Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

77 §. A sugárzás spektrális felbontása extrém relativisztikus esetben

77 §. A sugárzás spektrális felbontása extrém relativisztikus esetben

Fentebb (73. §) megmutattuk, hogy az extrém relativisztikus részecskék sugárzása túlnyomórészt előre irányul, a részecske sebessége mentén majdnem teljesen a v irány körüli kis

Δ 𝜃 1 v 2 c 2

szögtartományba esik.

A sugárzás spektrális eloszlásának kiszámításában lényeges szerepet játszik a fenti szögtartománynak és a külső elektromágneses téren áthaladó részecske α teljes eltérülési szögének aránya.

Az α szöget a következőképpen becsülhetjük meg: a részecske impulzusának (a mozgás irányához viszonyítva) transzverzális megváltozása az eF transzverzális erő[93] és az erőtéren való áthaladás t∼a∕v≈a∕c idejének szorzatával azonos nagyságrendű (ahol a annak a tartománynak a hossza, amelyben az erőtér észrevehetően különbözik zérustól). Ennek a mennyiségnek és a

p = m v 1 v 2 c 2 m c 1 v 2 c 2

impulzusnak az aránya határozza meg a kis a szög nagyságrendjét:

α e F a m c 2 1 v 2 c 2 .

Ezt Δ𝜃-val elosztva azt kapjuk, hogy

9.132. egyenlet - (77.1)

α Δ 𝜃 e F a m c 2 .

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez az arány nem függ a részecske sebességétől, azt a külső erőtér tulajdonságai határozzák meg.

Először tegyük fel, hogy

9.133. egyenlet - (77.2)

e F a m c 2 ,

vagyis a részecske teljes eltérülési szöge Δ𝜃-hoz képest nagy. Ekkor azt állíthatjuk, hogy az adott irányba kibocsátott sugárzás lényegében a pályának arról a szakaszáról ered, ahol a részecske sebessége majdnem párhuzamos ezzel az iránnyal (Δ𝜃 nagyságrendű szöget zár be), és amelynek hossza kicsi az a-hoz viszonyítva. Egy ilyen szakaszon az F erőt állandónak vehetjük, és mivel egy görbe kis szakaszát körívnek tekinthetjük, alkalmazhatjuk a  74. §-ban az egyenletes körmozgáskor fellépő sugárzásra levezetett képleteket (H helyett most F-et írva). Így például a sugárzás túlnyomó része az

9.134. egyenlet - (77.3)

ω e F m c 1 v 2 c 2

frekvencia körül összpontosul [lásd (74.16)-ot].

Az ellenkező határesetben, amikor

9.135. egyenlet - (77.4)

e F a m c 2 ,

a részecske teljes elhajlási szöge kicsi Δ𝜃-hoz képest. Ebben az esetben lényegében az egész sugárzás a mozgás iránya körüli Δ𝜃 szögtartományra korlátozódik, és azt a részecske egész pályája határozza meg.

Az intenzitás spektrális felbontásának kiszámítására ekkor célszerű a térerősség hullámtartományának (73.8) Lienard–Wiechert-féle alakjából kiindulni. Számítsuk ki az

Eω=+Eeiωtdt

Fourier-komponenst. A (73.8) képlet jobb oldalán álló mennyiség a retardált t′ időpillanat függvénye, ahol t′=t–R(t′)∕c. Egy majdnem állandó v sebességgel mozgó részecskétől nagy távolságban

t t R 0 c + 1 c n r ( t ) t R 0 c + 1 c n v t .

[r=r(t)≈vt a részecske helyvektora], vagyis

t = t 1 n v c + R 0 c .

A dt szerinti integrálást dt′ szerintivel helyettesíthetjük, ahol

d t = 1 n v c d t ,

így azt kapjuk, hogy

E ω = e c 2 e i k R 0 R 0 1 n v c 2 + n × n v c × w ( t ) e i ω t 1 n v c d t .

A v sebességet itt mindenhol állandónak tekintjük; csak a w(t′) gyorsulás változik. Bevezetve az

9.136. egyenlet - (77.5)

ω = ω 1 n v c

jelölést és a gyorsulás ennek megfelelő Fourier-komponensét, Eω-t a következő alakba írhatjuk:

Eω=ec2eikR0R0ωω2n×nvc×wω.

Végül (66.9) alapján megkapjuk a dΩ térszögbe és dω frekvenciatartományba kisugárzott energiát:

9.137. egyenlet - (77.6)

d n ω = e 2 2 π c 3 ω ω 4 n × n v c × w ω 2 d Ω d ω 2 π .

