve:

X 2 = X 1 f 2 2 f 1 2 + l X 1 ,

vagy

X 1 + f 1 2 l X 2 + f 2 2 l = f 1 f 2 l 2 ,

ahonnan látható, hogy a rendszer főfókuszai az X1=–f12∕l, X2′=–f22∕l pontokban vannak, a fókusztávolság pedig

f = f 1 f 2 l .

(Az utóbbi kifejezés előjelének megállapításához fel kell írni az oldalirányú nagyítás megfelelő egyenleteit.)

Ha l=0, akkor a fókusztávolság f=∞ vagyis az összetett rendszer teleszkopikus leképezést ad. Ebben az esetben X2′=X1(f2∕f1)2, tehát az a paraméter értéke az (56.9) általános képletben α=f2∕f1.

2. Határozzuk meg a töltött részecskékre ható „mágneses lencse” fókusztávolságát, amelyet egy l hosszúságú, hosszanti irányú, homogén mágneses erőtér alkot (8. ábra).[58]

8. ábra - 8. ábra

8. ábra

Megoldás. Mágneses erőtérben mozgó részecske mozgási energiája állandó marad; így az S0(r) rövidített hatásra (a teljes hatás S=–ℰt+S0) a Hamilton–Jacobi-egyenlet a következő:

S 0 e c A 2 = p 2 ,

ahol

p 2 = 2 c 2 m 2 c 2 = c o n s t .

A homogén mágneses erőtér vektorpotenciálját leíró (19.4) képletet felhasználva, a Hamilton–Jacobi-egyenlet a következő alakot ölti:

7.32. egyenlet - (1)

S 0 x 2 + S 0 r 2 + e 2 4 c 2 H 2 r 2 = p 2 ,

ahol r az x tengelytől mért távolság, S0 pedig x és r függvénye. (Az x tengelyt a mágneses erőtér irányában vettük fel, ezt tekintjük a tengelyszimmetrikus optikai rendszer optikai tengelyének.)

Az optikai tengely közelében haladó keskeny részecskenyalábok esetén az r koordináta kicsi, így S0-t r hatványsoraként keressük. A sor első két tagja:

7.33. egyenlet - (2)

S 0 = p x + 1 2 σ ( x ) r 2 ,

ahol σ(x) kielégíti a

7.34. egyenlet - (3)

p σ ( x ) + σ 2 + e 2 4 c 2 H 2 = 0

egyenletet.

A lencse előtti 1 tartományban azt kapjuk, hogy

σ ( 1 ) = p x x 1 ,

ahol x1<0 állandó. Ez a megoldás az optikai tengely x=x1 pontjából kiinduló, egyenes sugarak mentén terjedő szabad részecskenyalábnak felel meg. Valóban, az x=x1 pontból kiinduló, p impulzusú szabad részecskéknek megfelelő hatás:

S 0 = p r 2 + ( x x 1 ) 2 p ( x x 1 ) + p r 2 2 ( x x 1 ) .

Hasonlóan, a lencse mögötti 2 tartományban

σ ( 2 ) = p x x 2 ,

ahol az x2 állandó az x1 pont képének koordinátáját jelenti.

A lencsén belüli 3 tartományban a (3) egyenlet megoldása:

σ ( 3 ) = e H 2 c ctg e H 2 c p x + C ,

ahol C tetszőleges állandó.

Adott x1 mellett a C és x2 állandókat úgy határozzuk meg, hogy σ(x) folytonos legyen az x=0 és x=l pontokban:

p x 1 = e H 2 c ctg C , p l x 2 = e H 2 c ctg e H 2 c p l + C .

Kiküszöbölve innen a C állandót, azt kapjuk, hogy

( x 1 g ) ( x 2 + h ) = f 2 ,

ahol[59]

g = 2 c p e H ctg e H l 2 c p , h = g l , f = 2 c p e H sin e H l 2 c p .



[55] A metszéspont lehet a sugarakon vagy azok meghosszabbításán; ettől függően valódi vagy képzetes leképezésről beszélünk.

[56] Ilyen leképezést síktükrök segítségével valósíthatunk meg.

[57] Meg lehet mutatni, hogy nem hengerszimmetrikus optikai rendszer esetén az optikai tengelyhez közeli keskeny nyalábokkal történő leképezés visszavezethető egy axiális szimmetriájú rendszer leképezésére, majd ezt követően az így keletkezett képnek a leképezendő tárgyhoz viszonyított elforgatására.

[58] Ez lehet például egy hosszú tekercs, amelynek a végein elhanyagoljuk a mágneses erőtér inhomogenitását.

[59] f értéke a helyes előjellel szerepel, ennek megállapítására azonban további vizsgálatra van szükség.