Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

70 §. Sugárzás Coulomb-kölcsönhatás esetén

70 §. Sugárzás Coulomb-kölcsönhatás esetén

Ebben a szakaszban két töltött részecskéből álló rendszer dipólsugárzására vonatkozó összefüggéseket származtatunk le, feltételezve, hogy a részecskék sebessége kicsi a fénysebességhez viszonyítva.

A részecskerendszer egészének egyenletes mozgása (a tömegközéppont haladása) nem érdekes számunkra, mivel nem vezet sugárzáshoz, ezért csak a részecskék relatív mozgását kell vizsgálnunk. A koordináta-rendszer kezdőpontját vegyük fel a tömegközéppontban. Ekkor a rendszer d=e1r1+e2r2 dipólmomentuma

9.38. egyenlet - (70.1)

d = e 1 m 2 e 2 m 1 m 1 + m 2 r = μ e 1 m 1 e 2 m 2 r

alakban írható, ahol 1 és 2 a két részecskére vonatkozó indexek, r=r1–r2 a részecskék relatív helyzetvektora, és μ=(m1m2/m1+m2) a redukált tömeg.

Kezdjük olyan sugárzás vizsgálatával, amely két, egymást a Coulomb-törvény szerint vonzó részecske elliptikus mozgásakor lép fel. Amint azt a mechanikából tudjuk (lásd az I. kötet 15. §-át), ezt a mozgást leírhatjuk úgy, mint egy μ tömegű részecske mozgását egy ellipszis mentén, amelynek alakja polárkoordinátákban:

9.39. egyenlet - (70.2)

1 + 𝜀 cos φ = a ( 1 𝜀 2 ) r ,

ahol az a fél nagytengely és az 𝜀 excentricitás a következő:

9.40. egyenlet - (70.3)

a = α 2 | | , 𝜀 = 1 2 | | J 2 μ α 2 .

Itt ℰ a részecske teljes energiája (a nyugalmi tömeg nélkül!), amely véges mozgás esetén negatív; J=μr2φ̇ az impulzusmomentum; α a Coulomb-törvényben szereplő állandó:

α=|e1e2|.

A koordináták időfüggését az

9.41. egyenlet - (70.4)

r = a ( 1 𝜀 cos ξ ) , t = μ a 3 α ( ξ 𝜀 sin ξ )

paraméteres egyenletek adják. Az ellipszisen egy teljes keringés során a ξ koordináta 0-tól 2π-ig változik; a mozgás periódusa:

T=2πμa3α.

Határozzuk meg a dipólmomentum Fourier-komponenseit. Mivel a mozgás periodikus, Fourier-sorba kell fejtenünk. A dipólmomentum arányos az r helyvektorral, így a feladat visszavezethető az x=rcosφ, y=rsinφ koordináták Fourier-komponenseinek kiszámítására. A koordináták időfüggését az

9.42. egyenlet - (70.5)

x = a ( cos ξ 𝜀 ) , y = a 1 𝜀 2 sin ξ , ω 0 t = ξ 𝜀 sin ξ

paraméteres egyenletek határozzák meg. Itt bevezettük az

ω0=2πT=αμa3=(2||)32αμ12

frekvenciát.

A koordináták Fourier-komponensei helyett egyszerűbb a sebesség Fourier-komponenseit kiszámítani, és felhasználni azt, hogy ẋn=–iωnxn, ẏn=–iωnyn. Ekkor

x n = n i ω 0 n = i ω 0 n T 0 T e i ω 0 n t d t .

Viszont ẋdt=dx=–asinξdξ; a dt szerinti integrálásról dξ szerintire áttérve, azt kapjuk, hogy

x n = i a 2 π n 0 2 π e i n ( ξ 𝜀 sin ξ ) sin ξ d ξ .

Hasonlóképpen

y n = i a 1 𝜀 2 2 π n 0 2 π e i n ( ξ 𝜀 sin ξ ) cos ξ d ξ = i a 1 𝜀 2 2 π n 𝜀 0 2 π e i n ( ξ 𝜀 sin ξ ) d ξ .

