Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

74 §. Mágneses fékezési sugárzás

74 §. Mágneses fékezési sugárzás

Tekintsük a homogén mágneses térben tetszőleges sebességgel körpályán mozgó töltés sugárzását; ennek neve mágneses fékezési sugárzás.

A körpálya r sugarát és a mozgás ωH körfrekvenciáját a H térerősséggel és a részecske v sebességével a következőképpen fejezhetjük ki (lásd a  21. §-t):

9.91. egyenlet - (74.1)

r = m c v e H 1 v 2 c 2 , ω H = v r = e H m c 1 v 2 c 2 .

A sugárzás irányaira összegezett teljes intenzitás a (73.7) képletből határozható meg (időintegrálás nélkül), amelyben most E=0, H⊥v:

9.92. egyenlet - (74.2)

I = 2 e 4 H 2 v 2 3 m 2 c 5 1 v 2 c 2 .

Látjuk, hogy a teljes intenzitás arányos a részecske impulzusának négyzetével.

Ha a sugárzás szögeloszlását keressük, akkor a (73.11) képletet kell használnunk. A mozgás periódusára átlagolt intenzitást kívánjuk meghatározni, így (73.11)-ben a részecske egy körfordulatának idejére integrálunk, és az eredményt elosztjuk a T=2π∕ωH periódusidővel.

16. ábra - 16. ábra

16. ábra

Válasszuk a pálya síkját az xy síknak (az origó legyen a kör középpontjában), az yz sík pedig haladjon keresztül a sugárzás k irányán (16. ábra). A mágneses térerősség mutasson a negatív z tengely irányába (a részecskének a  16. ábrán látható mozgásiránya pozitív e töltésnek felel meg). Legyen továbbá 𝜃 a sugárzás k iránya és az y tengely által bezárt szög, φ=ωHt pedig a részecske helyvektora és az x tengely közti szög. Ekkor a k irány és a v sebesség által bezárt szög koszinusza cos𝜃cosφ (a v vektor az xy síkban fekszik, és mindig merőleges a részecske helyvektorára). A részecske w gyorsulását kifejezhetjük a H térerősséggel és a v sebességgel a mozgásegyenlet alapján [lásd (21.1)-et]:

w = e m c 1 v 2 c 2 v × H .

Egyszerű számítások után azt kapjuk, hogy

9.93. egyenlet - (74.3)

d I = d Ω e 4 H 2 v 2 8 π 2 m 2 c 5 1 v 2 c 2 0 2 π 1 v 2 c 2 sin 2 𝜃 + v c cos 𝜃 cos φ 2 1 v c cos 𝜃 cos φ 5 d φ

(az időintegrálást dφ=ωHdt szerintivel helyettesítettük). Az integrálás maga elemi, bár a részletszámítások elég hosszadalmasak. Eredményül a következő képletet kapjuk:

9.94. egyenlet - (74.4)

d I = d Ω e 4 H 2 v 2 1 v 2 c 2 8 π m 2 c 5 2 + v 2 c 2 cos 2 𝜃 1 v 2 c 2 cos 2 𝜃 5 2 1 v 2 c 2 4 + v 2 c 2 cos 2 𝜃 cos 2 𝜃 4 1 v 2 c 2 cos 2 𝜃 7 2

A 𝜃=π∕2 (a pálya síkjára merőleges) és a 𝜃=0 (a pálya síkjába eső) irányokban kibocsátott sugárzás intenzitásának aránya:

9.95. egyenlet - (74.5)

( d I d Ω ) 0 ( d I d Ω ) π 2 = 4 + 3 v 2 c 2 8 1 v 2 c 2 cos 2 𝜃 5 2 .

v→0 határesetben ez a hányados 1∕2-hez tart, de a fénysebességhez közel nagyon nagy lesz. Erre a kérdésre az alábbiakban még visszatérünk.

Továbbmenve tekintsük a sugárzás spektrális eloszlását. Mivel a töltés mozgása periodikus, Fourier-sorfejtést kell alkalmaznunk. A számításokat célszerű a vektorpotenciál kifejtésével kezdeni. Ennek Fourier-komponense [vö. (66.12)-vel]:

A n = e e i k R 0 c R 0 T exp { i ( ω H n t k r ) } d r

ahol a részecske pályájára (körre) kell integrálnunk. A részecske koordinátái: x=rcosωHt, y=rsinωHt. Integrálási változónak a φ=ωHt szöget választjuk. Észrevéve, hogy

k r = k r cos 𝜃 sin φ = n v c cos 𝜃 sin φ

(k=nωH∕c=nv∕cr), a vektorpotenciál x összetevőjének Fourier-komponensére a következő kifejezést kapjuk:

A x n = e v 2 π c R 0 e i k R 0 0 2 π e i n φ v c cos 𝜃 sin φ sin φ d φ .

