Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

58 §. A geometriai optika határai

58 §. A geometriai optika határai

Egy monokromatikus síkhullám amplitúdója definíció szerint mindig és mindenütt ugyanakkora. Egy ilyen hullám a tér bármilyen irányában végtelen kiterjedésű, és időben –∞-től +∞-ig mindig létezik. Bármely hullám, amelynek amplitúdója nem mindenhol és nem mindig állandó, csak többé-kevésbé lehet monokromatikus. A továbbiakban a hullámok monokromatikustól való eltérésének mértékével foglalkozunk.

Tekintsünk egy olyan elektromágneses hullámot, amelynek amplitúdója a tér minden pontjában az idő függvénye. Legyen ω0 a hullám valamilyen átlagfrekvenciája. Ekkor a hullámmező (pl. az elektromos erőtér) egy adott pontban E0(t)eiω0t alakú. Ezt a mezőt, amely természetesen nem monokromatikus, monokromatikus összetevők szerint Fourier-integrálba lehet fejteni. A kifejtésben az ω frekvenciához tartozó amplitúdó a következő integrállal arányos:

+ E 0 ( t ) e i ( ω ω 0 ) t d t .

Az ei(ω–ω0)t szorzótényező periodikus függvény, amelynek átlagértéke zérus. Ha E0 állandó lenne, az integrál pontosan nullát adna ω≠ω0 esetén. Ha E0(t) változik, de 1∕(ω–ω0) időtartam alatt majdnem állandó, akkor az integrál majdnem zérus, annál pontosabban, minél lassabban változik E0. Az integrál csak akkor különbözhet észrevehetően nullától, ha E0(t) is észrevehetően változik 1∕(ω–ω0) nagyságrendű időtartam alatt.

Jelöljük Δt-vel annak az időtartamnak a nagyságrendjét, amelynek elteltével a hullám amplitúdója a tér adott pontjában észrevehetően megváltozik. A fenti meggondolásból következik, hogy a hullám spektrális felbontásában még észrevehető intenzitással szereplő ω0-tól legtávolabb eső frekvenciákat az 1∕(ω0–ω)∼Δt feltételből határozhatjuk meg. Δω-val jelölve a spektrális felbontás frekvenciatartományát (az ω0 átlagfrekvencia körül), fennáll tehát a következő összefüggés:

7.38. egyenlet - (58.1)

Δ ω Δ t 1 .

Látjuk, hogy a hullám valóban annál inkább monokromatikus (vagyis Δω annál kisebb), minél nagyobb Δt, azaz minél lassabban változik az amplitúdója a tér egyes pontjaiban.

A hullámvektorra is könnyen levezethetünk (58.1)-hez hasonló összefüggést. Legyenek Δx, Δy, Δz azoknak a távolságoknak nagyságrendjei az x, y, z tengelyek mentén, amelyeken a hullám amplitúdója észlelhetően megváltozik. Egy adott időpillanatban a hullámtér a koordináták függvényében

E0(r)eik0r

alakú, ahol k0 a hullámvektor valamilyen átlagos értéke. (58.1)-hez hasonlóan meghatározható az adott hullám Fourier-kifejtését jellemző Δk intervallum nagysága:

7.39. egyenlet - (58.2)

Δ k x Δ x 1 , Δ k y Δ y 1 , Δ k z Δ z 1 .

Speciális esetként tekintsünk egy véges idő alatt kisugárzott hullámot. Jelöljük Δt-vel a kisugárzás időtartamának nagyságrendjét. A tér egy pontjában a hullám amplitúdója Δt idő alatt bizonyosan észrevehető módon megváltozik; ezalatt a hullám teljes egészében áthalad az adott ponton. Az (58.1) összefüggés alapján ekkor kijelenthetjük, hogy a hullám „monokromatikustól való eltérésének mértéke”, Δω biztosan nem lehet 1∕Δt-nél kisebb (természetesen nagyobb lehet):

7.40. egyenlet - (58.3)

Δ ω 1 Δ t .

Hasonlóan, ha Δx, Δy, Δz a hullám térbeli kiterjedését jellemző mennyiségek, akkor a hullám kifejtésében szereplő hullámvektor értéktartományára azt kapjuk, hogy

7.41. egyenlet - (58.4)

Δ k x 1 Δ x , Δ k y 1 Δ y , Δ k z 1 Δ z .

A fenti képletekből következik, hogy véges szélességű nyaláb terjedése esetén a fény terjedési iránya az adott nyalábban nem lehet szigorúan állandó. Ha az x tengely a fény (átlagos) terjedési irányába mutat, akkor

7.42. egyenlet - (58.5)

𝜃 y 1 k Δ y λ Δ y .

ahol 𝜃y a nyaláb átlagos terjedési irányától való eltérés nagyságrendje, λ pedig a hullámhossz.

Az (58.5) képletből megkaphatjuk az optikai képek élességének korlátait is. Egy olyan fénynyaláb, amely a geometriai optika szerint egy közös pontba összefutó sugarakból áll, a valóságban nem pontszerű, hanem elmosódott képet ad. A folt Δ szélességére (58.5)-ből azt kapjuk, hogy

7.43. egyenlet - (58.6)

Δ 1 k 𝜃 λ 𝜃 ,

ahol 𝜃 a nyaláb nyílásszöge. Ez a képlet nemcsak a képre, hanem a tárgyra is alkalmazható. Azt állíthatjuk, hogy egy pontszerű fényforrásból kiinduló fénynyaláb megfigyelésekor ezt a pontot nem lehet megkülönböztetni egy λ∕𝜃 méretű testtől. Így az (58.6) képlet megadja egy mikroszkóp felbontóképességének határát. Δ minimális értéke λ, ezt 𝜃∼1-nél éri el, teljes egyezésben azzal az állítással, hogy a geometriai optika korlátait a fény hullámhossza határozza meg.

Feladat

Határozzuk meg egy résre beeső párhuzamos fénynyalábból származó, véges szélességű nyaláb minimális szélességének nagyságrendjét a réstől l távolságban.

Megoldás. A rés szélességét d-vel jelölve, a sugarak elhajlásának szöge („a diffrakció szöge”) (58.5)-ből λ∕d, amiből a nyaláb szélességének nagyságrendje d+(λ/d)l. Ennek a minimális értéke √(λl).