Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

80 §. Nagy frekvenciájú hullámok szórása

80 §. Nagy frekvenciájú hullámok szórása

Tekintsük most a hullámok töltésrendszeren való szóródásának ellenkező határesetét, amikor a hullám ω frekvenciája nagy a rendszer jellemző sajátfrekvenciájához képest. Az utóbbiak nagyságrendje ω0∼v∕a, tehát ω-nak eleget kell tennie az

9.150. egyenlet - (80.1)

ω ω 0 v a

feltételnek. Ezenkívül azt is fel fogjuk tételezni, hogy a rendszer töltéseinek sebessége kicsi (v≪c).

(80.1) feltétel szerint a töltések mozgásának periódusideje nagy a hulláméhoz képest. Így a hullám periódusideje alatt a rendszert alkotó töltések mozgását egyenletesnek tekinthetjük. Ez azt jelenti, hogy rövid hullámok szórása esetén eltekinthetünk a töltések kölcsönhatásától, azaz szabadoknak tekinthetjük őket.

Így a beeső hullám terében a töltés által nyert v′ sebesség kiszámításakor a rendszer töltéseit külön-külön vizsgálhatjuk, és felírhatjuk rájuk az

m d v d t = e E = e E 0 e i ( ω t k r )

mozgásegyenletet, ahol k=ωn∕c a beeső hullám hullámvektora. A töltés helyvektora természetesen az idő függvénye. A jobb oldalon álló exponenciális tényező kitevőjében az első tag időben sokkal gyorsabban változik, mint a második (az első frekvenciája ω, a másodikénak nagyságrendje pedig kv∼vω∕c≪ω). Ezért a mozgásegyenlet integrálásakor a jobb oldalon r-et állandónak vehetjük. Ekkor

9.151. egyenlet - (80.2)

v = e i ω m E 0 e i ( ω t k r ) .

A szórt hullám vektorpotenciálja (a töltésrendszertől nagy távolságra) a (66.2) általános képlet szerint

A=1cR0jtR0c+rncdV=1cR0(ev)tR0c+rnc,

ahol a rendszer töltéseire kell összegezni; n′ a szórás irányába mutató egységvektor. (80.2)-t ide behelyettesítve, azt kapjuk, hogy

9.152. egyenlet - (80.3)

A = 1 i c R 0 ω e i ω t R 0 c E 0 e 2 m e i q r ,

ahol q=k′–k a szórt hullám k′=ωn′∕c és a beeső hullám k=ωn∕c hullámvektorának különbsége.[96](80.3)-ban szereplő összeg értékét a t′=t–R0∕c időpontban kell venni, mivel r-nek rn′∕c idő alatt bekövetkezett változását a részecskék feltételezett kis sebessége miatt elhanyagolhatjuk (a t′ indexet, mint általában, a rövidség kedvéért nem írjuk ki). A q vektor abszolút értéke

9.153. egyenlet - (80.4)

q = 2 ω c sin 𝜗 2 ,

ahol 𝜗 a szórási szög.

Atomon (vagy molekulán) történő szórás esetén a (80.3) összegben elhanyagolhatjuk a magoknak megfelelő tagokat, mivel ezek tömege sokkal nagyobb az elektronok tömegénél. Az alábbiakban ezt az esetet vizsgáljuk. Az e2∕m tényezőt kivisszük az összeg jele elé (e és m az elektron töltését és tömegét jelöli).

A szórt hullám H′ tere (66.3) szerint

9.154. egyenlet - (80.5)

H = E 0 × n c 2 R 0 e i ω t R 0 c e 2 m e i q r .

Az n′ irányban dΩ térszöge kisugárzott energiaáram a következő:

c|H|28πR02dΩ=e48πc3m2(n×E0)2|eiqr|2dΩ.

Ezt a beeső hullám c|E0|2∕8π energiaáramával osztva és bevezetve a beeső hullám E térerőssége és a sugárzás iránya által bezárt 𝜃 szöget, végül megkapjuk a hatáskeresztmetszetet:

9.155. egyenlet - (80.6)

d σ = e 2 m c 2 2 e i q r 2 ¯ sin 2 𝜃 d Ω .