(Az első integrálból a másodikat úgy kaphatjuk meg, hogy az integrandusban a cosξ≡(cosξ–(1/𝜀))+(1/𝜀) helyettesítést végezzük; ekkor az első tag integrálja kiszámítható, az eredmény azonosan zérus.) Végül használjuk fel a Bessel-függvények elméletének ismert képletét:

9.43. egyenlet - (70.6)

1 2 π 0 2 π e i ( n ξ x sin ξ ) d ξ = 1 π 0 π cos ( n ξ x sin ξ ) d ξ = J n ( x ) ,

ahol Jn(x) az n-ed rendű Bessel-függvény. Így a keresett Fourier-komponensekre a következő kifejezéseket kapjuk:

9.44. egyenlet - (70.7)

x n = a n J n ( n 𝜀 ) , y n = i a 1 𝜀 2 n 𝜀 J n ( n 𝜀 ) ,

(A vessző a Bessel-függvényen az argumentuma szerinti deriválást jelenti.)

A sugárzás monokromatikus komponenseinek intenzitását megkapjuk, ha xω-t és yω-t behelyettesítjük az

I n = 4 ω 0 4 n 4 3 c 3 μ 2 e 1 m 1 e 2 m 2 2 ( | x ω | 2 + | y ω | 2 )

képletbe [lásd (67.11)-et] a-t és ω0-t a részecskék jellemző adataival kifejezve, a végeredmény:

9.45. egyenlet - (70.8)

I n = 6 4 n 2 4 3 c 3 α 2 e 1 m 1 e 2 m 2 2 J n 2 ( n 𝜀 ) + 1 𝜀 2 𝜀 2 J n 2 ( n 𝜀 ) .

Írjuk fel például az intenzitás aszimptotikus kifejezését nagyon magas felharmonikusokra (nagy n-ekre) egy parabolához közeli pálya esetén (𝜀 közel van 1-hez). Ehhez használjuk fel a

Jn(n𝜀)1π2n13Φn223(1𝜀2),(70.9)n1,1𝜀1,

aszimptotikus képletet, ahol Φ az Airy-függvény (a definíciót lásd az  59. §  8. számú lábjegyzetben).[77] Ezt (70.8)-ba helyettesítve:

9.46. egyenlet - (70.10)

In=642233πn434c3α2e1m1e2m22(1𝜀2)Φ2n232(1𝜀2)+2n23Φ2n223(1𝜀2).


Az eredményt a Kν Macdonald-függvények segítségével is kifejezhetjük:

In=649π2n24c3α2e1m1e2m22K132n3(1𝜀2)23+K232n3(1𝜀2)32

(A szükséges képletek megtalálhatók a  74. §  20. számú lábjegyzetében.)

Tekintsük továbbá két, egymást vonzó töltött részecske szórását. Relatív mozgásuk leírható egy μ tömegű részecskének az

9.47. egyenlet - (70.11)

1 + 𝜀 cos φ = a ( 𝜀 2 1 ) r

hiperbolán végzett mozgásával, ahol

9.48. egyenlet - (70.12)

a = α 2 , 𝜀 = 1 + 2 J 2 μ α 2

(most ℰ>0) r időfüggését az

9.49. egyenlet - (70.13)

r = a ( 𝜀 ch ξ 1 ) , t = μ a 3 α ( 𝜀 sh ξ ξ )

paraméteres egyenlet határozza meg, ahol a ξ paraméter –∞-től +∞-ig változik. Az x, y koordinátákra azt kapjuk, hogy

9.50. egyenlet - (70.14)

x = a ( 𝜀 ch ξ ) , y = a 1 𝜀 2 sh ξ .

A Fourier-komponenseket (most Fourier-integrálba fejtésről van szó) ugyanúgy számítjuk ki, mint az előző esetben. Az eredmény:

9.51. egyenlet - (70.15)

x ω = π a ω H i ν ( 1 ) ( i ν 𝜀 ) , y ω = π a 𝜀 2 1 ω 𝜀 H i ν ( 1 ) ( i ν 𝜀 ) ,

ahol Hiν(1) az első fajú, iν rendű Hankel-függvény, és bevezettük a

9.52. egyenlet - (70.16)

ν = ω α μ a 3 = ω μ v 0 3

jelölést (v0 a részecskék relatív sebessége a végtelenben; az energia ℰ=μv02∕2).[78] A számítások során felhasználtuk a következő ismert összefüggést:

9.53. egyenlet - (70.17)

+ e p ξ i x sh ξ d ξ = i π H p ( 1 ) ( i x ) .

