Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

67 §. Dipólsugárzás

67 §. Dipólsugárzás

A retardált potenciálokat leíró (66.1) és (66.2) kifejezések integrandusaiban az rn∕c időt elhanyagolhatjuk, ha ezalatt a töltések eloszlása csak kicsit változik. Ennek a feltételét könnyű meghatározni. Jelölje T annak az időtartamnak a nagyságrendjét, amely alatt a rendszer töltéseloszlása észrevehetően megváltozik. A rendszer sugárzásának periódusa nyilvánvalóan T nagyságrendjébe esik (vagyis a frekvencia 1∕T nagyságrendű). Jelöljük továbbá a-val a rendszer méreteinek nagyságrendjét. Ekkor az említett idő rn∕c∼a∕c. Ahhoz, hogy ez idő alatt a rendszer töltéseloszlása ne változzék lényegesen, szükséges, hogy a∕c≪T legyen. Viszont cT a sugárzás λ hullámhossza. Így az a≪cT feltételt az

9.15. egyenlet - (67.1)

a λ

alakban is felírhatjuk, vagyis a rendszer méreteinek kicsiknek kell lenniük a kibocsátott sugárzás hullámhosszához képest.

Vegyük észre, hogy a (67.1) feltételt (66.7)-ből is megkaphatjuk. Integráláskor r a rendszer méreteinek megfelelő tartományon fut végig, mivel a rendszeren kívül j zérus. Ezért az ikr kitevő kicsi, és így elhagyható, ha a vizsgált hullámokra ka≪1, ami ekvivalens (67.1)-gyel.

Ezt a feltételt másképpen is megfogalmazhatjuk, ha észrevesszük, hogy T∼a∕v és így λ∼ca∕v, ahol v a töltések sebességének nagyságrendje. Az a≪λ feltételből ekkor azt kapjuk, hogy

9.16. egyenlet - (67.2)

v c

vagyis a töltések sebességeinek kicsiknek kell lenniük a fénysebességhez képest.

A továbbiakban abból indulunk ki, hogy ez a feltétel teljesül, és a sugárzást a rendszertől a hullámhosszhoz (és következésképpen a rendszer méreteihez) képest nagy távolságokban vizsgáljuk. Mint a  66. §-ban megjegyeztük, ilyen távolságokban a mezőt síkhullámnak tekinthetjük, és így meghatározásához elegendő a vektorpotenciált megadni.

(66.2) vektorpotenciál most

9.17. egyenlet - (67.3)

A = 1 c R 0 j t d V

alakú, ahol t′=t–R0∕c, és már nem függ az integrálási változóktól. A j=ϱv kifejezést behelyettesítve, a (67.3) képletet átírjuk a következő alakra:

A=1cR0ev,

ahol a rendszer töltéseire kell összegezni. A rövidség kedvéért a t′ indexet elhagyjuk, az egyenlőségek jobb oldalán minden mennyiséget a t′ időpillanatban kell venni. Viszont

ev=ddter=,

ahol d a rendszer dipólmomentuma. Tehát

9.18. egyenlet - (67.4)

A = 1 c R 0 .

(66.3) képletek segítségével azt kapjuk, hogy a mágneses térerősség

9.19. egyenlet - (67.5)

H = 1 c 2 R 0 d ̈ × n ,

az elektromos térerősség pedig

9.20. egyenlet - (67.6)

E = 1 c 2 R 0 ( d ̈ × n ) × n .

Megjegyezzük, hogy az adott közelítésben a sugárzást a dipólmomentum második deriváltja határozza meg. Ezt nevezik dipólsugárzásnak.

Mivel d=∑er, azért d̈=∑ev̇. Tehát a töltések csak akkor sugározhatnak, ha gyorsuló mozgást végeznek. Egyenletesen mozgó töltések nem sugároznak. Ez különben közvetlenül is következik a relativitás elvéből, mivel az egyenletesen mozgó töltést olyan rendszerből is szemlélhetjük, amelyben nyugalomban van, viszont az álló töltések nem sugároznak.

(67.5)-öt (66.6)-ba helyettesítve, a dipólsugárzás intenzitására a következő kifejezést kapjuk:

9.21. egyenlet - (67.7)

d I = 1 4 π c 3 ( d ̈ × n ) 2 d Ω = d ̈ 2 4 π c 3 sin 2 𝜃 d Ω

(itt 𝜃 a d̈ és n vektorok által bezárt szög). Ez a rendszer által időegység alatt dΩ térszögbe kisugárzott energia. Megjegyezzük, hogy a szögeloszlást a sin2𝜃 szorzótényező határozza meg.

d Ω=2πsin𝜃d𝜃 behelyettesítése után d𝜃 szerint 0-tól π-ig integrálunk, így meg kapjuk a sugárzás teljes intenzitását:

9.22. egyenlet - (67.8)

I = 2 3 c 3 d ̈ 2 .

