Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

83 §. Görbevonalú koordináták

83 §. Görbevonalú koordináták

Gravitációs terek tanulmányozásakor a jelenségeket tetszőleges vonatkoztatási rendszerekben kell vizsgálnunk. Ezért a négydimenziós geometriát tetszőleges koordináták esetén használható alakban kell megfogalmaznunk. Ezt a  8385. §-okban tesszük meg.

Vizsgáljuk az x0, x1, x2, x3 koordináta-rendszernek egy másik x′0, x′1, x′2, x′3 rendszerbe történő transzformációját:

x i = f i ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ,

ahol fi valamilyen függvény. A transzformáció során a koordináták differenciáljai a

10.6. egyenlet - (83.1)

d x i = x i x k d x k

képlet szerint transzformálódnak.

Négy Ai mennyiség összességét kontravariáns négyesvektornak nevezzük, ha koordinátatranszformáció során úgy transzformálódnak, mint a koordinátadifferenciálok, azaz

10.7. egyenlet - (83.2)

A i = x i x k A k .

Legyen φ skalár. A ∂φ∕∂xi deriváltak koordinátatranszformáció alkalmával az alábbi képlet szerint transzformálódnak:

10.8. egyenlet - (83.3)

φ x i = φ x k x k x i .

Ez különbözik a (83.2) képlettől. Négy Ai mennyiség összességét kovariáns négyesvektornak nevezzük, ha koordinátatranszformáció során úgy transzformálódnak, mint egy skalár deriváltjai:

10.9. egyenlet - (83.4)

A i = x k x i A k .

Hasonlóan definiálhatjuk a különböző rendű négyestenzorokat. Így például másodrendű kontravariáns négyestenzornak nevezzük a 16Aik mennyiség összességét, ha úgy transzformálódnak, mint két kontravariáns négyesvektor komponenseinek szorzatai, azaz a következő szabály szerint:

10.10. egyenlet - (83.5)

A i k = x i x l x k x m A l m .

Egy másodrendű kovariáns Aik tenor pedig az

10.11. egyenlet - (83.6)

A i k = x l x i x m x k A l m

szabály szerint transzformálódik. Végül a kevert négyestenzor transzformációs szabályát az

10.12. egyenlet - (83.7)

A k i = x i x l x m x k A m l

képlet határozza meg.

Ezek a definíciók a Galilei-koordinátákkal definiált négyesvektorok és négyestenzorok definícióinak (6. §) természetes általánosításai, amelyek szerint a dxi differenciálok szintén kontravariáns, a ∂φ∕∂xi deriváltak pedig kovariáns négyesvektort alkotnak.[100]

A négyestenzorok más négyestenzorok összeszorzásával vagy indexegybeejtéssel való képzési szabályai ugyanazok, mint Galilei-koordináták esetén. A (83.2) és (83.4) képletek használatával könnyen meggyőződhetünk például arról, hogy két négyesvektor AiBi skalárszorzata valóban invariáns:

A i B i = x i x l x m x i A l B m = x m x l A l B m = A l B l .

A δki négyes egységtenzor definíciója görbevonalú koordinátákra áttérve ugyanaz marad: komponensei ismét δki=0, ha i≠k, és δki=1, ha i=k. Ha Ak négyesvektor, akkor δki-val szorozva, ismét négyesvektort kapunk:

A k δ k i = A i ,

ezzel azt is megmutattuk, hogy a δki tenzor.

Az ívelemnégyzetet görbevonalú koordinátákban a dxi differenciálok kvadratikus alakja adja meg:

10.13. egyenlet - (83.8)

d s 2 = g i k d x i d x k ,

ahol gik a koordináták olyan függvénye, amely az i és k indexekben szimmetrikus:

10.14. egyenlet - (83.9)

g i k = g k i .

