Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

60 §. Fresnel-elhajlás

60 §. Fresnel-elhajlás

Ha a fényforrás és a P pont, amelyben az intenzitást meg akarjuk határozni, véges távolságra vannak az ernyőtől, akkor az (59.2) integrálban a hullámfelületnek csak egy kis része lényeges, az a rész, amely a fényforrást és a P pontot összekötő egyenes közelében helyezkedik el. Valóban, mivel az eltérés a geometriai optikától csekély, a hullámfelület különböző pontjaiból a P pontba érkező fény intenzitása igen gyorsan csökken az említett egyenestől mért távolság függvényében. Azokat az elhajlási jelenségeket, amelyekben a hullámfelületnek csak kis részei játszanak szerepet, Fresnel-elhajlásnak nevezzük.

Tekintsünk egy ernyőn létrejövő Fresnel-elhajlást. Az említett tulajdonság miatt ekkor (adott P pont esetén) csak az ernyő szélének kis darabkája játszik szerepet. Viszont az ernyő szélének elegendően kicsiny részét mindig egyenesnek tekinthetjük. Ezért a továbbiakban az ernyő széle számunkra egy ilyen egyenes darabkát jelent.

Az xy síkot vegyük fel úgy, hogy átmenjen a Q fényforráson (11. ábra) és az ernyő szélének vonalán. Az erre merőleges xz sík menjen át a Q ponton és a P megfigyelési ponton, amelyben a fény intenzitását keressük. Végül a koordináta-rendszer O kezdőpontját az ernyő szélének vonalán vegyük fel, ezzel mindhárom tengely helyzetét meghatároztuk.

11. ábra - 11. ábra

11. ábra

Legyen a Q fényforrás távolsága az origótól Dq. A P megfigyelési pont x koordinátáját jelöljük Dp-vel, z koordinátáját, vagyis az xy síktól mért távolságát pedig d-vel. A geometriai optika szerint a fény csak az xy sík fölötti pontokba juthat el; az xy sík alatti tartományban a geometriai optika szerint árnyék van (ez a geometriai árnyék tartománya).

Határozzuk most meg a fény intenzitásának eloszlását az ernyő mögött a geometriai árnyék határának közelében, vagyis (Dp-hez és Dq-hoz viszonyítva) kis d értékekre. Negatív d azt jelenti, hogy a P pont a geometriai árnyék tartományában van.

Integrálási felületnek (59.2)-ben válasszuk az ernyő szélének vonalán áthaladó, és az xy síkra merőleges fél síkot. E felület x és y koordinátái között az x=ytgα összefüggés áll fenn (α az ernyő szélének vonala és az y tengely által bezárt szög). A felület z koordinátája pozitív. A Q-ból kiinduló hullám tere a forrástól Rq távolságban exp(ikRq)-val arányos. Így az u tér az integrálási felületen

u exp i k y 2 + z 2 + ( D q + y tg α ) 2 .

Az (59.2) integrálban R helyére az

R = y 2 + ( z d ) 2 + ( D q y tg α ) 2

kifejezést kell beírni. Az integrandusban a lassan változó tényezők lényegtelenek az exponenciálishoz képest. Ezért 1∕R-et állandónak tekinthetjük, és dfn helyett dydz-t írhatunk. Ekkor a P pontban a térerősség:

7.51. egyenlet - (60.1)

u p + 0 exp i k ( D q + y tg α ) 2 + y 2 + z 2 + ( D q y tg α ) 2 + y 2 + ( z d ) 2 d y d z .

Mint már említettük, a P pontba a fény főként az integrálási felületnek az origóhoz közeli pontjaiból érkezik. Ezért a (60.1) integrálban (Dq-hoz és Dp-hez képest) kis y és z értékek játszanak szerepet. Írhatjuk, hogy

( D q + y tg α ) 2 + y 2 + z 2 D q + y 2 sec 2 α + z 2 2 D q + y tg α ,

( D q y tg α ) 2 + y 2 + ( z d ) 2 D p + y 2 sec 2 α + ( z d ) 2 2 D p y tg α ,

Helyettesítsük ezeket a (60.1) képletbe. Mivel bennünket csak a mező d-függése érdekel, az exp[ik(Dp+Dq)] állandó szorzótényezőt elhagyjuk. A dy szerinti integrálás szintén egy d-től független kifejezést eredményez, tehát ezt is elhagyjuk. Így azután marad, hogy

u P 0 exp i k 1 2 D q z 2 + 1 2 D p ( z d ) 2 d z .

