Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

72 §. A sugárzás erőtere a forrástól kis távolságokban

72 §. A sugárzás erőtere a forrástól kis távolságokban

A dipólsugárzás képleteit a hullámhosszhoz (és még inkább a sugárzó rendszer méreteihez) viszonyítva nagy távolságok esetére vezettük le. Ebben a szakaszban továbbra is feltételezzük, hogy a hullámhossz nagy a rendszer méreteihez képest, az erőteret azonban olyan távolságokban fogjuk vizsgálni, amelyek nagyok ugyan az utóbbiakhoz viszonyítva, de összemérhetők a hullámhosszal.

A vektorpotenciált leíró

9.67. egyenlet - (72.1)

A = 1 c R 0

(67.4) képlet továbbra is érvényben marad, mivel levezetésekor csak azt használtuk ki, hogy R0 nagy a rendszer méreteihez képest. Az erőteret azonban most még kis tartományokban sem tekinthetjük síkhullámnak. Ezért az elektromos és mágneses erőteret leíró (67.5) és (67.6) képletek nem alkalmazhatók, kiszámításukhoz előbb A-t és φ-t kell meghatároznunk.

A skalárpotenciál kifejezését megkaphatjuk A alakjából, ha felhasználjuk, hogy a potenciálok kielégítik a (62.1) feltételt:

div A + 1 c φ t = 0 .

(72.1) kifejezést ebbe helyettesítve, majd az idő szerint integrálva, azt kapjuk, hogy

9.68. egyenlet - (72.2)

φ = div d R 0 .

Az integrálási állandót (amely a koordináták tetszőleges függvénye) elhagyjuk, mivel bennünket csak a potenciál időben változó része érdekel. Emlékeztetünk arra, hogy a (72.2) képletben, akárcsak (72.1)-ben, d értékét a t′=t–R0∕c időpillanatban kell venni.[82]

Most már nem okoz nehézséget az elektromos és mágneses térerősség kiszámítása. Az E és H térerősségeket a potenciálokkal összekötő általános képletek alapján azt kapjuk, hogy

9.69. egyenlet - (72.3)

H = 1 c rot R 0 ,

9.70. egyenlet - (72.4)

E = grad div d R 0 1 c 2 d ̈ R 0 .

Az E-t meghatározó kifejezést más alakban is felírhatjuk, észrevéve, hogy dt′∕R [akárcsak a koordináták és az idő tetszőleges (1/R0)f(t–(R0/c)) alakú függvénye] kielégíti az

1c22t2dR0=dR0

hullámegyenletet. Felhasználva az ismert

rotrota= graddivaa

képletet is, azt találjuk, hogy

9.71. egyenlet - (72.5)

E = rot rot d R 0 .

A kapott képletek meghatározzák a térerősséget a hullámhosszal összemérhető távolságokban. A fenti képletekben 1∕R0-t természetesen nem szabad kivinni a deriválás jele elé, mivel az 1∕R02-et és az 1∕R0-t tartalmazó tagok aránya éppen λ∕R0, nagyságrendű.

Végül határozzuk meg a térerősség Fourier-komponenseit. Hω meghatározása céljából a (72.3) képletbe H és d helyett írjuk be ezek monokromatikus komponenseit, vagyis a Hωe–iωt és a dωe–iωt kifejezéseket. Emlékeznünk kell azonban arra, hogy a (72.1)(72.5) egyenlőségek jobb oldalait a t′=t–R0∕c időpillanatban kell venni. Ezért d helyébe a

d ω e i ω ( t R 0 c ) = d ω e i ω t + i k R 0

kifejezést kell írnunk. A behelyettesítést elvégezve és e–iωt-vel egyszerűsítve, azt kapjuk, hogy

H ω = i k rot d ω e i k R 0 R 0 = i k d ω × e i k R 0 R 0

vagy a deriválást elvégezve:

9.72. egyenlet - (72.6)

H ω = i k ( d ω × n ) i k R 0 1 R 0 2 e i k R 0 ,

ahol n az R0 irányába mutató egységvektor.

(72.4)-ből hasonlóan kapjuk, hogy

E ω = k 2 d ω e i k R 0 R 0 + ( d ω ) e i k R 0 R 0 ,

vagy a deriválást elvégezve:

9.73. egyenlet - (72.7)

E ω = d ω k 2 R 0 + i k R 0 2 1 R 0 3 e i k R 0 + n ( n d ω ) k 2 R 0 3 i k R 0 2 3 R 0 3 e i k R 0 .

A hullámhosszhoz képest nagy távolságokban (kR0≫1) a (72.5) és a (72.6) képletekben elhagyhatjuk az 1∕R02-es és 1∕R03-ös tagokat, és így visszakapjuk a „hullámzóna” terét:

E ω = k 2 R 0 n × ( d ω × n ) e i k R 0 , H ω = k 2 R 0 d ω × n e i k R 0 .

A hullámhosszhoz viszonyított kis távolságokban (kR0≪1) elhagyjuk az 1∕R0-s és 1∕R02-es tagokat, és beírjuk az eikR0≈1 közelítést; ekkor

E ω = 1 R 0 3 { 3 n ( d ω n ) d ω } ,

ami megfelel a statikus elektromos dipóltérnek (40. §); ebben a közelítésben a mágneses tér nyilvánvalóan eltűnik.