Ilyen integrállal már találkoztunk a  70. §-ban. Ez kifejezhető a Bessel-függvény deriváltjával:

9.96. egyenlet - (74.6)

A x n = i e v c R 0 e i k R 0 J n n v c cos 𝜃 .

Hasonlóképpen számítható ki Ayn is:

9.97. egyenlet - (74.7)

A y n = e R 0 cos 𝜃 e i k R 0 J n n v c cos 𝜃 .

A z tengely irányába mutató komponens nyilvánvalóan zérus.

66. § képletei szerint a dΩ térszögbe kibocsátott ω=nωH frekvenciájú sugárzás intenzitása:

d I n = c 2 π | H n | 2 R 0 2 d Ω = c 2 π | k × A n | 2 R 0 2 d Ω .

Figyelembe véve, hogy

| A × k | 2 = A x 2 k 2 + A y 2 k 2 sin 2 𝜃 ,

és a (74.6)(74.7) kifejezéseket behelyettesítve, a sugárzás intenzitására a következő képletet kapjuk (G. A. Schott, 1912):

9.98. egyenlet - (74.8)

d I n = n 2 e 4 H 2 2 π c 3 m 2 1 v 2 c 2 tg 2 𝜃 J n 2 n v c cos 𝜃 + v 2 c 2 J n 2 n v c cos 𝜃 d Ω .

Az ω=nωH frekvenciával kibocsátott sugárzás teljes intenzitásának meghatározásához ezt a kifejezést integrálnunk kell a teljes térszögre. Az integrálás azonban nem végezhető el zárt alakban. A Bessel-függvények bizonyos összefüggéseit felhasználva, több átalakítás után a keresett integrál a következő alakra hozható:

9.99. egyenlet - (74.9)

I n = 2 e 4 H 2 m 2 c 2 v 1 v 2 c 2 n v 2 c 2 J 2 n 2 n v c n 2 1 v 2 c 2 0 v c J 2 n ( 2 n ξ ) d ξ .

Vizsgáljuk meg részletesebben az extrém relativisztikus esetét, amikor a részecske közelítőleg fénysebességgel mozog.

(74.2) kifejezés számlálójában a v=c helyettesítést elvégezve, azt kapjuk, hogy a mágneses fékezési sugárzás teljes intenzitása extrém relativisztikus esetben arányos a részecske ℰ energiájának négyzetével:

9.100. egyenlet - (74.10)

I = 2 e 4 H 2 3 m 2 c 3 m c 2 2 .

A szögeloszlás az adott esetben erősen anizotrop: lényegében a pálya síkjában összpontosul. Azt a Δ𝜃 szögtartományt, amelybe a sugárzás nagy része esik, könnyen megbecsülhetjük az 1–(v2/c2)cos2𝜃∼1–(v2/c2) feltételből. Nyilvánvalóan

9.101. egyenlet - (74.11)

Δ 𝜃 1 v 2 c 2 = m c 2

[ez az eredmény természetesen összhangban van a pillanatnyi intenzitás szögeloszlásával, amit az előző szakaszban vizsgáltunk; lásd (73.12)-t.][84]

Sajátos jellege van az extrém relativisztikus esetben a sugárzás spektrális eloszlásának is (L. A. Arcimovics és I. J. Pomerancsuk, 1945).

A későbbiekben látni fogjuk, hogy ebben az esetben a nagyon nagy n értékeknek megfelelő frekvenciák játszanak lényeges szerepet a sugárzásban. Így felhasználhatjuk a (70.9) aszimptotikus képletet, amely szerint

9.102. egyenlet - (74.12)

J 2 n ( 2 n ξ ) 1 π n 1 3 Φ n 2 3 ( 1 ξ 2 ) .

Ezt (74.9)-be helyettesítve, nagy n értékekre a sugárzás spektrális eloszlását a következő alakban kapjuk meg:[85]

9.103. egyenlet - (74.13)

I n = 2 e 4 H 2 π m 2 c 3 m c 2 u Φ ( u ) u 2 u Φ ( u ) d u ,

u = n 2 3 m c 2 2 .

u→0 esetén a szögletes zárójelben álló kifejezés a Φ′(0)=–0,4587… állandóhoz tart. [86] Így u≪1 értékekre:

9.104. egyenlet - (74.14)

I n = 0 , 5 2 e 4 H 2 m 2 c 3 m c 2 2 n 1 3 , 1 n m c 2 3 .

u≫1 értékekre felhasználhatjuk az Airy-függvények ismert aszimptotikus alakját (lásd az  59. §  8 számú lábjegyzetét), ebből:

9.105. egyenlet - (74.15)

I n = e 4 H 2 n 1 2 2 π m 2 c 3 m c 2 5 2 exp 2 3 n m c 2 3 , n m c 2 3 ,

vagyis az intenzitás nagyon nagy n-ekre exponenciálisan csökken.

