Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

10. fejezet - RÉSZECSKE GRAVITÁCIÓS ERőTÉRBEN

10. fejezet - RÉSZECSKE GRAVITÁCIÓS ERőTÉRBEN

81 §. Gravitációs erőterek a newtoni mechanikában

A gravitációs tér (nehézségi erőtér) alaptulajdonsága, hogy benne minden test (azonos kezdeti feltételek mellett) tömegétől függetlenül azonos mozgást végez.

Például a Föld nehézségi erőterében a szabadesés törvénye minden testre ugyanaz; tömegétől függetlenül minden test pontosan ugyanolyan mértékben gyorsul.

A gravitációs terek e tulajdonsága lehetővé teszi, hogy párhuzamot vonjunk a gravitációs erőtérben való mozgás és a gyorsuló rendszerben végzett szabad mozgás között. Valóban, inerciarendszerben minden szabadon mozgó test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, tehát ha valamely kezdeti időpillanatban sebességük megegyezett, akkor a későbbiekben is meg fog egyezni. Nyilvánvaló, hogy ha ugyanezt a mozgást gyorsuló rendszerből vizsgáljuk, azt találjuk, hogy valamennyi test azonos mozgást végez.

A gyorsuló koordináta-rendszerekben végzett mozgás tulajdonságai tehát ugyanolyanok, mint egy gravitációs térben levő inerciarendszerben való mozgásé. Más szóval, egy gyorsuló vonatkoztatási rendszer mindig ekvivalens valamely gravitációs erőtérrel. Ez az ekvivalencia-elv.

Vizsgáljuk például a mozgást egyenletesen gyorsuló vonatkoztatási rendszerben. Egy ilyen vonatkoztatási rendszerben minden tetszőleges tömegű, szabad mozgást végző test nyilvánvalóan azonos, állandó gyorsulással mozog, melynek számértéke megegyezik a rendszer gyorsulásával, iránya pedig azzal ellentétes. Ilyen a mozgás egy homogén állandó gravitációs térben is, például a Föld nehézségi erőterében (pontosabban a Föld nehézségi erőterének egy olyan kis részében, amelyben az erőtér homogénnek tekinthető). Következésképpen egy egyenletesen gyorsuló koordinátarendszer ekvivalens egy állandó homogén külső gravitációs erőtérrel. Ugyanebben az értelemben az egyenes vonalú mozgást végző, de nem egyenletesen gyorsuló koordináta-rendszer ekvivalens egy homogén, de változó gravitációs térrel.

A gyorsuló koordináta-rendszerekkel ekvivalens gravitációs erőtereket mégsem tekinthetjük teljesen azonosaknak a „valódi”, inerciarendszerekben is létező gravitációs terekkel, ugyanis a végtelenben való viselkedésük lényegesen különbözik. A gravitációs teret létrehozó testtől végtelen távolságban a „valódi” gravitációs tér erőssége aszimptotikusan mindig zérushoz tart. Ugyanakkor egy gyorsuló rendszerrel ekvivalens gravitációs tér erőssége a végtelenben minden határon túl nő, vagy határesetben legfeljebb állandó értékhez tart. Így például, forgó rendszerben ébredő „centrifugális erők” nagysága a forgástengelytől távolodva minden határon túl nő; egyenes vonalú mozgást végző gyorsuló rendszerrel ekvivalens gravitációs tér erőssége pedig a koordinátatér minden pontjában, tehát a végtelenben is ugyanakkora.

A gyorsuló rendszerekkel ekvivalens erőterek inerciarendszerre térve eltűnnek. Ezzel ellentétben a „valódi” gravitációs terek (amelyek inerciarendszerben is léteznek), nem szüntethetők meg a vonatkoztatási rendszer semmiféle megválasztásával. Ez már abból a fent említett tényből is következik, hogy a „valódi” gravitációs erőterek és a gyorsuló koordináta-rendszereknek megfelelő erőterek a végtelenben eltérően viselkednek; mivel az utóbbiak térerőssége a végtelenben nem tart zérushoz, nyilvánvaló, hogy a koordináta-rendszer semmiféle megválasztásával sem lehet megszüntetni egy végtelenben zérushoz tartó „valódi” erőteret.

A koordináta-rendszer helyes megválasztásával mindössze annyit érhetünk el, hogy kioltjuk a gravitációs teret egy olyan térrészében, amely elegendően kicsi ahhoz, hogy ott a gravitációs térerősséget homogénnek tekinthessük. Ez úgy érhető el, hogy mozgó rendszer gyorsulását az adott térrészbe helyezett részecske gyorsulásával egyenlőnek vesszük.

A newtoni mechanikában egy részecske mozgását gravitációs erőtérben (inercia-rendszerben) az alábbi Lagrange-függvénnyel határozzuk meg:

10.1. egyenlet - (81.1)

L = m v 2 2 m φ ,

ahol φ a gravitációs térre jellemző, tér- és időkoordinátáktól függő függvény, a gravitációs potenciál.[97] A részecske mozgásegyenletei ennek megfelelően

10.2. egyenlet - (81.2)

v = grad φ

alakúak. A gravitációs erőterek alaptulajdonságát fejezi ki az a tény, hogy ezek az egyenletek nem tartalmaznak sem tömegeket, sem a részecske valamilyen tulajdonságait jellemző más állandót.



[97] A későbbiekben nem használjuk a φ elektromos potenciált, ezért nem vezethet félreértésre, hogy a gravitációs potenciált ugyanezzel a betűvel jelöljük.