Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

65 §. A Lagrange-függvény a másodrendű tagok figyelembevételével

65 §. A Lagrange-függvény a másodrendű tagok figyelembevételével

A szokásos klasszikus mechanikában az egymással kölcsönható részecskék rendszere leírható a Lagrange-függvény segítségével, amely csak a részecskék (egyazon időpillanathoz tartozó) koordinátáitól és sebességeitől függ. Ezt végső soron az teszi lehetővé, hogy a mechanikában a hatások terjedési sebességét végtelennek tételezzük fel.

Már mondottuk, hogy a hatások terjedésének véges sebessége miatt az erőteret saját „szabadsági fokokkal” rendelkező önálló rendszernek kell tekinteni. Ezért az egymással kölcsönható töltött részecskékből álló rendszer leírására a részecskéket és az erőteret magábafoglaló anyagi rendszert kell vizsgálnunk. Ennek következtében, a hatások véges terjedési sebességét figyelembe véve, a kölcsönható részecskék rendszere nem írható le egzaktul olyan Lagrange-függvénnyel, amely csak a részecskék koordinátáitól és sebességeitől függ, és nem tartalmaz a tér „szabadsági fokaival” összefüggő mennyiségeket.

Ha azonban a részecskék v sebességei mind kicsik a fénysebességhez képest, akkor a töltések rendszere leírható egy közelítő Lagrange-függvény segítségével. Ilyen Lagrange-függvény használata nemcsak v∕c összes hatványainak elhanyagolásakor lehetséges (klasszikus Lagrange-függvény), hanem a v2∕c2 nagyságrendű tagok figyelembevételével is. Ez azzal kapcsolatos, hogy a mozgó töltések által kisugárzott elektromágneses hullámok (és így az „önálló” erőtér) csak a v∕c szerinti harmadik közelítésben jelennek meg (lásd a későbbi 67. §-t).[65]

Előzetesen megjegyezzük, hogy a nulladik közelítésben, tehát a potenciálok retardálásának teljes elhanyagolásakor a töltésrendszer Lagrange-függvénye

8.27. egyenlet - (65.1)

L ( 0 ) = a m a v a 2 2 a > b e a e b R a b

alakú. (Az összegezés a rendszert alkotó töltésekre vonatkozik.) A második tag a kölcsönhatás potenciális energiája álló töltések esetén.

A következő közelítés meghatározása céljából írjuk fel egy külső térben mozgó ea töltés Lagrange-függvényét:

8.28. egyenlet - (65.2)

L a = m c 2 1 v a 2 c 2 e a φ + e a c A v a .

Válasszuk ki a rendszer valamelyik töltését, határozzuk meg a többi töltés által létrehozott potenciálokat az első töltés helyén, és fejezzük ki ezeket az erőteret létrehozó részecskék koordinátáival és sebességeivel (éppen ez az, amit csak közelítőleg tehetünk meg: φ-t v2∕c2 rendig, A-t pedig v∕c rendig). A potenciálok így kapott kifejezéseit (65.2)-be helyettesítve, megkapjuk a rendszer egyik töltéséhez tartozó Lagrange-függvényt (a többi adott mozgása mellett). Ebből már könnyen levezethetjük az egész rendszer Lagrange-függvényét.

A retardált potenciálok

φ = ϱ t R c R d V , A = 1 c j t R c R d V

kifejezéseiből indulunk ki. Ha az összes töltés sebessége kicsi a fénysebességhez képest, akkor a töltéseloszlás „nem ér rá” nagyon megváltozni R∕c idő alatt. Így a ϱt–(R/c), jt–(R/c) mennyiségeket sorba fejthetjük R∕c hatványai szerint. A skalárpotenciálra másodrendig a következő kifejezést kapjuk:

φ = ϱ d V R 1 c t ϱ d V + 1 2 c 2 2 t 2 R ϱ d V .

(Az index nélküli ϱ a t időpillanatban vett ϱ értéket jelöli; az idő szerinti deriválás jele, mint az könnyen látható, kivihető az integráljel elé.) Viszont ∫ϱdV a rendszer állandó töltése, így a kapott kifejezés második tagja eltűnik, tehát:

8.29. egyenlet - (65.3)

φ = ϱ d V R + 1 2 c 2 2 t 2 R ϱ d V .