Következésképpen a spektrális eloszlásnak n∼(ℰ∕mc2)2 körül maximuma van, a sugárzás legnagyobb része az

9.106. egyenlet - (74.16)

ω ω H m c 2 3 = e H m c m c 2 2

körüli frekvenciatartományba esik. Ezek a frekvenciák igen nagyok az egyes szomszédos frekvenciák ωH távolságához képest. Más szóval a sugárzás spektruma sok, egymáshoz közeli vonalból áll, azaz kvázifolytonos jellegű. Ezért az In eloszlás helyett bevezethetjük az ω=nωH folytonos változó szerinti eloszlást:

dI=Indn=IndωωH.

A numerikus számítások céljára ezt az eloszlást érdemes a Kν Macdonald-függvények segítségével kifejezni.[87](74.13) képlet egyszerű átalakításával ez a következő alakban írható:

9.107. egyenlet - (74.17)

d I = d ω 3 2 π e 3 H m c 2 F ω ω c , F ( ξ ) = ξ ξ K 5 3 ( ξ ) d ξ ,

ahol bevezettük az

9.108. egyenlet - (74.18)

ω c = 3 e H 2 m c m c 2 2

jelölést. Az F(ξ) függvény alakja a  17. ábrán látható.

17. ábra - 17. ábra

17. ábra

Végül néhány megjegyzést teszünk arról az esetről, mikor a részecske nem körpályán, hanem csavarvonal mentén mozog, vagyis v∥=vcosχ longitudinális sebessége van H iránya mentén (χ a H és v által bezárt szög). A forgás frekvenciáját ekkor is a (74.1) képlet határozza meg, de a v vektor nem kört ír le, hanem egy kúp felülete-mentén mozog, amelynek tengelye H irányába mutat, és nyílásszöge 2χ. A sugárzás-teljes intenzitását (ezen a részecske 1 s alatti teljes energiaveszteségét értve) megkaphatjuk (74.2)-ből, ha H-t H⊥=Hsinχ-vel helyettesítjük.

Extrém relativisztikus esetben a sugárzás a „sebességkúp” alkotóinak irányában összpontosul. A spektrális eloszlás és a teljes intenzitás (ugyanabban az értelemben) megkapható a (74.17) és (74.10) képletekből a H→H⊥ helyettesítéssel. Ha az említett irányban távolabb elhelyezkedő mozdulatlan megfigyelő által észlelt intenzitásról van szó, akkor a fenti képletekbe be kell vezetni egy tényezőt, amely figyelembe veszi a sugárforrás (a körpályán mozgó részecske) általános közeledését vagy távolodását a megfigyelőhöz képest. Ez a tényező a dt∕dtmegf hányados, ahol a forrás által dt időkülönbséggel kibocsátott két jel dtmegf időkülönbséggel érkezik a megfigyelőhöz. Nyilvánvalóan

d t megf = d t 1 1 c v cos 𝜗 ,

ahol 𝜗 a k és H irányok által bezárt szög (ez utóbbit választottuk a sebesség pozitív irányának). Extrém relativisztikus esetben, amikor k iránya v irányához közel esik, 𝜗≈χ, így

9.109. egyenlet - (74.19)

d t d t megf = 1 v c cos χ 1 1 sin 2 χ .

Feladatok

1. Hogyan változik egy állandó mágneses térben körpályán mozgó töltés energiája, ha az energiaveszteséget a sugárzás okozza?

Megoldás. (74.2) alapján az energiaveszteség az időegység alatt:

d d t = 2 e 4 H 2 3 m 4 c 7 ( 2 m 2 c 4 )

(ℰ a részecske energiája). Ebből

m c 2 = cth 2 e 4 H 2 3 m 4 c 5 t + c o n s t .

t növekedésével az energia monoton csökken, és t→∞-re aszimptotikusan tart az ℰ=mc2 értékhez (a részecske teljesen megáll).

2. Adjuk meg a sugárzás spektrális eloszlásának aszimptotikus alakját nagy n értékekre egy körpályán mozgó részecske esetén, amelynek sebessége nincs közel a fénysebességhez.

