Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

69 §. Kis frekvenciájú fékezési sugárzás

69 §. Kis frekvenciájú fékezési sugárzás

A fékezési sugárzás spektrális eloszlásában az intenzitás legnagyobb része az ω∼1∕τ frekvenciákra esik, ahol τ az ütközés időtartamának nagyságrendje. Most azonban a spektrumnak nem ezt a részét vizsgáljuk (erre nem írhatók fel általános képletek), hanem az eloszlás kisfrekvenciás végét, amelyre fennáll, hogy

9.32. egyenlet - (69.1)

ω τ 1 .

Most nem feltételezzük, hogy az ütköző részecskék sebessége kicsi a fénysebességhez képest, mint azt az előző szakaszban tettük; az alábbi képletek tetszőleges sebességekre vonatkoznak.

A

Hω=+Heiωtdt

integrálban a sugárzás H tere csak τ nagyságrendű ideig különbözik észrevehetően zérustól. Ha tehát a (69.1) feltétel teljesül, az integrandusban ωt≪1, és az eiωt tényezőt 1-gyel helyettesíthetjük; ekkor

Hω=+Hdt

Behelyettesítve ide a H=Ȧ×n∕c kifejezést, és dt szerint integrálva, azt kapjuk, hogy

9.33. egyenlet - (69.2)

H ω = 1 c ( A 2 A 1 ) × n ,

ahol A2–A1 az ütköző részecskék által létrehozott vektorpotenciál megváltozása az ütközés folyamán.

Az ütközés ideje alatti (ω frekvenciájú) teljes sugárzást úgy kaphatjuk meg, hogy (69.2)-t (66.9)-be helyettesítjük:

9.34. egyenlet - (69.3)

d n ω = R 0 2 4 c π 3 [ ( A 2 A 1 ) × n ] 2 d Ω d ω .

A vektorpotenciál Lienard–Wiechert-féle (66.4) alakját használva, azt kapjuk, hogy

9.35. egyenlet - (69.4)

d n ω = 1 4 π 2 c 3 e v 2 × n 1 1 c n v 2 v 1 × n 1 1 c n v 1 2 d Ω d ω ,

ahol v1, v2 a részecskék sebességei az ütközés előtt és után, az összegezést pedig a két ütköző részecskére értjük. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy dω együtthatója nem függ a frekvenciától. Más szóval, kis frekvenciák esetén [a (69.1) feltétel] a sugárzás spektrális eloszlása független a frekvenciától, vagyis dℰnω∕dω állandó határértékhez tart ω→0 esetén.[74]

Ha az ütköző részecskék sebessége kicsi a fénysebességhez képest, akkor (69.4) egyszerűsíthető:

9.36. egyenlet - (69.5)

d n ω = 1 4 π 2 c 3 e ( v 2 v 1 ) × n 2 d Ω d ω .

Ez a kifejezés a dipólsugárzásnak felel meg, amelynek vektorpotenciálját (67.4) szolgáltatja.

A fenti képletek érdekes alkalmazási lehetősége egy új töltött részecske kibocsátását követő sugárzás vizsgálata. (Például amikor egy β-részecske kirepül a magból.) A folyamatot ekkor úgy kell tekintenünk, mint a részecske sebességének egy pillanat alatt végbemenő megváltozását zérustól egy adott értékre. [Mivel a (69.5) képlet v1 és v2 felcserélésére nézve szimmetrikus, a fenti esetben keletkező sugárzás megegyezik a fordított folyamat, a részecske hirtelen megállása során keletkező sugárzással.] Lényeges, hogy mivel az adott folyamat τ „időtartama” 0-hoz tart, a (69.1) feltétel gyakorlatilag minden frekvenciára teljesül.[75]

Feladat

Határozzuk meg egy v sebességgel kibocsátott töltött részecske teljes sugárzásának spektrális eloszlását.

Megoldás.(69.4) képlet szerint (amelyben most v2=v, v1=0):

d ω = d ω e 2 v 2 4 π 2 c 3 0 π sin 2 𝜃 1 v c cos 𝜃 2 2 π sin 𝜃 d 𝜃 .

Az integrál kiszámítása a következő eredményre vezet:[76]

9.37. egyenlet - (1)

d ω = e 2 π c c v ln c + v c v 2 d ω .

v≪c esetén ez a képlet

d ω = 2 e 2 v 2 3 π c 3 d ω .

alakba megy át, ami (69.5)-ből közvetlenül is megkapható.



[74] Az ütközési paraméter szerint integrálva, egy részecskenyaláb effektív sugárzására hasonló eredményt kapunk. Figyelembe kell azonban venni, hogy a fenti eredmény nem érvényes az effektív sugárzásra, ha az ütköző részecskék között Coulomb-kölcsönhatás lép fel, mivel ekkor a dϱ szerint számított integrál nagy ϱ értékekre (logaritmikusan) divergál. A következő szakaszban látni fogjuk, hogy ebben az esetben az effektív sugárzás kis frekvenciákra nem marad állandó, hanem logaritmikusan függ a frekvenciától.

[75] A képletek alkalmazhatóságát azonban korlátozza az a kvantumfeltétel, hogy ωℏ-nak kicsinek kell lennie a részecske mozgási energiájához viszonyítva.

[76] Mint azt már említettük, a (69.1) feltétel a folyamat „pillanatnyi” volta miatt minden frekvenciára teljesül, a teljes kisugárzott energiát mégsem kaphatjuk meg (1)-ből dω szerint kiintegrálva, hiszen az integrál nagy frekvenciákra divergál. A klasszikus leírás érvényességét biztosító feltétel nagy frekvenciákra nem teljesül, sőt az adott esetben maga a klasszikus tárgyalás is helytelen, mivel a részecske gyorsulása kezdetben végtelen.