Ezt a kifejezést a következő alakba is írhatjuk:

7.52. egyenlet - (60.2)

u p exp i k d 2 2 ( D p + D q ) 0 exp i k 1 2 1 D p + 1 D q z d D p 2 1 D p + 1 D q d z

A fény intenzitását a térerősség négyzete, |uP|2 határozza meg. Az intenzitás szempontjából az integrál előtt álló tényező lényegtelen, konjugáltjával szorozva 1-et ad. Nyilvánvaló változócserével az integrál a következő alakra hozható:

7.53. egyenlet - (60.3)

u p w e i η 2 d η ,

ahol

7.54. egyenlet - (60.4)

w = d k D q 2 D p ( D q + D p ) .

Így az I intenzitás értéke a P pontban:

7.55. egyenlet - (60.5)

I = I 0 2 2 π w e i η 2 d η 2 = I 0 2 C ( w 2 ) + 1 2 2 + S ( w 2 ) + 1 2 2 ,

ahol

C(z)=2π0z cosη2dη,S(z)=2π0z sinη2dη

az ún. Fresnel-integrálok. A (60.5) képlet megadja a kitűzött feladat megoldását – meghatározza a fény intenzitását d függvényében. I0 a fény intenzitása a megvilágított területnek az árnyék szélétől elég távoli pontjaiban, vagyis w≫1 esetén [a w→∞ határesetben C(∞)=S(∞)=1∕2].

A geometriai árnyék tartományának negatív w értékek felelnek meg. Könnyű kiszámítani az I(w) függvény aszimptotikus alakját nagy negatív w értékekre. Parciálisan integrálva, azt kapjuk, hogy

|w|eiη2dη=12i|w|eiw2+12i|w|eiη2dηη2.

Az egyenlőség jobb oldalán még egyszer parciálisan integrálva és a fenti műveletet folytatva, egy 1∕|w| hatványai szerinti sort kapunk:

7.56. egyenlet - (60.6)

| w | e i η 2 d η = e i w 2 1 2 i | w | + 1 4 | w | 3 .

Bár ez a végtelen sor nem konvergens, de mivel nagy |w|értékekre az egymás után következő tagok egyre gyorsabban tűnnek el, elég nagy |w|-kre már az első tag is jól közelíti a bal oldalon álló függvényt (az ilyen sorokat aszimptotikus soroknak nevezik). Így a (60.5)I(w) intenzitásra a nagy negatív w értékekre érvényes

7.57. egyenlet - (60.7)

I = I 0 4 π w 2

aszimptotikus kifejezést kapjuk.

Látjuk, hogy a geometrikai árnyék tartományában, ennek szélétől távol, az intenzitás az árnyék szélétől mért távolság négyzetével fordított arányban tart nullához.

Tekintsük most a pozitív w értékeket, vagyis az xy sík feletti tartományt. Ekkor

w e i η 2 d η = e i η 2 d η w e i η 2 d η = ( 1 + i ) π 2 w e i η 2 d η .

Ha w elég nagy, akkor beírhatjuk a jobb oldali integrál aszimptotikus alakját, és így

7.58. egyenlet - (60.8)

w e i η 2 d η ( 1 + i ) π 2 + 1 2 i w e i w 2 .

Ezt a kifejezést (60.5)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

7.59. egyenlet - (60.9)

I = I 0 1 + 1 π sin w 2 π 4 w .

Tehát a megvilágított területen, az árnyék szélétől távol az intenzitásnak végtelen, sok maximuma és minimuma van, az I∕I0 arány az egység körül ingadozik. Az ingadozás nagysága w növekedésével a geometriai árnyék szélétől mért távolsággal fordított arányban csökken, a maximumok és minimumok helyei pedig egyre közelebb, kerülnek egymáshoz.

12. ábra - 12. ábra

12. ábra

Kis w értékekre az I(w) függvény hasonló jellegű (12. ábra). A geometriai árnyék tartományában az árnyék szélétől távolodva monoton csökken (magán a határon I∕I0=1∕4). Pozitív w értékekre maximumok és minimumok követik egymást. Az első maximumban, amely a legnagyobb, I∕I0=1,37.