(70.15)-öt behelyettesítve a

d ω = 4 ω 4 μ 2 3 c 3 e 1 m 1 e 2 m 2 2 ( | x ω | 2 + | y ω | 2 ) d ω 2 π

képletbe [lásd (67.10)-et], azt kapjuk, hogy

9.54. egyenlet - (70.18)

d ω = π μ 2 α 2 ω 2 6 c 3 2 e 1 m 1 e 2 m 2 2 [ H i ν ( 1 ) ( i ν 𝜀 ) ] 2 𝜀 2 1 𝜀 2 [ H i ν ( 1 ) ( i ν 𝜀 ) ] 2 d ω .

Érdekesebb ennél a párhuzamos részecskenyaláb szórására vonatkozó „effektív sugárzás” (lásd a  68. §-t). Kiszámításához szorozzuk be ℰω-t 2πϱdϱ-val, és integráljuk a 0-tól ∞-ig terjedő ϱ értékekre. A dϱ szerinti integrálást d𝜀 szerinti integrálással helyettesíthetjük (1-től ∞-ig), felhasználva azt, hogy 2πϱdϱ=2πa2𝜀d𝜀; ez az összefüggés (70.12)-ből adódik, ahol J és ℰ a ϱ ütközési paraméterrel és v0 sebességgel a következőképpen fejezhetők ki:

J = μ ϱ v 0 , = μ v 0 2 2 .

Az így kapott integrált a

z Z p 2 + p 2 z 2 1 Z p 2 d d z ( z Z p Z p )

képlet segítségével számíthatjuk ki, ahol Zp(z) a p-ed rendű Bessel-egyenlet tetszőleges megoldása.[79] Figyelembe véve, hogy a Hiν(1)(iν𝜀) Hankel-függvény a 𝜀→∞ esetén eltűnik, a következő eredményt kapjuk:

9.55. egyenlet - (70.19)

d ϰ ω = 4 π 2 α 3 ω 3 c 3 μ v 0 5 e 1 m 1 e 2 m 2 2 | H i ν ( 1 ) ( i ν ) | H i ν ( 1 ) ( i ν ) d ω .

Vizsgáljuk meg külön a kis és nagy frekvenciák határeseteit. A Hankel-függvényt meghatározó

9.56. egyenlet - (70.20)

+ e i ν ( ξ sh ξ ) d ξ = i π H i ν ( i ν )

integrálban a ξ integrálási változónak csak az a tartománya lényeges, amelyben a kitevő egységnyi nagyságrendű. Kis frekvenciák esetén (ν≪1) ezért a nagy ξ értékek tartománya lényeges. Nagy ξ-kre viszont shξ≫ξ. Ezért közelítőleg

Hiν(1)(iν)iπ+eiν shξdξ=H0(1)(iν).

Hasonlóképpen kapjuk azt, hogy

Hiν(1)(iν)H0(1)(iν).

Végül felhasználva a Bessel-függvények elméletéből ismert, kis x-ekre érvényes

iH0(1)(ix)2πln2γx

közelítő kifejezést (γ=eC, ahol C az Euler-állandó; γ=1,781…), az effektív sugárzásra kis frekvenciák esetén a következő képletet kapjuk:

9.57. egyenlet - (70.21)

d ϰ ω = 1 6 α 2 3 v 0 2 c 3 e 1 m 1 e 2 m 2 2 ln 2 μ v 0 3 γ ω α d ω , ha ω μ v 0 3 α .

Ez logaritmikusan függ a frekvenciától.

Nagy frekvenciák (ν≫1) esetén viszont a (70.20) integrálban a kis ξ értékek lényegesek. A kitevőt ξ hatványai szerint sorba fejtve, közelítőleg fennáll, hogy

H i ν ( 1 ) ( i ν ) i π + exp i ν 6 ξ 3 d ξ = 2 i π 0 + exp i ν 6 ξ 3 d ξ .

Ez az integrál iνξ3∕6=η helyettesítéssel Γ-függvényre vezet, ezért azt kapjuk, hogy

H i ν ( 1 ) ( i ν ) i π 3 6 ν 1 3 Γ 1 3 .

Hasonlóképpen írhatjuk, hogy

H i ν ( 1 ) ( i ν ) i π 3 6 ν 2 3 Γ 2 3 .

