Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

82 §. Gravitációs erőtér a relativisztikus mechanikában

82 §. Gravitációs erőtér a relativisztikus mechanikában

A gravitációs erőtereknek az az alaptulajdonsága, hogy bennük minden test azonos módon mozog, megmarad a relativisztikus mechanikában is. Megmarad tehát a gravitációs erőterek és a gyorsuló rendszerek között mutatkozó analógia is. Természetes ezért, hogy gravitációs erőterek tanulmányozásakor a relativisztikus mechanikában is ebből az analógiából kell kiindulnunk.

Inerciarendszerben, Descartes-koordinátákat használva, az ívelemnégyzetet az alábbi kifejezés definiálja:

d s 2 = c 2 d t 2 d x 2 d y 2 d z 2 .

Valamilyen másik inerciarendszerre való áttéréskor (azaz Lorentz-transzformáció során), mint tudjuk, az ívelemnégyzet ugyanilyen alakú marad. Gyorsuló rendszerre térve, az ívelemnégyzet már nem írható fel a négy koordinátadifferenciál négyzetének összegeként.

Például egyenletesen forgó koordináta-rendszerre térve

x = x cos ω t y sin ω t , y = x sin ω t + y cos ω t , z = z

(ω a z tengely körüli forgás szögsebessége) az ívelemnégyzet a következő alakot ölti:

d s 2 = [ c 2 ω 2 ( x 2 + y 2 ) ] d t 2 d x 2 d y 2 d z 2 + 2 ω y d x d t 2 ω x d y d t .

Ez a kifejezés az időkoordináta semmiféle transzformációjával sem írható fel koordinátadifferenciálok négyzeteinek összegeként.

Eszerint gyorsuló koordináta-rendszerben az ívelemnégyzet a koordinátadifferenciálok általános kvadratikus alakjával adható meg, azaz

10.3. egyenlet - (82.1)

d s 2 = g i k d x i d x k

alakú, ahol gik az x1, x2, x3 háromtérkoordináta és az x0 időkoordináta valamilyen függvénye. Az x0, x1, x2, x3 négydimenziós koordináta-rendszer nem inerciális vonatkoztatási rendszerben görbevonalú. A gik mennyiségek minden görbevonalú koordináta-rendszerben meghatározzák a téridőkontínuum valamennyi geometriai tulajdonságát, vagy más szóval: metrikáját.

A gik mennyiségek i és k indexeiben mindig szimmetrikusak (gik=gki), minthogy azokat a (82.1) szimmetrikus alakban definiáljuk, ahol gik és gki ugyanannak a dxidxk szorzatnak az együtthatója. A legáltalánosabb esetben ezért mindössze 10 különböző gik mennyiség van, amelyből 4 diagonális (i=k) és 4⋅3∕2=6 nem diagonális (i≠k) elem. Inerciarendszerben x1,2,3=x,y,z Descartes-térkoordinátákat és x0=ct időkoordinátát használva, a gik mennyiségek értékei:

10.4. egyenlet - (82.2)

g 0 0 = 1 , g 1 1 = g 2 2 = g 3 3 = 1 , g i k = 0 , i k .

A gik ilyen értékeivel jellemzett (négydimenziós) koordináta-rendszert Galilei-féle koordináta-rendszernek nevezzük.

Az előző szakaszban megmutattuk, hogy a gyorsuló rendszerek mindig valamilyen erőtérrel ekvivalensek. Most látjuk, hogy ezeket az erőtereket a relativisztikus mechanikában a gik mennyiségek határozzák meg.

Ugyanez vonatkozik „valódi” gravitációs erőterekre is. Egy gravitációs erőtér hatása abban áll, hogy megváltoztatja a téridő metrikáját, tehát a teret a neki megfelelő gik metrikus tenzorral adhatjuk meg. Ez a fontos körülmény azt jelenti, hogy a téridő geometriai tulajdonságait (metrikáját) fizikai jelenségek határozzák meg, tehát a tér és idő geometriai tulajdonságai nem állandóak.

A gravitációs terek relativisztikus elmélete az általános relativitáselmélet. Ezt Einstein dolgozta ki (végleges alakban 1916-ban), és minden bizonnyal ez a legszebb a létező fizikai elméletek közül. Figyelemre méltó, hogy Einstein elméletét tisztán deduktív úton vezette le, azt csak később igazolták csillagászati megfigyelések.

Éppúgy, mint a newtoni mechanikában, a „valódi” gravitációs terek és a gyorsuló vonatkoztatási rendszerekkel ekvivalens erőterek között alapvető különbség van. Gyorsuló vonatkoztatási rendszerre való áttérésnél a kvadratikus alak (82.1) típusú lesz, azaz a gik mennyiségek a (82.2) Galilei-féle értékből koordinátatranszformációval kaphatók meg. Ennek megfelelően a gyorsuló rendszerekhez rendelt gik metrikus tenzor inverz transzformációval az egész térben ismét Galilei-féle alakra hozható. Az, hogy a gik ilyen alakja mennyire speciális, már abból is látható, hogy az általános esetben a négy koordináta transzformációjával a tíz gik mennyiséget nem lehet előre megadott alakra hozni.

A „valódi” gravitációs tér semmiféle koordinátatranszformációval nem szüntethető meg. Másképp fogalmazva, gravitáció jelenlétében olyan a téridő szerkezete, hogy annak metrikáját meghatározó gik mennyiségek semmilyen koordinátatranszformációval nem hozhatók az egész térben Galilei-féle alakra. Az ilyen téridőt görbültnek nevezzük a görbületlen euklideszi téridővel ellentétben, amelyben a fent említett transzformáció végrehajtható.

