Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

9. fejezet - ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KISUGÁRZÁSA

9. fejezet - ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KISUGÁRZÁSA

66 §. Töltésrendszer erőtere nagy távolságokban

Tekintsük egy mozgó töltésekből álló rendszer elektromágneses terét a rendszer saját méreteihez képest nagy távolságokban.

A koordináta-rendszer O kezdőpontját válasszuk valahol a töltésrendszer belsejében. Az O-ból a P észlelési pontba húzott helyvektort jelöljük R0-val, ennek irányába mutató egységvektort n-nel. A de=ϱdV töltéselem helyvektora legyen r, a de-ből a P pontba mutató helyvektor pedig R; nyilvánvalóan R=R0–r.

A rendszertől nagy távolságban R0≫r, és közelítőleg fennáll, hogy

R = | R 0 r | R 0 n r .

Helyettesítsük ezt be a retardált potenciálokat meghatározó (62.9) és (62.10) képletekbe. Az integrandusok nevezőjében rn-et elhanyagolhatjuk R0-hoz képest. A t–R0∕c argumentumban ezt általában véve nem tehetjük meg; az elhanyagolás lehetőségét nem R0∕c és rn∕c relatív nagysága határozza meg, hanem az, hogy ϱ és j mennyire változik rn∕c idő alatt. Figyelembe véve, hogy integráláskor R0 állandó, és így kivihető az integráljel elé, a töltésrendszertől távol a potenciálokra a következő kifejezéseket kapjuk:

9.1. egyenlet - (66.1)

φ = 1 R 0 ϱ t R 0 c + r n c d V ,

9.2. egyenlet - (66.2)

A = 1 c R 0 j t R 0 c + r n c d V ,

A rendszertől elég nagy távolságra a tér kis tartományában az erőteret síkhullámnak tekinthetjük. Ehhez az szükséges, hogy a távolság ne csak a rendszer méreteihez, hanem a rendszer által kisugárzott elektromágneses hullámok hullámhosszához képest is nagy legyen. Az erőtérnek ezt a tartományát a sugárzás hullámzónájának nevezzük.

Síkhullámban az E és H térerősségek közt fennáll az E=H×n(47.4) összefüggés. Mivel H=rotA, a hullámzónában a mágneses térerősség meghatározásához elegendő a vektorpotenciált kiszámítani. Síkhullámban H=Ȧ×n [vö. (47.3)-mal]; a betű feletti pont idő szerinti deriválást jelent.[68] Tehát A ismeretében H-t és E-t a következő képletek segítségével kapjuk meg:[69]

9.3. egyenlet - (66.3)

H = 1 c Ȧ × n , E = 1 c ( Ȧ × n ) × n .

Megjegyezzük, hogy nagy távolságban a térerősség a sugárzó rendszertől mért R0 távolság első hatványával fordítottan arányos. Megemlítjük még, hogy a t idő a (66.1)(66.3) kifejezésekben mindenütt R0-val együtt, a t–R0∕c kombinációban fordul elő.

Egyetlen tetszőlegesen mozgó ponttöltés sugárzásának kiszámításához célszerű a Lienard–Wiechert-potenciálokat használni. A rendszertől távol a (63.5) képletben a változó R helyvektort helyettesíthetjük az állandó R0 mennyiséggel, viszont a t′ időpillanatot meghatározó (63.1) feltételben R=R0–r0n-et kell írnunk [r0(t) a töltés helyvektora]. Így[70]

9.4. egyenlet - (66.4)

A = e v ( t ) c R 0 1 n v ( t ) c ,

ahol t′ a következő egyenlőség segítségével határozható meg:

9.5. egyenlet - (66.5)

t 1 c r 0 ( t ) n = t R 0 c .

A rendszer által kisugárzott elektromágneses hullámok bizonyos energiát visznek magukkal. Az energiaáramot a Poynting-vektor adja meg, ez síkhullámban:

S = c H 2 4 π n .

A sugárzás egy dΩ térszögelemre eső dI intenzitását az origó középpontú, R0 sugarú gömbfelület df=R02dΩ elemén időegység alatt átfolyó energiamennyiségként definiáljuk. Ez a mennyiség nyilvánvalóan az S energiaáram-sűrűségnek és df-nek a szorzata, vagyis

9.6. egyenlet - (66.6)

d I = c H 2 4 π R 0 2 d Ω .

Mivel H fordítottan arányos R0-val, látjuk, hogy a rendszer által az időegység alatt egy adott térszögbe kisugárzott energia minden távolságra ugyanakkora (azonos t–R0∕c különbség mellett). Természetesen ennek így is kell lennie, mivel a rendszer által kisugárzott energia a környező térben c sebességgel terjed, nem hajlik el, és nem vész el.

Vezessünk most le a rendszer által kisugárzott hullámok spektrális kifejtésére vonatkozó képleteket. Ezeket közvetlenül a  64. § képleteiből származtathatjuk. (64.2)-be az R=R0–rn kifejezést helyettesítve (az integrandus nevezőjében elegendő R=R0-t írni), a vektorpotenciál Fourier-komponensére a következő kifejezést kapjuk:

9.7. egyenlet - (66.7)

A ω = e i k R 0 c R 0 j ω e i k r d V

(ahol k=kn). A Hω, Eω komponensek a (66.3) képletek segítségével határozhatók meg. Ha ezekbe H, E, A helyett megfelelően a Hωe–iωt, Eωe–iωt, Aωe–iωt kifejezéseket írjuk, majd e–iωt-vel egyszerűsítünk, azt kapjuk, hogy

9.8. egyenlet - (66.8)

H ω = i k × A ω , E ω = i c ω k × ( A ω × k ) .