Végül a Γ-függvények

Γ ( x ) Γ ( 1 x ) = π sin π x

ismert tulajdonságát felhasználva, az effektív sugárzásra nagy frekvenciák esetén a következő eredményt kapjuk:

9.58. egyenlet - (70.22)

d ϰ ω = 1 6 π α 2 3 3 2 v 0 2 c 3 e 1 m 1 e 2 m 2 2 d ω , ha ω μ v 0 3 α .

ami a frekvenciától független kifejezés.

Térjünk most át két, egymást az U=α∕r (α>0) törvény szerint taszító részecske ütközését követő sugárzás vizsgálatára. A mozgás a következő egyenletű hiperbolán játszódik le:

9.59. egyenlet - (70.23)

1 + 𝜀 cos φ = a ( 𝜀 2 1 ) r ;

9.60. egyenlet - (70.24)

x = a ( 𝜀 + ch ξ ) , y = a 𝜀 2 1 sh ξ , t = μ a 3 α ( 𝜀 sh ξ + ξ )

[a és 𝜀(70.12)-ből adódik]. A számításokat erre az esetre nem kell újra elvégezni, mert visszavezethetők az előzőekre. Valóban, az x koordináta Fourier-komponensét meghatározó

xω=iaω+eiν(𝜀 shξ+ξ) shξdξ

integrál a ξ→iπ–ξ helyettesítéssel visszavezethető a vonzás esetére kapott integrálra, amelyet most még e–πν-vel kell szorozni; ugyanez igaz yω-ra is.

Így az xω, yω Fourier-komponenseket megadó kifejezések taszítás esetén egy e–πν tényezőben térnek el a vonzás esetére kapott megfelelő kifejezésektől. A sugárzást meghatározó képletekben ennek következtében egy e–2πν tényező jelenik meg. Így például kis frekvenciák esetén az előző, (70.21) képletet kapjuk (mivel ν≪1 esetén e–2πν≈1). Nagy frekvenciák esetén az effektív sugárzásra adódó eredmény:

9.61. egyenlet - (70.25)

d ϰ ω = 1 6 π α 2 3 3 2 v 0 2 c 3 e 1 m 1 e 2 m 2 2 exp 2 π ω α μ v 0 3 d ω , ha ω μ v 0 3 α .

Ez exponenciálisan csökken a frekvencia növelésével.

Feladatok

1. Határozzuk meg a teljes átlagos intenzitást két, egymást vonzó részecske elliptikus mozgása esetén.

Megoldás. A dipólmomentum (70.1) kifejezésének segítségével a sugárzás teljes intenzitására az

I = 2 μ 2 3 c 3 e 1 m 1 e 2 m 2 2 r ̈ 2 = 2 α 2 3 c 2 e 1 m 1 e 2 m 2 2 1 r 4

kifejezést kapjuk, ahol felhasználtuk a μr̈=–αr∕r3 mozgásegyenletet. Az r koordinátát a pálya (70.2) egyenletének megfelelően φ-vel fejezzük ki, az időintegrálást pedig a dt=μr2dφ∕J egyenlőség segítségével a φ szög szerinti integrálással helyettesítjük (0 és 2π határok között). Így az átlagos intenzitásra a következő eredményt kapjuk:

I ¯ = 1 T 0 T I d T = 2 3 2 3 c 3 e 1 m 1 e 2 m 2 2 μ 5 2 α 3 | | 2 3 J 5 3 2 | | J 2 μ α 2 .

2. Határozzuk meg két töltött részecske ütközésekor fellépő Δℰ teljes sugárzást.

Megoldás. Vonzás esetén a pálya a (70.11), taszítás esetén pedig a (70.23) hiperbola. A hiperbola aszimptotája és tengelye φ0 szöget zár be, ahol ±cosφ0=1∕𝜀, a részecskék eltérülésének szöge pedig (abban a koordináta-rendszerben, amelyben a tömegközéppont nyugalomban van) χ=|π–2φ0|. A számításokat ugyanúgy végezzük, mint az 1. feladatban (dφ szerint –φ0-tól φ0-ig kell integrálni). Így vonzás esetére a következő kifejezést kapjuk:

Δ = μ 3 v 0 5 3 c 3 α tg 3 χ 2 ( π + χ ) 1 + 3 tg 2 χ 2 + 6 tg χ 2 e 1 m 1 e 2 m 2 2 ,

taszítás esetére pedig:

Δ = μ 3 v 0 5 3 c 3 α tg 3 χ 2 ( π χ ) 1 + 3 tg 2 χ 2 6 tg χ 2 e 1 m 1 e 2 m 2 2 .

