Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

64 §. A retardált potenciálok spektrális felbontása

64 §. A retardált potenciálok spektrális felbontása

A mozgó töltések által létrehozott erőteret kifejthetjük monokromatikus hullámok szerint. Az erőtér egyes monokromatikus komponensei φωe–iωt, Aωe–iωt alakúak. Az erőteret létrehozó töltéseket és áramokat szintén kifejthetjük különböző frekvenciájú komponensek szerint. Nyilvánvaló, hogy az erőtér egyes monokromatikus komponenseit ϱ és j megfelelő komponensei határozzák meg.

Az erőtér spektrális komponenseinek a töltés és az áram komponenseivel való megadása céljából írjuk be (62.9)-ben φ és ϱ helyett a φωe–iωt és ϱωe–iωt kifejezéseket. Ekkor

φ ω e i ω t = ϱ ω e i ω t R c R d V .

e –iωt-vel egyszerűsítve és a hullámvektor k=ω∕c abszolút értékét bevezetve:

8.20. egyenlet - (64.1)

φ ω = ϱ ω e i k R R d V .

A ω-ra a fentihez hasonlóan azt kapjuk, hogy

8.21. egyenlet - (64.2)

A ω = j ω e i k R c R d V .

Vegyük észre, hogy a (64.1) képlet a Poisson-egyenletmegoldásának kiterjesztése a

8.22. egyenlet - (64.3)

φ ω + k 2 φ ω = 4 π ϱ ω

általánosabb egyenlet esetére [amelyet a (62.4) egyenletből kapunk, ha ϱ és φ időfüggését egy e–iωt szorzótényező írja le].

A töltéssűrűség Fourier-komponense

ϱω=+ϱeiωtdt.

Ezt a kifejezést (64.1)-be helyettesítve,

8.23. egyenlet - (64.4)

ϱ ω = + ϱ R e i ( ω t + k R ) d V d t .

A folytonos töltéseloszlásról még át kell térnünk pontszerű töltésekre, hiszen a valóságban ezeknek a mozgásáról van szó. Ha csak egy pontszerű töltésünk van, akkor

ϱ=eδ[rr0(t)],

ahol a töltés r0(t) helyvektora az idő adott függvénye. Ezt a kifejezést (64.4)-be helyettesítve és a dV szerint az integrálást elvégezve [ez azt eredményezi, hogy r-et r0(t)-vel kell helyettesíteni], azt kapjuk, hogy

8.24. egyenlet - (64.5)

φ ω = e + 1 R ( t ) e i ω t + R ( t ) c d t ,

ahol R(t) a mozgó részecske és az észlelési pont távolsága. A fentihez hasonló módon a vektorpotenciálra az

8.25. egyenlet - (64.6)

A ω = e c + v ( t ) R ( t ) e i ω t + R ( t ) c d t ,

képletet nyerjük, ahol v=ṙ0(t) a részecske sebessége.

(64.5) és (64.6) összefüggéseknek megfelelő képleteket arra az esetre is felírhatjuk, amikor a töltés és az áram spektrális kifejtése diszkrét frekvenciákat tartalmaz. Így például egy pontszerű töltés periodikus (T=2π∕ω0 periódusú) mozgása esetén az erőtér spektrális kifejtése csak nω0 frekvenciákat tartalmaz, és a vektorpotenciál megfelelő komponensei:

8.26. egyenlet - (64.7)

A n = e c T 0 T v ( t ) R ( t ) e i n ω 0 t + R ( t ) c d t ,

(hasonlóan φn-re). A (64.6) és (64.7) képletekben a Fourier-komponenseket a  49. § szerint definiáltuk.

Feladat

Fejtsük ki síkhullámok szerint egy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző ponttöltés erőterét.

Megoldás. Járjunk el úgy, mint az  51. §-ban. A töltéssűrűséget írjuk ϱ=eδ(r–vt) alakban, ahol v a részecske sebessége. A □φ=–4πeδ(r–vt) egyenlet Fourier-komponensét véve, azt kapjuk, hogy

( φ ) k = 4 π e e i ( v k ) t .

Másrészről viszont a

φ = e i k r φ k d 3 k ( 2 π ) 3

egyenlőségből

( φ ) = k 2 φ 1 c 2 2 φ k t 2 .

Így

1 c 2 2 φ k t 2 + k 2 φ k = 4 π e e i ( k v ) t ,

ahonnan végül

φ k = 4 π e e i ( k v ) t k 2 k v c 2 .

Innen látható, hogy a k hullámvektorhoz tartozó frekvencia ω=kv.

Hasonlóképpen a vektorpotenciálra azt kapjuk, hogy

A k = 4 π e c v e i ( k v ) t k 2 k v c 2 .

Végezetül a térerősségek:

E k = i k φ k + i ( k v ) c A k = i 4 π e k + ( k v ) v c 2 k 2 k v c 2 e i ( k v ) t H k = i k × A k = i 4 π e c k × v k 2 k v c 2 e i ( k v ) t .