A gik nem Galilei-féle téridő megfelelő koordinátatranszformációval bármely pontban ugyancsak Galilei-alakra hozható: mindössze diagonális alakra kell hoznunk egy állandó együtthatós (gik-nak a kérdéses pontban felvett értékeivel jellemzett) kvadratikus formát. Az így meghatározott koordináta-rendszert az adott ponthoz rendelt Galilei-féle rendszernek fogjuk nevezni.[98]

Megjegyezzük, hogy egy, az adott pontban diagonális gik mátrixnak egy pozitív és három negatív főértéke van (ezeknek az előjeleknek az összességét a mátrix szignatúrájának nevezzük). Ebből például az következik, hogy a gik mennyiségekből alkotott g determináns a valódi téridőben mindig negatív:

10.5. egyenlet - (82.3)

g < 0 .

A téridő metrikájának megváltozása a térmetrika megváltozását is jelenti. A Galilei-féle gik-nak görbületlen téridőben a tér euklideszi geometriája felel meg. Ugyanakkor gravitációs erőtérben a geometriai tér nemeuklideszivé válik. Ez egyaránt igaz „valódi” gravitációs erőterekre, amelyekben a téridő görbült, és a gyorsuló rendszerre való áttérésnél keletkező erőterekre, amelyekben azonban a téridő görbületlen marad.

A gravitációs terek térbeli geometriai tulajdonságait részletesen a  84. §-ban vizsgáljuk. Most egyszerű megfontolással szemléltetjük, miért válik szükségszerűen a tér nemeuklideszivé gyorsuló koordináta-rendszerre való áttérés esetén. Tekintsünk egy K inerciarendszert és egy, a z tengely körül egyenletesen forgó K′ rendszert. Az első, rendszer xy síkjában levő kör (amelynek középpontja az origó) egyúttal a K′ rendszer x′y′ síkjában levő körnek is tekinthető. A kör kerületét és átmérőjét egy K rendszerbeli mérőléccel mérve, a két mennyiség arányára π-t kapunk, azzal összhangban, hogy inerciarendszerben a tér euklideszi. Végezzük el most a mérést a K′-ben nyugalomban levő mérőeszközzel. A K rendszerből szemlélve ez utóbbi mérést, azt találjuk, hogy a kör kerülete mentén elhelyezett mérőszalag Lorentz-kontrakciót szenved, és rövidebb lesz, míg a sugár mentén elhelyezett mérőléc hossza változatlan marad. Nyilvánvaló, hogy az utóbbi mérésnél a kerület és átmérő aránya π-nél kisebb.

Időben változó tetszőleges gravitációs tér esetén azonkívül, hogy a tér metrikája nemeuklideszi, még időben is változik. Ez azt jelenti, hogy a különböző geometriai távolságok aránya is változik az időben. Ennek eredményéül a térbe helyezett „próbarészecskék” kölcsönös távolsága semmilyen koordináta-rendszerben sem maradhat változatlan.[99] Mivel a kör kerületének és átmérőjének aránya itt nem π, és időben változik, ha például a részecskéket valamely kör kerülete és átmérője mentén helyezzük el, érthető, hogy az átmérő mentén állandó részecsketávolság esetén a kerület menti távolság változik, és megfordítva. Az általános relativitáselméletben tehát részecskerendszerek kölcsönös mozdulatlansága általában nem lehetséges.

Ez a körülmény lényegesen megváltoztatja magának a vonatkoztatási rendszernek a fogalmát az általános relativitáselméletben a speciális elméletben megszokott értelmezéshez képest. Az utóbbiban a vonatkoztatási rendszert egymáshoz képest nyugalomban levő és változatlan távolságban elhelyezett testek összességeként értelmezzük. Változó gravitációs térben nem létezik a testeknek ilyen rendszere. Hogy a térben egy részecske helyzetét pontosan megadhassuk, szigorú értelemben az egész teret kitöltő végtelen sok test összességére van szükségünk, mely valamilyen „közegre” emlékeztet. A testeknek ez a rendszere a velük kapcsolatos, egyenként tetszőlegesen járó órákkal együtt alkotja az általános relativitáselméletben a vonatkoztatási rendszert.

Minthogy a vonatkoztatási rendszer tetszőlegesen választható, a természettörvényeket az általános relativitáselméletben úgy kell felírnunk, hogy formálisan bármely négydimenziós koordináta-rendszerben azonos (vagy, mint mondani szokás, kovariáns) alakúak legyenek. Ez azonban természetesen nem jelenti mindezeknek a vonatkoztatási rendszereknek a fizikai ekvivalenciáját (olyan értelemben, mint a speciális relativitáselméletben az inerciarendszerek ekvivalensek). Éppen ellenkezőleg, a fizikai jelenségek konkrét alakja, például testek mozgásának jellemzői, különböző vonatkoztatási rendszerekben különbözőek.



[98] A félreértések elkerülése végett azonban már most rá kell mutatnunk arra, hogy egy ilyen koordináta-rendszer megválasztása nem jelenti még a gravitációs tér kioltását a megfelelő infinitezimálisan kicsi négyes térfogatelemben. Az, hogy az ekvivalencia-elv miatt ilyen kioltás mindig lehetséges, valamivel többet jelent. (Lásd a  87. §-t.)

[99] Szigorú értelemben ez csak négynél több próbarészecske esetén igaz. Minthogy a közöttük levő hat szakasz egy tetraédert határoz meg, a vonatkoztatási rendszer megfelelő választásával mindig elérhetjük, hogy a négy részecske rendszere merev tetraédert alkosson. Még inkább lehetséges a kölcsönös mozdulatlanságot két vagy három részecske rendszerére definiálni.