A sugárzás intenzitásának spektrális eloszlásáról beszélve, meg kell különböztetnünk a Fourier-integrál és a Fourier-sor szerinti kifejtést. Fourier-integrálba kell fejteni a töltött részecskék ütközésekor fellépő sugárzást. Ilyenkor általában az ütközés ideje alatt kisugárzott teljes energiamennyiség érdekel bennünket. (Ez megegyezik az ütköző részecskék energiaveszteségével.) Legyen dℰnω egy dω frekvenciatartományba eső hullám alakjában egy dΩ térszögbe kisugárzott energia. A (49.8) általános képlet szerint a teljes sugárzásnak a dω∕2π intervallumra eső részét megkaphatjuk az intenzitás szokásos kifejezéséből, ha a térerősség négyzetét a Fourier-komponense abszolút értékének négyzetével helyettesítjük, és az eredményt megszorozzuk 2-vel. Így (66.6) helyett azt kapjuk, hogy

9.9. egyenlet - (66.9)

d n ω = c 2 π | H ω | 2 R 0 2 d Ω d ω 2 π .

Ha a töltések periodikus mozgást végeznek, a sugárzás terét Fourier-sorba kell fejteni. A (49.4) általános képlet szerint a Fourier-sorfejtés egyes komponenseinek intenzitását úgy kaphatjuk meg, hogy az intenzitás szokásos kifejezésében a térerősséget annak Fourier-komponensével helyettesítjük, és az eredményt 2-vel szorozzuk. Így az ω=nω0 frekvenciájú, dΩ térszögelembe jutó sugárzás intenzitása

9.10. egyenlet - (66.10)

d I n = c 2 π | H n | 2 R 0 2 d Ω .

Végül vezessük le azokat a képleteket, amelyeknek segítségével a sugárzó töltések adott mozgásából közvetlenül meghatározhatjuk a tér Fourier-komponenseit. A Fourier-integrálba fejtéskor

j ω = + j e i ω t d t .

Ezt (66.7)-be helyettesítve, majd a folytonos árameloszlásról egy r0=r0(t) pályán mozgó pontszerű töltésre áttérve (vö. a  64. §-sal), azt kapjuk, hogy

9.11. egyenlet - (66.11)

A ω = e i k R 0 c R 0 + e v ( t ) e i [ ω t k r 0 ( t ) ] d t .

Mivel v=dr0∕dt, azért vdt=dr0, és ezt a kifejezést vonalintegrálként is felírhatjuk:

9.12. egyenlet - (66.12)

A ω = e e i k R 0 c R 0 v ( t ) e i ( ω t k r 0 ) d r 0 .

Integrálnunk a töltés pályája mentén kell. (66.8) alapján a mágneses tér Fourier-komponense:

9.13. egyenlet - (66.13)

H ω = e i ω e i k R 0 c 2 R 0 e i ( ω t k r 0 ) n × d r 0 .

Ha a töltés zárt pályán periodikus mozgást végez, akkor a térerősséget Fourier-sorba fejtjük. A kifejtés komponenseit megkaphatjuk, ha a (66.11)(66.13) képletekben a teljes időtartamra vett integrálást a mozgás T periódusidejére való átlagolással helyettesítjük (a definíciókat lásd a  49. §-ban). Így a mágneses térerősség ω=nω0=2πn∕T frekvenciához tartozó Fourier-komponense:

9.14. egyenlet - (66.14)

H n = e 2 π i n e i k R 0 c 2 T 2 R 0 0 T e i ( n ω 0 t k r 0 ( t ) ) n × v ( t ) d t = e 2 π i n e i k R 0 c 2 T 2 R 0 e i ( n ω 0 t k r 0 ) n × d r 0 .

A második integrálban az összegezést a részecske zárt pályájára kell elvégezni.

Feladat

Határozzuk meg egy adott pályán mozgó töltés által kisugárzott négyesimpulzus spektrális kifejtését négydimenziós alakban.

Megoldás. (66.8)-at (66.9)-be helyettesítve, és figyelembe véve, hogy a (62.1) Lorentz-feltétel miatt kφω=kAω, azt kapjuk, hogy

d n ω = c 2 π ( k 2 | A ω | 2 | k A ω | 2 ) R 0 2 d Ω d ω 2 π = c 2 π k 2 ( | A ω | 2 | φ ω | 2 ) R 0 2 d Ω d ω 2 π = = c 2 π k 2 A i ω A ω i R 0 2 d Ω d ω 2 π .

Az Aiω, négyespotenciált (66.12)-höz hasonló alakban írva, a következő kifejezést nyerjük:

d n ω = k 2 e 2 4 π 2 χ i χ i d Ω d k ,

ahol χi az alábbi négyesvektort jelöli:

χ i = exp ( i k l x l ) d x i .

Itt a részecske világvonala mentén kell integrálnunk. Végül négydimenziós jelölésekre áttérve [többek között a k-tér négydimenziós térfogatelemére, vö. a (10.1a) egyenlőséggel], a kisugárzott négyesimpulzus így írható:

d P i = e 2 k i 2 π 2 c χ i χ i δ ( k m k m ) d 4 k .



[68] Az adott esetben ezt a képletet könnyen ellenőrizhetjük a (66.2) kifejezés rotációjának közvetlen kiszámításával is; a számítások során az 1∕R02-es tagokat el kell hagyni az ∼1∕R0 tag mellett.

[69] Az E=–Ȧ∕c képlet [lásd (47.3)-at] itt nem alkalmazható, mivel a φ, A potenciálok nem elégítik ki a  47. §-ban kirótt mellékfeltételeket.

[70] Az elektromos teret meghatározó (63.8) képletben ennek az felel meg, hogy az első tagot elhanyagoljuk a második mellett.