Könnyű megbecsülni annak a frekvenciának a nagyságrendjét, amely körül a (77.4) esetben a sugárzás túlnyomó része összpontosul, ha észrevesszük, hogy a wω′ Fourier-komponens csak akkor különbözik észrevehetően nullától, ha az 1∕ω′, vagyis az

1 ω 1 v 2 c 2

idő ugyanabba a nagyságrendbe esik, mint az a∕v∼a∕c idő, amely alatt a részecske gyorsulása észrevehetően változik. Így azt kapjuk, hogy

9.138. egyenlet - (77.7)

ω c a 1 v 2 c 2 .

Ez a frekvencia ugyanúgy függ az energiától, mint (77.3), de az együttható más.

A fenti két esetben [(77.2) és (77.4)] feltételeztük, hogy az erőtéren áthaladó részecske teljes energiavesztesége viszonylag kicsi. Most megmutatjuk, hogy az első esetre vezethető vissza az is, amikor egy extrém relativisztikus részecske teljes energiavesztesége összemérhető a kezdeti energiájával.

Az erőtéren áthaladó részecske energiaveszteségét úgy is meghatározhatjuk, mint a Lorentz-féle súrlódási erő munkáját. A (76.4) erő a hosszúságú úton végzett munkájának nagyságrendje:

afe4F2am2c41v2c2.

Ahhoz, hogy ez összemérhető legyen a részecske mc2∕√(1–v2∕c2) teljes energiájával, az erőtérnek

am3c6e4F21v2c2

távolságra kell kiterjednie. Ekkor azonban automatikusan teljesül a (77.2) feltétel:

aeFm3c6e3F1v2c2mc2,

mivel az F erőtér szükségképpen eleget tesz a (76.5) alatti megismert feltételnek, amely nélkül a szokásos elektrodinamika egyáltalán nem alkalmazható.

Feladatok

1. Határozzuk meg a sugárzás teljes (szögekre kiintegrált) intenzitásának spektrális eloszlását a (77.2) feltétel fennállása mellett.

Megoldás. A pálya bármely hosszeleméről jövő sugárzás a (74.11) képlettel írható le, amelyben H-t az F transzverzális erőnek adott pontban felvett értékével kell helyettesíteni, és ezenkívül a diszkrét frekvenciaspektrumról folytonosra kell áttérni. Ezt dn-nel való formális szorzás és az

I n d n = I n d n d ω d ω = I n d ω d ω 0

helyettesítés segítségével érhetjük el. Az intenzitást idő szerint integrálva, a teljes sugárzás spektrális eloszlását a következő alakban kapjuk meg:

d ω = d ω 2 e 2 ω 1 v 2 c 2 c π + Φ ( u ) u + 1 2 u + Φ ( u ) d u d t ,

ahol Φ(u) az Airy-függvény, és ennek argumentuma

u = m c ω e F 1 v 2 c 2 2 3

Az integrandus az u mennyiségen keresztül függ a t integrálási változótól (F és ezzel együtt u is változik a részecske pályája mentén; adott mozgás esetén ezt a változást tekinthetjük az idő függvényében).

2. Határozzuk meg (a szögekre kiintegrált) teljes kisugárzott energia spektrális eloszlását a (77.4) feltétel mellett.

Megoldás. Mivel a mozgás irányával kis szöget bezáró sugárzás játszik alapvető szerepet, felírhatjuk, hogy

ω = ω 1 v c cos 𝜃 ω 1 v c + 𝜃 2 2 ω 2 1 v 2 c 2 + 𝜃 2 .

(77.6) kifejezés dΩ=sin𝜃d𝜃dφ≈𝜃d𝜃dφ szerinti integrálját dφdω′∕ω szerinti integrállal helyettesítjük. A (77.6)-ban szereplő kettős vektoriális szorzat négyzetre emelésekor vegyük figyelembe, hogy extrém relativisztikus esetben a gyorsulás longitudinális összetevője kicsi a transzverzálishoz viszonyítva (1–v2∕c2 arányban), és ilyenkor a w és v vektorokat kellő pontossággal egymásra merőlegeseknek vehetjük. Így a teljes sugárzás spektrális eloszlására a következő képletet kapjuk:

d ω = e 2 ω d ω 2 π c 3 ω 2 1 v 2 c 2 + | w ω | 2 ω 2 1 ω ω 1 v 2 c 2 + ω 2 2 ω 2 1 v 2 c 2 2 d ω .



[93] Ha az x tengelyt a részecske mozgásának irányában választjuk, akkor (eF)2 az eE+(e/c)v×H Lorentz-erő y és z komponenseinek négyzetösszegével egyenlő. A v≈c behelyettesítéssel: F2=(Ey–Hz)2+(Ez+Hy)2.