Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

79 §. Kis frekvenciájú hullámok szórása

79 §. Kis frekvenciájú hullámok szórása

Elektromágneses hullámok töltésrendszeren való szórása elsősorban abban tér el az egy (mozdulatlan) töltésen fellépő szórástól, hogy a rendszer töltéseinek saját mozgása következtében a szórt sugárzás frekvenciája különbözhet a beeső hullám frekvenciájától. A szórt sugárzás spektrális felbontásában a beeső hullám ω frekvenciáján kívül olyan ω′ frekvenciák is szerepelnek, amelyek ω -tól a szóró rendszer mozgásának valamelyik sajátfrekvenciájában különböznek. A frekvenciaváltozással járó szórást inkoherens (vagy kombinációs) szórásnak, az azonos frekvenciájú szórást pedig koherens szórásnak nevezik.

Feltéve, hogy a beeső hullám tere gyenge, az áramsűrűséget j=j0+j′ alakban írhatjuk, ahol j0 az áramsűrűség a külső tér figyelembevétele nélkül, j′ pedig az áramsűrűség változása a beeső hullám hatására. Ennek megfelelően a rendszer terét leíró vektorpotenciál (és a többi mennyiség) A=A0+A′ alakú, ahol A0 és A′ a j0 és j′áramokból határozható meg; az A′ potenciál a rendszer által szórt hullámot írja le.

Tekintsük egy olyan hullám szórását, amelynek ω frekvenciája kicsi a rendszer bármelyik sajátfrekvenciájához viszonyítva. A szórásnak lesz koherens és inkoherens része is, de mi itt csak a koherens szórást vizsgáljuk.

Elég kis ω frekvencia esetén a szórt hullám terének kiszámítására felhasználhatjuk a retardált potenciáloknak a  67. és 71. §-ban elvégzett kifejtését még akkor is, ha a rendszer részecskéinek sebessége nem kicsi a fénysebességhez képest. Valóban, az

9.147. egyenlet - (79.1)

A = 1 c R 0 j t R 0 c + r n c d V

integrál említett kifejtéséhez csak az szükséges, hogy az rn∕c∼a∕c idő kicsi legyen az ∼1∕ω időhöz viszonyítva; elég kis ω értékekre (ω≪c∕a) ez a feltétel a rendszer részecskéinek sebességétől függetlenül teljesül.

A sorfejtés első tagjaiból kapjuk, hogy

H=1c2R0{d̈×n+(𝖒 ̈×n)×n},

ahol d′, 𝖒′ a rendszer dipól- és mágneses momentumának az a része, amelyet a rendszerre beeső sugárzás hoz létre. A sorfejtés további tagjai magasabb időderiváltakat tartalmaznak, és elhagyjuk őket.

A szórt hullám terének Hω′ spektrális komponensét, amely a beeső hullám frekvenciájának felel meg, ugyanez a képlet adja meg, csak a benne szereplő mennyiségek helyett Fourier-komponensüket kell beírni: d̈ω′=–ω2dω′, 𝖒̈ω′=–ω2𝖒ω′. Ekkor

9.148. egyenlet - (79.2)

H ω = ω 2 c 2 R 0 { n × d ω + n × ( 𝖒 ω × n ) } .

A sorfejtés további tagjai a kis ω frekvencia magasabb hatványait eredményezték volna. Ha a rendszer részecskéinek sebessége kicsi (v≪c), akkor (79.1)-ben a második tagot elhagyhatjuk, mivel a mágneses momentum v∕c hányadost tartalmaz. Ekkor

9.149. egyenlet - (79.3)

H ω = 1 c 2 R 0 ω 2 n × d ω .

Ha a részecskerendszer össztöltése zérus, akkor ω→0 esetén dω′ és 𝖒ω′ állandó határértékekhez tartanak. (Ha a töltések összege zérustól különböző volna, akkor ω=0 esetén, azaz állandó erőtérben az anyagi rendszer egészként kezdene mozogni.) Kis ω értékekre (ω≪v∕a) tehát a dω′ , 𝖒ω′ momentumokat a frekvenciától függetleneknek tekinthetjük; így a szórt hullám tere arányos a frekvencia négyzetével. Következésképpen az intenzitás ω4-nel arányos. Ily módon kis frekvenciájú hullámok szórása esetén a koherens szórás hatáskeresztmetszete a beeső sugárzás frekvenciájának negyedik hatványával arányos.[95]



[95] Ez az eredmény gyakorlatilag érvényes nemcsak semleges atomokon, hanem ionokon történő fényszórás esetében is. A mag nagy tömege következtében az ion egészének mozgásából eredő szórást elhanyagolhatjuk.