Mindkét esetben χ az a pozitív szög, amelyet a

ctg χ 2 = μ v 0 2 ϱ α

összefüggés határoz meg. Taszító töltések centrális ütközésére a ϱ→0, χ→π határátmenetből a következő eredményt nyerjük:

Δ = 8 μ 3 v 0 5 4 5 c 3 α e 1 m 1 e 2 m 2 2 .

3. Határozzuk meg egy részecskenyaláb taszító Coulomb-térben történő szórásának teljes effektív sugárzását.

Megoldás. A keresett mennyiség:

ϰ = 0 + I d t 2 π ϱ d ϱ = 2 α 2 3 c 2 e 1 m 1 e 2 m 2 2 2 π 0 + 1 r 4 d t ϱ d ϱ .

Az időintegrálást a töltés pályája mentén végzett dr szerinti integrálással helyettesítjük, felhasználva, hogy dt=dr∕vr ahol a vr=ṙ radiális sebesség r-rel a

v r = 2 μ J 2 2 μ r 2 U ( r ) = v 0 2 ϱ 2 v 0 2 r 2 2 α μ r

képlet segítségével fejezhető ki. dr szerint a végtelentől a középponthoz legközelebbi r0=r0(ϱ) távolságig kell integrálni (ez az a pont, ahol vr=0), és ezután r0-tól újra a végtelenig; ez az r0-tól ∞-ig vett integrál kétszerese. A kettős integrál kiszámításához célszerű az integrálás sorrendjét felcserélni – először dϱ, majd dr szerint integrálni. Az eredmény:

ϰ = 8 π 9 α μ v 0 c 3 e 1 m 1 e 2 m 2 2 .

4. Határozzuk meg a teljes sugárzás szögeloszlását abban az esetben, mikor az egyik töltés olyan gyorsan halad el a másik mellett, hogy (bár sebessége kicsi a fénysebességhez képest) pályája csak kicsit tér el az egyenes vonalútól.

Megoldás. Az eltérés szöge kicsi, ha a μv2∕2 mozgási energia nagy a potenciális energiához viszonyítva, amelynek nagyságrendje α∕ϱ (μv2≫α∕ϱ). Válasszuk a mozgás síkját xy síknak, legyen a koordináta-rendszer kezdőpontja a tömegközéppontban, és az x tengely mutasson a sebesség irányába. Az első közelítésben a pálya egyenes: x=vt, y=ϱ. A következő közelítésben a mozgásegyenletekből

μ = α r 2 x r α v t r 3 , μ ÿ = α r 2 y r α ϱ r 3

adódik, ahol

r = x 2 + y 2 ϱ + v 2 t 2 .

(67.7) képlet segítségével:

d n = d Ω μ 2 4 π c 3 e 1 m 1 e 2 m 2 2 + [ 2 + ÿ 2 ( n x + ÿ n y ) 2 ] d t ,

ahol n a dΩ irányába mutató egységvektor. Az integrandust t-vel kifejezve és az integrálást elvégezve, azt kapjuk, hogy

dn=α232vc3ϱ3e1m1e2m22(4nx3ny2)dΩ.


[77] n≫1 esetén a Jn(n𝜀)=(1/π)∫0πcos[n(ξ–𝜀sinξ)] dξ integrálban a kis ξ értékek játszanak lényeges szerepet (nem kicsiny ξ értékekre az integrandus gyorsan oszcillál). Ennek megfelelően a koszinusz argumentumát kifejtjük ξ hatványai szerint: Jn(n𝜀)=(1/π)∫0∞cos[n((1–𝜀2/2)ξ+(ξ3/6))] dξ. Az integrál gyors konvergenciája miatt a felső határt ∞-re változtattuk; a ξ3-ös tagot meg kell tartani az elsőfokú tagban szereplő kis 1–𝜀≈(1–𝜀2)∕2 együttható miatt. A kapott integrál egyszerű helyettesítéssel a (70.9) alakra hozható.

[78] Emlékeztetünk arra, hogy a Hiν(1)(iν𝜀) függvény tiszta képzetes, deriváltja pedig: Hiν(1)′(iν𝜀) valós.

[79] Ez a képlet közvetlen következménye a Z″+(1/z)Z′+(1–(p2/z2))Z=0 Bessel-egyenletnek.