Mivel a gik tenzornak a dxidxk kontravariáns tenzorral való szorzata (kontrakciója) skalár, a gik mennyiségek kovariáns tenzort alkotnak; gik-t metrikus tenzornak nevezzük.

Az Aik és Bik tenzorok egymás inverzei, ha

A i k B k l = δ i l .

A gik tenzor gik inverzét kontravariáns metrikus tenzornak nevezzük:

10.15. egyenlet - (83.10)

g i k g k l = δ i l .

Ugyanazt a fizikai vektormennyiséget egyaránt jellemezhetjük kontravariáns vagy kovariáns komponensekkel. Nyilvánvaló, hogy a két megadási mód között a metrikus tenzor komponensei segítségével lehet kapcsolatot teremteni. Ez a kapcsolat a következő:

10.16. egyenlet - (83.11)

A i = g i k A k , A i = g i k A k .

Mivel Galilei-rendszerben a metrikus tenzor komponensei:

10.17. egyenlet - (83.12)

g i k ( 0 ) = g ( 0 ) i k = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ,

ebben a rendszerben a (83.11) egyenlőségek az ismert A0=A0, A1,2,3=–A1,2,3 összefüggésekre vezetnek.[101]

Az elmondottak a tenzorokra is vonatkoznak. Ugyanannak a fizikai tenzornak különböző alakjait szintén a metrikus tenzor segítségével lehet összekapcsolni:

A k i = g i l A l k , A i k = g i l g k m A l m ,

stb.

6. §-ban (Galilei-féle koordináta-rendszerben) definiáltuk a teljes antiszimmetrikus pszeudo-egységtenzort, eiklm-et. Transzformáljuk ezt görbevonalú koordináta- rendszerbe, az eredményt jelöljük Eiklm-mel. [Az eiklm jelölést tartsuk fenn a korábban e0123=1 (vagy e0123=–1) segítségével definiált mennyiségekre.]

Legyen x′i Galilei-féle, xi pedig tetszőleges görbevonalú koordináta. A tenzortranszformációk általános szabálya szerint

E i k l m = x i x p x k x r x l x s x m x t e p r s t ,

azaz

E i k l m = J e i k l m ,

ahol J a ∂xi∕∂x′p deriváltakból képzett determinánst jelöli, azaz éppen a Galilei-féle koordináta-rendszerből a görbevonalúba átvivő transzformáció Jacobi-determinánsát:

J = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) .

Ezt a Jacobi-determinánst ki lehet fejezni az (xi rendszerbeli) gik metrikus tenzor segítségével. E célból írjuk fel először a metrikus tenzor transzformációs képletét:

g i k = x i x l x k x m g ( 0 ) l m ,

és tegyük egyenlővé az egyenlőség két oldalán álló mennyiségekből képzett determinánsokat. Az inverz tenzor determinánsa: gik=1∕g. Másrészről viszont |g(0)lm|=–1, ezért azt kapjuk, hogy 1∕g=–J2, amiből J=1∕√(–g).

Tehát a negyedrendű antiszimmetrikus egységtenzort görbevonalú koordináta-rendszerben így számíthatjuk ki:

10.18. egyenlet - (83.13)

E i k l m = 1 g e i k l m .

Az indexeket Eiklm-ben az

eprstgipgkrglsgmt=geiklm

képlet segítségével húzhatjuk le, tehát az Eiklm kovariáns komponensei:

10.19. egyenlet - (83.14)

E i k l m = g e i k l m .

A Galilei-féle x′i koordináta-rendszerben egy skalár dΩ′=dx′0dx′1dx′2dx′3 szerinti integrálja szintén skalár, azaz a dΩ′ elem integráláskor skalárként viselkedik (6. §). Görbevonalú xi koordinátákra áttérve, a dΩ′ integrálási térfogatelem így transzformálódik:

d Ω 1 J d Ω = g d Ω .