A vonás idő szerinti átlagolást, vagyis a töltések mozgására való átlagolást jelent. Ezt azért kell elvégezni, mert a szórás megfigyelésének időtartama nagy a rendszer töltéseinek mozgásperiódusához képest.

(80.1) feltételből a beeső sugárzás hullámhosszára a λ≪ac∕v egyenlőtlenséget kapjuk. Ami λ és a relatív nagyságát illeti, itt mindkét határeset: λ≫a és λ≪a előfordulhat. Az általános (80.6) képlet mindkét esetben jelentősen egyszerűsödik.

Ha λ≫a, akkor (80.6)-ban qr≪1, mivel q∼1∕λ, r∼a. Ennek megfelelően eiqr helyett 1-et írva, azt kapjuk, hogy

9.156. egyenlet - (80.7)

d σ = Z 2 e 2 m c 2 2 sin 2 𝜃 d Ω ,

vagyis a szórás arányos az atomban levő elektronok Z számának négyzetével.

Térjünk át a λ≪a esetre. A (80.6)-ban szereplő összeg négyzetében az egyes tagok egységnyi abszolút értékű négyzetei mellett eiq(r1–r2) alakú szorzatok is vannak. A töltések mozgására, vagyis a rendszeren belül elfoglalt kölcsönös helyzetükre átlagolva az r1–r2 különbség egy a nagyságrendű tartományban változik. Mivel λ≪a, az eiq(r1–r2) tényező ebben a tartományban gyorsan oszcilláló függvény, és átlagértéke zérus. Így λ≪a esetén a szórás hatáskeresztmetszete

9.157. egyenlet - (80.8)

d σ = Z e 2 m c 2 2 sin 2 𝜃 d Ω ,

vagyis a rendszám első hatványával arányos. Felhívjuk a figyelmet, hogy ez a képlet nem alkalmazható kis szórási szögekre (𝜗∼λ∕a), mivel ebben az esetben q∼𝜗∕λ∼1∕a, és a qr kitevő nem nagy az egységhez viszonyítva.

A koherens szórás hatáskeresztmetszetének kiszámításához el kell különítenünk a szórt hullám terének ω frekvenciájú részét. Az erőteret meghatározó (80.5) kifejezés az időtől az eiωt szorzótényezőn keresztül függ, de az időtől függ még a ∑eiqr összeg is. Ez utóbbi függés vezet ahhoz, hogy a szórt hullám terében az ω frekvencián kívül más (bár közeli) frekvenciák is megjelennek. A térerősségnek ω frekvenciájú részét nyilvánvalóan úgy kapjuk meg, ha a ∑e–iqr összeget idő szerint átlagoljuk. Ennek megfelelően a koherens szórás dσkoh hatáskeresztmetszete a teljes dσ hatáskeresztmetszettől abban tér el, hogy benne az összeg abszolút értéke négyzetének átlaga helyett az összeg átlaga abszolút értékének négyzete szerepel:

9.158. egyenlet - (80.9)

d σ koh = e 2 m c 2 2 e i q r ¯ 2 sin 2 𝜃 d Ω .

Érdemes megjegyezni, hogy az összeg átlagértéke (az együtthatótól eltekintve) tulajdonképpen az atom ϱ(r) átlagos elektromos töltéssűrűségének térbeli Fourier-komponense:

9.159. egyenlet - (80.10)

e e i q r ¯ = ϱ ( r ) e i q r d V = ϱ q .

λ≫a esetén e–iqr-et ismét az egységgel helyettesíthetjük, így

9.160. egyenlet - (80.11)

d σ koh = Z 2 e 2 m c 2 2 sin 2 𝜃 d Ω .

Összehasonlítva ezt a (80.7) teljes hatáskeresztmetszettel, látjuk, hogy dσkoh=dσ vagyis a teljes szórás koherens.

Ha viszont λ≪a, akkor átlagoláskor a (80.9)-ben szereplő összeg minden tagja (mint időben gyorsan oszcilláló függvény átlagértéke) eltűnik, azaz dσkoh=0. Tehát ebben az esetben a szórás teljes egészében inkoherens.



[96] Szigorúan véve, k′=ω′n′∕c, ahol a szórt hullám ω′ frekvenciája különbözhet ω-tól. Az ω′–ω∼ω0 különbséget azonban nagy ω frekvenciák esetén elhanyagolhatjuk.