Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

68 §. Dipólsugárzás ütközéskor

68 §. Dipólsugárzás ütközéskor

Az ütközéseket kísérő fékezési sugárzás vizsgálatakor ritkán találkozunk azzal a feladattal, hogy meghatározzuk két, adott pályán mozgó részecske ütközésekor fellépő sugárzást. Általában párhuzamosan mozgó részecskékből álló teljes nyaláb szórását vizsgáljuk, ekkor célunk az egységnyi részecske-áramsűrűségre vonatkoztatott teljes sugárzás meghatározása.

Ha a nyalábban a részecskék áramának sűrűsége egységnyi (vagyis egységnyi idő alatt a nyaláb egységnyi keresztmetszetén egy részecske halad keresztül), akkor a nyaláb olyan részecskéinek száma, amelyeknek „ütközési paramétere” ϱ és ϱ+dϱ között van, 2πϱdϱ (a ϱ és ϱ+dϱ sugarú körök közti körgyűrű területe). Így a keresett teljes sugárzást úgy kapjuk meg, hogy egy (adott ütközési paraméterű) részecske Δℰ teljes sugárzását megszorozzuk 2πϱdϱ-val, és integráljuk dϱ szerint 0-tól ∞-ig. Az így kapott mennyiség dimenziója az energia és a terület szorzata. Ezt effektív sugárzásnak nevezzük, és ϰ-val jelöljük:

9.26. egyenlet - (68.1)

ϰ = 0 Δ 2 π ϱ d ϱ .

A ϰ számnak a sugárzó rendszer energiájához való viszonyát sugárzási energiaveszteségnek nevezzük. Hasonló módon definiálhatunk egy adott dΩ térszögelembe, adott dω frekvenciaintervallumba stb. eső effektív sugárzást.[72]

Vezessük le a gömbszimmetrikus erőtérben szóródó részecskenyaláb sugárzásának szögeloszlását leíró általános képletet dipólsugárzásra szorítkozva.

Egy részecske által kibocsátott sugárzás intenzitását (bármely időpillanatban) a (67.7) képlet adja meg, ahol d a részecske dipólmomentuma a szóró centrumhoz viszonyítva.[73] Először is átlagoljuk ezt a kifejezést a d̈ vektornak a nyalábkeresztmetszet síkjára eső vetülete szerint. Mivel (d̈×n)2=d̈2–(nd̈)2, átlagolnunk csak az (nd̈)2 kifejezést kell. A szóró erőtér gömbszimmetrikus, a nyaláb párhuzamos, ezért a szórás (és ezzel együtt a sugárzás is) tengelyszimmetrikus a centrumon átmenő tengelyre vonatkozóan. Válasszuk ezt x tengelynek. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy d̈y, d̈z az első hatványai átlagoláskor zérust adnak, és mivel d̈x-ot nem átlagoljuk, így

d ̈ x d ̈ y ¯ = d ̈ x d ̈ z ¯ = 0 .

d ̈ y 2 és d̈x2 átlagértékei megegyeznek, ezért

d ̈ y 2 ¯ = d ̈ z 2 ¯ = 1 2 ( d ̈ 2 d ̈ x 2 ) .

Ezeket figyelembe véve, azt kapjuk, hogy

( d ̈ × n ) 2 ¯ = 1 2 ( d ̈ 2 + d ̈ x 2 ) + 1 2 ( d ̈ 2 3 d ̈ x 2 ) cos 2 𝜃 ,

ahol 𝜃 a sugárzás n iránya és az x tengely által bezárt szög.

Az intenzitást az idő és az ütközési paraméter szerint integrálva, megkapjuk az effektív sugárzást az irány függvényében:

9.27. egyenlet - (68.2)

d χ n = d Ω 4 π c 3 A + B 3 cos 2 𝜃 1 2 ,

ahol

9.28. egyenlet - (68.3)

A = 2 3 0 + d ̈ 2 d t 2 π ϱ d ϱ , B = 1 3 0 + ( d ̈ 2 3 d ̈ x 2 ) d t 2 π ϱ d ϱ .

(68.2) második tagját úgy írtuk fel, hogy az irányok szerint átlagolva eltűnjék, tehát a teljes effektív sugárzás ϰ=A∕c3. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a sugárzás szögeloszlása szimmetrikus a szórócentrumon áthaladó és a nyalábra merőleges síkra nézve: a (68.2) kifejezés nem változik, ha a 𝜃 szöget π–𝜃-val helyettesítjük. Ez a tulajdonság a dipólsugárzásra jellemző, v∕c magasabb hatványait is tartalmazó közelítésekre áttérve elvész.

A fékezési sugárzás intenzitását két részre oszthatjuk: az x tengelyen és az n irányon átmenő síkban (nevezzük ezt xy síknak) polarizált sugárzás intenzitására és a merőleges xz síkban polarizált sugárzáséra.

Az elektromos térerősség iránya megegyezik az

n × ( n × d ̈ ) = n ( n d ̈ ) d ̈

vektor irányával [lásd a (67.6) képletet]. A fenti vektor xy síkra merőleges komponense –d̈z, az xy síkra eső vetülete pedig |sin𝜃⋅d̈x–cos𝜃⋅d̈y|. (Az utóbbi egyenlő a d̈×n irányú mágneses térerősség z komponensével.)

E-t négyzetre emelve és a d̈ vektor yz síkra eső vetületének iránya szerint átlagolva, először is azt vesszük észre, hogy a térerősség xy síkban levő és arra merőleges komponensének szorzata eltűnik. Ez azt jelenti, hogy az intenzitás valóban két független rész, két egymásra merőleges síkban polarizált sugárzás intenzitásainak összegeként írható.

Ha a sugárzás elektromos tere az xy síkra merőleges, intenzitását d̈z2=(1/2)(d̈2–d̈x2) átlaga határozza meg. Az effektív sugárzás megfelelő részére a következő kifejezést kapjuk:

9.29. egyenlet - (68.4)

d χ n = d Ω 4 π c 3 1 2 0 + ( d ̈ 2 d ̈ x 2 ) d t 2 π ϱ d ϱ .

Megjegyezzük, hogy a sugárzásnak ez a része izotrop, nem függ a sugárzás irányától. Az xy síkba eső elektromos térerősség esetére az effektív sugárzás képletét nem szükséges leírni, mivel nyilvánvalóan

d χ n + d χ n = d χ n .

Hasonlóan határozhatjuk meg egy adott frekvenciaintervallumba eső effektív sugárzás szögeloszlását is:

9.30. egyenlet - (68.5)

d χ n ω = d Ω 2 π c 3 A ( ω ) + B ( ω ) 3 cos 2 𝜃 1 2 d ω 2 π ,

ahol

9.31. egyenlet - (68.6)

A ( ω ) = 2 ω 4 3 0 d ω 2 2 π ϱ d ϱ , B ( ω ) = ω 4 3 0 ( d 2 3 d x ω 2 ) 2 π ϱ d ϱ .



[72] Ha az integrandus függ a dipólmomentum irányának a nyaláb keresztmetszetének síkjára eső vetületétől, akkor e síkban levő összes irányra átlagolunk. Csak ezután kell 2πϱdϱ-val szorozni és integrálni.

[73] Ténylegesen általában két részecske – a szóródó és a szórt – dipólmomentumáról van szó a közös tömegközéppontjukhoz viszonyítva.