Hasonlóan járhatunk el A-val is. Az áramsűrűséggel kifejezett vektorpotenciál azonban már maga is tartalmaz egy 1∕c tényezőt, ezt a Lagrange-függvénybe helyettesítve, ismét fellép egy 1∕c. Mivel a Lagrange-függvényt csak a másodrendű tagokig bezárólag keressük, így A kifejtésében elegendő az első tagot megtartani, azaz

8.30. egyenlet - (65.4)

A = 1 c ϱ v R d V

(beírtuk, hogy j=ϱv).

Tegyük fel először, hogy az erőteret egyetlen pontszerű e töltés hozza létre. Ekkor (65.3)-ból és (65.4)-ből

8.31. egyenlet - (65.5)

φ = e R + e 2 c 2 2 R t 2 , A = e v c R ,

ahol R a töltéstől mért távolság.

Vezessünk be a φ és A potenciálok helyett más, φ′és A′ potenciálokat, vagyis hajtsunk végre mértéktranszformációt (lásd a  18. §-t):

φ = φ 1 c f t , A = A + grad f ,

ahol az f függvényt válasszuk a következőnek:

f = e 2 c R t .

Ekkor azt kapjuk, hogy[66]

φ = e R , A = e v c R + e 2 c R t .

A ′ kiszámításához vegyük észre, hogy ∇(∂R/∂t)=(∂/∂t)∇R. A ∇ művelet az észlelési pont koordinátái szerinti deriválást jelenti (ebben a pontban keressük az A′ potenciált). Ezért a ∇R gradiens az e töltésből az észlelési pontba mutató egységvektorral egyenlő, tehát

A = e v c R + e 2 c .

Továbbá

= t R R = R R R 2 .

Viszont a –Ṙ derivált adott észlelési pont esetén a töltés v sebességével egyenlő, és az Ṙ deriváltat könnyen meghatározhatjuk az R2=R2 azonosság deriválásával:

R = R = R v .

Így

= v + n ( n v ) R .

Ezt az A′-re felírt kifejezésbe helyettesítve, végül azt kapjuk, hogy

8.32. egyenlet - (65.6)

φ = e R , A = e [ v + ( v n ) n ] 2 c R .

Ha a teret nem egy, hanem több töltés hozza létre, akkor ezeket a kifejezéseket nyilvánvalóan minden töltésre összegezni kell.

Az így kapott potenciálokat (65.2)-be helyettesítve, megkapjuk az ea töltés La Lagrange-függvényét (a többi töltés megadott mozgása esetén). Eközben (65.2) első tagját szintén sorba fejtjük va∕c hatványai szerint, és a másodiknál magasabb rendű tagokat elhagyjuk. Így azt kapjuk, hogy

L a = m a v a 2 2 + 1 8 m a v a 4 c 2 e a b e b R a b + e a 2 c 2 b e b R a b [ v a v b + ( v a n a b ) ( v b n a b ) ] .

(Az ea kivételével minden töltésre összegezni kell, nab az eb és ea töltések helyzete által meghatározott irány egységvektora.)

Ezután már nem okoz nehézséget az egész rendszer Lagrange-függvényének meghatározása. Könnyű rájönni, hogy ez a függvény nem az egyes töltésekre felírt La, kifejezések összege, hanem a következő:

8.33. egyenlet - (65.7)

L = a m a v a 2 2 + a m a v a 4 8 c 2 a > b e a e b R a b + a > b e a e b 2 c 2 R a b [ v a v b + ( v a n a b ) ( v b n a b ) ] .

Valóban, a töltések bármelyikére a többi töltés adott mozgása esetén ez az L függvény a fenti La-ba megy át. A (65.7) kifejezés megadja a töltések rendszerét leíró Lagrange-függvényt a másodrendű tagokat tartalmazó pontossággal (ezt először C. G. Darwin vezette le 1922-ben).

Végül határozzuk meg egy töltésekből álló rendszer Hamilton-függvényét ugyanebben a közelítésben. Ezt megkaphatnánk L-ből az általános szabályok szerint, egyszerűbben célt érünk azonban a következőképpen. A (65.1)-ben felírt L(0)-hoz (65.7) második és negyedik tagja kis korrekciót ad. Másrészről viszont a mechanikából tudjuk, hogy kis változások esetén az L-hez és ℋ-hoz adódó kis korrekciók nagysága megegyezik, előjelük pedig különböző (mégpedig L változását adott koordináták és sebességek, ℋ változását adott koordináták és impulzusok mellett kell érteni; lásd az I. kötet 40. §-át).