Ha csak egyetlen, külső térben mozgó töltés van, akkor d=er és d̈=ew, ahol w a töltés gyorsulása. A gyorsuló töltés teljes sugárzása tehát

9.23. egyenlet - (67.9)

I = 2 e 2 w 2 3 c 3

Megjegyezzük, hogy ha egy zárt rendszer részecskéi töltésének és tömegének aránya azonos, akkor az nem bocsáthat ki dipólsugárzást. Valóban, ilyen rendszerre a dipólmomentum

d = e r = e m m r = c o n s t m r ,

itt a const a fajlagos töltés, ez pedig minden részecskére megegyezik. Viszont ∑mr=R∑m, ahol R a rendszer tömegközéppontjának helyvektora. (Emlékeztetünk arra, hogy az összes sebességre v≪c, és így alkalmazható a klasszikus mechanika.) Ezért d̈ arányos a tömegközéppont gyorsulásával, azaz zérus, mivel a tömegközéppont egyenletesen mozog.

Végül írjuk fel a dipólsugárzás intenzitásának spektrális kifejtéseit. Az ütközéskor fellépő sugárzás esetén vezessük be az ütközés egész ideje alatt a dω∕2π frekvenciaintervallumban kisugárzott dℰω energiamennyiséget (vö. a  66. §-sal). Ezt úgy kapjuk (67.8)-ból, hogy d̈-ot a d̈ω Fourier-komponensévei helyettesítjük, és szorzunk 2-vel:

d ω = 4 3 c 3 ( d ̈ ω ) 2 d ω 2 π .

A Fourier-komponensek definíciója szerint

d ̈ ω e i ω t = d 2 d t 2 ( d ω e i ω t ) = ω 2 d ω e i ω t ,

ahonnan d̈ω=–ω2dω. Írhatjuk tehát, hogy

9.24. egyenlet - (67.10)

d ω = 4 ω 4 3 c 3 | d ω | 2 d ω 2 π .

A részecskék periodikus mozgása esetén hasonlóképpen határozhatjuk meg az ω=nω0 frekvenciájú sugárzás intenzitását. Ez a következő:

9.25. egyenlet - (67.11)

I n = 4 ω 0 4 n 4 3 c 3 | d n | 2 .

Feladatok

1. Határozzuk meg egy adott síkban állandó ω0 szögsebességgel forgó dipólus terét.[71]

Megoldás. A forgás síkjának az xy síkot választva, a dipólmomentum komponensei:

d x = d 0 cos ω 0 t , d y = d 0 sin ω 0 t .

Ezek a függvények monokromatikusak, így a sugárzás szintén monokromatikus lesz ω=ω0 frekvenciával. A (67.7) képletből megkapjuk a forgás periódusára átlagolt sugárzás szögeloszlását:

d I ¯ = d 0 2 ω 0 4 8 π c 3 ( 1 + cos 2 𝜗 ) d Ω ,

ahol 𝜗 a sugárzás iránya (n) és a z tengely által bezárt szög. A teljes sugárzás

I ¯ = 2 d 0 2 ω 0 4 3 c 3 .

A sugárzás polarizációját a d̈×n=ω2n×d vektor iránya határozza meg. Ezt az nz síkba eső és az arra merőleges irányra vetítve azt kapjuk, hogy a sugárzás elliptikusan polarizált, a polarizációs ellipszis féltengelyeinek aránya nz=cos𝜗; így például a z tengely irányában haladó sugárzás cirkulárisan polarizált.

2. Határozzuk meg egy olyan töltésrendszer sugárzásának szögeloszlását, amely mint egész, v sebességgel mozog, ha ismerjük a szögeloszlást abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a rendszer mint egész nyugalomban van.

Megoldás. Legyen

d I = f ( cos 𝜃 , φ ) d Ω , d Ω = d ( cos 𝜃 ) d φ

a sugárzás intenzitása a töltésrendszerrel együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben (𝜃′, φ′ a gömb koordináták, a poláris tengely a rendszer mozgásának irányába mutat). A K nyugvó (laboratóriumi) vonatkoztatási rendszerben dt idő alatt kisugárzott dℰ energia a K′ rendszerben kisugárzott dℰ′ energiával a következő transzformációs képlet segítségével kapcsolható össze:

d = d V d P 1 V 2 c 2 = d 1 V c cos 𝜃 1 V 2 c 2 .

(Adott irányban terjedő sugárzás impulzusa az energiájából a |dP|=dℰ∕c képlet segítségével határozható meg.) A 𝜃 és 𝜃′ polárszögek – a sugárzás irányai a K és a K′ rendszerben – az (5.6) képletek szerint függenek össze. (Az azimutszögek megegyeznek, φ=φ′.) Végül a K′ rendszerben mért dt′ időnek a K rendszerben dt=dt′∕√(1–V2∕c2) idő felel meg. Így a K rendszerben a dI=dℰ∕dt intenzitásra a következő kifejezést nyerjük:

d I = 1 V 2 c 2 2 1 V c cos 𝜃 5 f cos 𝜃 V c 1 V c cos 𝜃 , φ d Ω .

Egy saját tengelye mentén mozgó dipólusra f=const⋅sin2𝜃′, és a fenti képlet segítségével az kapjuk, hogy

d I = c o n s t 1 V 2 c 2 3 sin 2 𝜃 1 V c cos 𝜃 3 d Ω .



[71] Ide tartozik a dipólmomentummal rendelkező rotátor és szimmetrikus pörgettyű sugárzása. Az első esetben d szerepét a rotátor teljes impulzusmomentuma játssza, a második esetben pedig a pörgettyű dipólmomentumának egy olyan síkra eső vetülete, amely merőleges a precesszió tengelyére vagyis a forgás teljes impulzusmomentumának irányára.