Feladatok

1. Határozzuk meg a kvadrupól- és mágneses dipólsugárzás terének potenciáljait kis távolságokban.

Megoldás. A rövidség kedvéért feltételezzük, hogy nincs dipólsugárzás. Ekkor (vö. a  71. §-ban végzett számításokkal):

A = 1 c j t R c d V R 1 c ( r ) j t R 0 c R 0 d V ,

ahol az integrandust r=R0–R hatványai szerint fejtettük sorba. A  71. §.-ban végzett számításokkal ellentétben az 1∕R0 tényezőt most nem vihetjük ki a differenciálás jele elé. Vigyük ki az utóbbit az integrál jele elé, és írjuk át a képletet tenzorjelölésekre:

A α = 1 c X β x β j α R 0 d V

(Xβ az R0 helyvektor komponenseit jelöli). Az integrálról a töltések szerinti összegezésre áttérve:

A α = 1 c X β e v α x β t R 0

Ugyanúgy, ahogy a  71. §-ban, ez a kifejezés szétválasztható kvadrupól és mágneses dipól részre. A megfelelő skalárpotenciálokat úgy lehet a vektorpotenciálból kiszámítani, mint azt ebben a szakaszban láttuk. Így a kvadrupólsugárzásra a következő eredményt kapjuk:

A α = 1 6 c X β Q ̇ α β R 0 , φ = 1 6 2 X α X β Q α β R 0 ,

a mágneses dipólsugárzásra pedig:

A = rot 𝖒 R 0 , φ = 0

(a jobb oldalakon álló mennyiségeket, mint általában, a t′=t–R0∕c időpillanatban kell venni).

A mágneses dipólsugárzás térerősségei:

E = 1 c rot R 0 , H = rot rot R 0 .

Ezeket (72.3)-mal és (72.4)-gyel összehasonlítva, látjuk, hogy H és E úgy fejezhető ki a mágneses dipólsugárzás esetén 𝖒 segítségével, mint E és –H az elektromos dipólsugárzás esetén d segítségével.

A kvadrupólsugárzás potenciáljainak spektrális komponensei:

A α ( ω ) = i k 6 Q α β ( ω ) X β e i k R 0 R 0 , φ ( ω ) = 1 6 Q α β ( ω ) 2 X α X β e i k R 0 R 0 .

A térerősségek kifejezései nagyon hosszadalmasak, ezért ezeket nem írjuk ki.

2. Egy töltésrendszer dipól jellegű elektromágneses sugárzást bocsát ki. Határozzuk meg impulzusmomentuma csökkenésének sebességét.

Megoldás. (32.9)-nek megfelelően az elektromágneses tér impulzusmomentumának áramsűrűségét az xiTkl–xkTil négyestenzor térkomponense adja meg. Hármas térbeli jelölésekre térve, bevezetjük az impulzusmomentum hármasvektorát, melynek komponensei (1/2)eαβγJβγ; ennek áramsűrűségét az

1 2 e α β γ ( x β σ γ δ x γ σ β δ ) = e α β γ x β σ γ δ

hármasvektor adja, ahol σαβ≡Tαβ a hármas Maxwell-féle feszültségtenzor. (Csak alsó indexeket használunk, ahogyan a hármas írásmódban szokásos.) A rendszer impulzusmomentumának időegység alatti teljes csökkenése egyenlő a sugárzási tér impulzusmomentumának egy R0 sugarú gömbfelületen áthaladó áramával:

d J α d t = e α β γ x β σ γ δ n δ d f ,

ahol df=R02dΩ, n pedig az R0 irányába mutató egységvektor. A σαβ tenzor (33.3) alakját használva azonnal kapjuk, hogy

9.74. egyenlet - (1)

d J d t = R 0 3 4 π { ( n × E ) ( n E ) + ( n × H ) ( n H ) } d Ω .

Ezt a képletet a rendszerből nagy távolságban fellépő sugárzási térre alkalmazva, nem elegendő csak az ∼1∕R0 tagokat megtartani; ebben a közelítésben ugyanis nE=nH=0, úgyhogy az egész integrandus eltűnik. Az ∼1∕R0 tagok elegendőek az n×E és n×H szorzatok kiszámításához, az nE és nH transzverzális összetevők azonban az ∼1∕R02 tagokból származnak [tehát az (1) kifejezés integrál alatti mennyisége ∼1∕R03, és az R0 távolság, mint vártuk, kiesik az eredményből]. Dipól közelítésben a hullámhossz λ≫a, ezért meg kell különböztetni [a (65.5)(65.6) kifejezéshez képest] újabb ∼λ∕R0 vagy ∼a∕R0 szorzót tartalmazó tagokat; elegendő csupán az előbbieket megtartani. Éppen ezeket kapjuk (72.3)-ból és (72.5)-ből; 1∕R0-ban a másodrendű tagokig elmenve, azt kapjuk, hogy

9.75. egyenlet - (2)

E n = 2 c R 0 2 n , H n = 0 .

(A Hn kifejezés csak az a∕R0-ban magasabb rendű tagok figyelembevétele esetén különbözne nulltól.) Behelyettesítve (1)-be (2)-t és (67.6)-ot, az adódik, hogy

dJdt=12πc3(n×d̈)(n)dΩ.

Végül az integrál alatti kifejezést eαβγnβd̈γnδḋδ alakba írjuk, és n lehetséges irányaira átlagolunk, amivel adódik, hogy

9.76. egyenlet - (3)

d J d t = 2 3 c 3 × d .

Megjegyezzük, hogy lineáris oszcillátor (d=d0cosωt, d0 valós amplitúdó) esetén a (3) kifejezés eltűnik: a sugárzás nem jár impulzusmomentum-veszteséggel.



[82] Néha bevezetik a Hertz-vektort, amelynek definíciója:Z=–(1/R0)d(t–(R0/c)). Ekkor A=–(1/c)Ż, φ=divZ.