Így rögtön felírhatjuk ℋ-t, ha a

( 0 ) = a p a 2 2 m a + a > b e a e b R a b

kifejezésből kivonjuk (65.7) második és negyedik tagját, amelyekben előzetesen a sebességeket a va=pa∕ma első közelítés segítségével az impulzusokkal helyettesítettük. Tehát

8.34. egyenlet - (65.8)

= a p a 2 2 m a + a > b e a e b R a b a p a 4 8 c 2 m a 3 a > b e a e b 2 c 2 m a m b R a b [ p a p b + ( p a n a b ) ( p b n a b ) ] .

Feladatok

1. Határozzuk meg (másodrendű tagokat tartalmazó pontossággal) egy kölcsönható részecskékből álló rendszer tömegközéppontját.

Megoldás. A feladatot legegyszerűbben az

R = a a r a + W r d V a a + W d V

képlet segítségével határozhatjuk meg [vö. (14.6)-tal], ahol ℰa a részecske mozgási energiája (a nyugalmi energiáját is beleértve), W pedig a részecskék által keltett erőtér energiasűrűsége. Mivel az ℰa energia az mac2 nagy mennyiséget tartalmazza, a következő közelítés meghatározásához elegendő ℰa-ban és W-ben a c-t nem tartalmazó tagokat, vagyis a részecskék nemrelativisztikus mozgási energiáját és az erőtér potenciálját figyelembe venni. Ekkor

W r d V = 1 8 π E 2 r d V = 1 8 π ( φ ) 2 r d V = = 1 8 π d f φ 2 2 r 1 8 π φ 2 2 d V 1 8 π φ φ r d V ;

a végtelen távoli felületre vett integrál eltűnik; a második integrál felületi integrállá alakítható át, és ez is eltűnik, míg a harmadikba a △φ=–4πϱ helyettesítése után azt kapjuk, hogy

W r d V = 1 2 ϱ φ r d V = 1 2 a e a φ a r a ,

ahol φa az a potenciál, amit a rendszer töltései, ea figyelembevétele nélkül, az ra, pontban hoznak létre.[67]

Így a végeredmény:

R = 1 a r a m a c 2 + p a 2 2 m a + e a 2 b e b R a b

(az összegezés minden b-re vonatkozik, b=a kivételével), ahol

= a m a c 2 + p a 2 2 m a + a > b e a e b R a b

a rendszer teljes energiája. Tehát a vizsgált közelítésben a tömegközéppont koordinátái valóban kifejezhetők kizárólag a részecskékre vonatkozó mennyiségek segítségével.

2. Írjuk fel két részecskéből álló rendszer Hamilton-függvényét második közelítésben, kiküszöbölve belőle a rendszer egészének mozgását.

Megoldás. Válasszunk olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben a két részecske impulzusainak összege zérus. Az impulzusokat a hatás deriváltjaival kifejezve:

p 1 + p 2 = S r 1 + S r 2 = 0 .

Innen látható, hogy az adott vonatkoztatási rendszerben a hatás a két részecske helyzetvektorainak r=r2–r1 különbségétől függ. Így p2=–p1=p, ahol p=∂S∕∂r a részecskék relatív mozgásának impulzusa.

A Hamilton-függvény tehát:

= p 2 2 1 m 1 + 1 m 2 + e 1 e 2 r p 4 8 c 2 1 m 1 3 + 1 m 2 3 + e 1 e 2 2 m 1 m 2 c 2 r [ p 2 + ( p n ) 2 ] .



[65] Különleges esetekben a sugárzás megjelenése eltolódhat a v∕c szerinti ötödik rendig; ebben az esetben a Lagrange-függvény (v∕c)4-es tagokat is tartalmazó közelítésben is létezik. (Lásd a  75. § 2. feladatát.)

[66] Ezek a potenciálok már nem teljesítik a (62.1) Lorentz-feltételt, és így nem tesznek eleget a (62.3) és (62.4) egyenleteknek sem.

[67] A részecske sajátterének elhagyása a  37. §  1 számú lábjegyzetében említett tömeg-„renormálásnak” felel meg.