Görbevonalú koordinátákban tehát a négyestérfogat szerinti integrál ás során a √(–g) dΩ szorzat invariáns.[102]

Mindaz, amit a  6. § végén a hiperfelületre vonatkozólag a felület és vonal menti integrálási elemekkel kapcsolatban megállapítottunk, igaz marad görbevonalú koordinátákban is, azzal a különbséggel, hogy a duális tenzorok definíciója némileg megváltozik.

A hiperfelület három infinitezimálisan kis elmozdulással meghatározott „területeleme” kontravariáns antiszimmetrikus tenzor dSikl; a neki megfelelő duális vektort a √(–g)eiklm, tenzorral való szorzással kapjuk:

10.20. egyenlet - (83.15)

g d S i = 1 6 e i k l m d S k l m g .

Hasonlóan, ha dfik két infinitezimális elmozdulással meghatározott (kétdimenziós) felületelem, akkor a neki megfelelő duális tenzort a

10.21. egyenlet - (83.16)

g d f i k = 1 2 g e i k l m d f l m

kifejezéssel definiáljuk.[103]

A dSi-vel és dfik∗-gal, éppúgy mint korábban, az (1/6)eklmidSklm és (1/2)eiklmdflm mennyiségeket jelöljük (és nem ezeknek √(–g)-vel való szorzatát); így a (6.14)(6.19) integráltranszformálási szabályok változatlanok maradnak, mivel levezetésük formális része független a megfelelő mennyiségek tenzortulajdonságaitól. A szóban forgó integráltranszformálási szabályok közül elsősorban a hiperfelületre vett integrálnak négyestérfogatra vett integrállá való átalakítására lesz szükségünk (Gauss-tétel), amit a

10.22. egyenlet - (83.17)

d S i d Ω x i

helyettesítéssel valósíthatunk meg.



[100] A Galilei-féle rendszerekben maguk az xi koordináták is négyesvektort alkotnak (nem csupán differenciáljaik), a görbevonalú koordinátákra viszont ez természetesen már nem áll fenn.

[101] Amikor az illusztráció vagy az analógia kedvéért a Galilei-féle koordináta-rendszerre hivatkozunk, nem szabad elfelejtenünk, hogy ilyen rendszert csupán sík négyestérben használhatunk. Görbült négyestér esetén azonban a Galilei-féle koordináta-rendszer az adott infinitezimálisan kis négyes-térfogatelemhez tartozó rendszer. Ilyen koordináta-rendszert mindig lehet választani. A következmények ilyen finomítás után is ugyanazok lesznek.

[102] Ha skalár, a √(–g)φ mennyiséget dΩ-val szorozva, invariáns kifejezést kapunk. Ezért a √(–g)φ szorzatot néha skalársűrűségnek nevezik. Hasonlóan beszélnek √(–g)Aivektor- és √(–g)Aiktenzorsűrűségekről stb. Ezeket a mennyiségeket a négyes-térfogatelemmel megszorozva, vektorokat, illetve tenzorokat kapunk. (A véges tartományra vett ∫Ai√(–g) dΩ integrál általában nem vektor, mivel az Ai vektor transzformációs szabályai a tartomány különböző pontjaiban különbözőek.)

[103] Magától értetődő, hogy a dSikl és dfik elemek a végtelenül kis dxi, dx′i , dx′′i elmozdulásokból oly módon vannak felépítve, ahogyan a  6. §-ban definiáltuk, függetlenül attól, hogy mi a dxi koordináták geometriai értelme. Így érvényes marad a dSi, dfik∗ elemek korábbi formális értelmezése is. Speciálisan, mint korábban, dS0=dxldx2dx3=dV. A továbbiakban a három térkoordináta differenciáljaiból képzett szorzatra az előzőekben használt dV jelölést megtartjuk; nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy a geometriai térfogatelemet a görbevonalú koordinátákban nem dV, hanem a √γdV szorzat adja, ahol γ a térbeli metrikus tenzor determinánsa (amelyet a következő szakaszban értelmezünk).