Megoldás. Használjuk fel a Bessel-függvények elméletének ismert

J n ( n 𝜀 ) = 1 2 π n ( 1 𝜀 2 ) 1 4 𝜀 1 + 1 𝜀 2 e 1 𝜀 2 n

képletét, amely n(1–𝜀2)3∕2≫1 esetén érvényes. Ennek segítségével (74.9)-ből

I n = e 4 H 2 n 2 n m 2 c 3 1 v 2 c 2 5 4 v c 1 + 1 v 2 c 2 e 1 v 2 c 2 2 n .

Ez a képlet n(1–v2∕c2)3∕2≫1 esetén alkalmazható; ha emellett 1–v2∕c2 kicsi, akkor (74.15)-be megy át.

3. Határozzuk meg a mágneses fékezési sugárzás polarizációját.

Megoldás. Az En elektromos térerősség a (74.6)(74.7)-ben megadott An vektorpotenciálból a következő képlet segítségével számítható ki:

E n = i k ( k × A n ) × k = i k k ( k A n ) + i k A n .

Legyen e1 és e2 a k-ra merőleges sík két egységvektora, ahol e1 párhuzamos az x tengellyel, e2 pedig az yz síkban fekszik [a komponenseik: e1=(1,0,0), e2=(0,sin𝜃,–cos𝜃)]; az e1, e2, k vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak. Ekkor az elektromos térerősség:

E n = i k A x n e 1 + i k sin 𝜃 A y n e 2 ,

vagy elhagyva a lényegtelen közös tényezőket:

E n v c J n n v c cos 𝜃 e 1 + tg 𝜃 J n n v c cos 𝜃 i e 2 .

A hullám elliptikusan polarizált (lásd a  48. §-t).

Az extrém relativisztikus esetben nagy n-ek és kis 𝜃 szögek esetén a Jn és Jn′ függvények kifejezhetők K1∕3 és K2∕3 segítségével, ezek argumentumaiban pedig így közelíthetünk:

1 v 2 c 2 cos 2 𝜃 1 v 2 c 2 + 𝜃 2 = m c 2 2 + 𝜃 2 .

Az eredmény:

E n = e 1 ψ K 2 3 n 3 ψ 3 + i e 2 𝜃 K 1 3 n 3 ψ 3 , ψ = m c 2 2 + 𝜃 2 .

𝜃=0 esetén az elliptikus polarizáció e1 menti lineáris polarizációba megy át. Nagy 𝜃 értékek esetén (|𝜃|≫mc2∕ℰ, n𝜃2≫1) K1∕3(x)≈K2∕3(x)≈√(π∕2x)e–x és a polarizáció cirkulárissá válik: En∼e1±ie2; a sugárzás intenzitása azonban ekkor exponenciálisan kicsi. A közbenső szögtartományokban az ellipszis kistengelye e2, nagytengelye e1 irányba mutat. A polarizáció forgásiránya függ 𝜃 előjelétől (𝜃>0, ha a H és k irányok a pálya síkjának különböző oldalain helyezkednek el, amint a  16. ábrán látható).



[84] Ne tévesszük azonban össze az e szakaszban használt 𝜃 szöget a  73. §-ban használt 𝜃-val, amely ott az a és v által közbezárt szög volt.

[85] Behelyettesítéskor az integrál egyik határa (n2∕3) helyett a kívánt pontossággal végtelent írtunk, és ahol az lehetséges volt, elvégeztük a v=c helyettesítést. Bár a (74.9) integrálban nemcsak 1-hez közeli ξ értékek szerepelnek, ennek ellenére megengedett a (74.12) képlet használata, mivel az integrál az alsó határon gyorsan konvergál.

[86] Az Airy-függvény definíciója alapján:Φ′(0)=–(1/√π)∫0∞ξsin(ξ3/3) dξ=–(1/√π3(1/3))∫0∞x–(1/3)sinxdx=–(3(1/6)Γ((2/3))/2√π).

[87] Az Airy-függvény és a K1∕3 függvény közti kapcsolatot az  59. §  8 számú lábjegyzetének (4) képlete adja meg. A további átalakítások során felhasználtuk a következő rekurziós összefüggéseket: Kν–1(x)–Kν+1(x)=–(2ν/x)Kν, 2Kν′(x)=–Kν–1(x)–Kν+1(x), és ezenkívül K–ν(x)=Kν(x). Könnyű például belátni, hogy Φ′(t)=–(t/√(3π))K(2/3)((2/3)t(3/2)).