Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

84 §. Távolságok és időtartamok

84 §. Távolságok és időtartamok

Az előzőekben már említettük, hogy az általános relativitáselméletben a koordináta-rendszer kiválasztása teljesen önkényes; az x1, x2, x3 térkoordináták gyanánt bármely, a testek térbeli helyzetét meghatározó három mennyiséget használhatunk, az x0 időkoordinátát tetszőlegesen járó órákkal határozhatjuk meg. Felmerül a kérdés, hogyan lehet meghatározni az x0, x1, x2, x3 mennyiségek értékeinek ismeretében a valódi távolságokat és időtartamokat.

Határozzuk meg először a valódi τ idő kapcsolatát az x0 koordinátával. E célból figyeljünk meg a tér adott pontjában végbemenő két infinitezimálisan közeli eseményt. Az események ds íveleme cdτ, ahol dτ a két esemény között eltelt „valódi” időtartam.

Az általános ds2=gikdxidxk kifejezésbe dx1=dx2=dx3=0 értékeket helyettesítve, azt kapjuk, hogy

d s 2 = c 2 d τ 2 = g 0 0 ( d x 0 ) 2 ,

következésképpen

10.23. egyenlet - (84.1)

d τ = 1 c g 0 0 d x 0 .

A tér adott pontjában bekövetkező bármilyen két esemény között eltelt időtartamot tehát a

10.24. egyenlet - (84.2)

τ = 1 c g 0 0 d x 0 .

integrál határozza meg.

Ezek az összefüggések egyúttal meghatározzák a „valódi időtartamokat” (vagy a szokásos szóhasználattal, a tér adott pontjához rendelt sajátidőt) az x0 koordináta függvényében. Érdemes még megjegyezni, hogy a fenti képletekből következik a g00 komponens pozitív volta:

10.25. egyenlet - (84.3)

g 0 0 > 0 .

Hangsúlyozni kell, hogy a (84.3) feltétel és a gik tenzor határozott szignatúrájára (a főértékek előjeleire) vonatkozó feltétel (82. §) nem azonos. Ha egy gik tenzor az utóbbi feltételt nem elégíti ki, az a gik általában nem felelhet meg valódi gravitációs térnek, azaz nem adhatja meg egy valóságos téridő metrikáját. Ugyanakkor a (84.3) feltétel sérülése csupán azt vonná maga után, hogy a megfelelő vonatkoztatási rendszert nem lehetne valódi testekkel megvalósítani; de ha ezzel egyidejűleg a főértékekre vonatkozó feltétel teljesül, akkor a koordináták megfelelő transzformálásával elérhetjük, hogy a g00 pozitív legyen (egy ilyen rendszerre példa a forgó koordináta-rendszer; lásd a  89. §-t).

Következő lépésként meghatározzuk a dl térbeli távolságelemet. A speciális relativitáselméletben a dl-et két infinitezimálisan közeli, de ugyanabban az időpillanatban végbemenő esemény közötti ívelemként definiáltuk. Az általános relativitáselméletben azonban ez a definíció általában nem kielégítő, azaz nem lehet dl-et egyszerűen úgy definiálni, hogy ds-be dx0=0-t teszünk. Gravitációs térben ugyanis, a sajátidő a tér különböző pontjaiban különböző kapcsolatban áll az x0 koordinátával.

d l-et ezért az alábbiak szerint definiáljuk.

Induljon el a tér valamely B pontjából (amelynek koordinátái xα+dxα) egy fényjel a hozzá infinitezimálisan közeli A pontba (amelynek koordinátái xα), majd onnan azonnal forduljon vissza ugyanazon az úton. Az ehhez szükséges idő (amelyet ugyanabban a B pontban mérünk) c-vel szorozva nyilvánvalóan a két pont távolságának kétszerese.

Az ívelemnégyzet képletében válasszuk szét az idő- és a térkoordinátákat:

10.26. egyenlet - (84.4)

d s 2 = g α β d x α d x β + 2 g 0 α d x 0 d x α + g 0 0 ( d x 0 ) 2 ,

ahol megállapodásunknak megfelelően a kétszer ismétlődő görög indexek 1,2,3 értékeire összegezünk. A fényjel egyik pontból való kiindulásának és visszaérkezésének megfelelő események ívelemnégyzete zérus. A ds2=0 egyenletet dx0-ra megoldva, két gyököt kapunk:

10.27. egyenlet - (84.5)

d x 0 ( 1 ) = 1 g 0 0 g 0 α d x α ( g 0 α g 0 β g α β g 0 0 ) d x α d x β , d x 0 ( 2 ) = 1 g 0 0 g 0 α d x α + ( g 0 α g 0 β g α β g 0 0 ) d x α d x β ,

ami a jel A és B között két lehetséges irányú terjedésének felel meg. Ha x0 a jel A-ba való beérkezésének pillanata, akkor a B-ből való elindulásának és a B-be való visszatérésének megfelelő pillanatai x0+dx0(1) és x0+dx0(2). A  18. ábrán látható folytonos vonalak a megadott xα és xα+dxα koordinátáknak felelnek meg, a szaggatott vonal pedig a jel világvonala.[104] Nyilvánvaló, hogy a jel kiindulása és ugyanabba a pontba való visszatérése között eltelt teljes „időtartam”

dx0(2)dx0(1)=2g00(g0αg0βgαβg00)dxαdxβ.

18. ábra - 18. ábra

18. ábra

A megfelelő valódi időtartam a (84.1) szerint √(g00)∕c-vel való szorzással, a két pont dl távolsága pedig még további c∕2-vel való szorzással adódik. Eredményül azt kapjuk, hogy

d l 2 = g α β + g 0 α g 0 β g 0 0 d x α d x β .

Ez pedig a távolságot a térkoordináták elemei segítségével meghatározó kifejezés. Írjuk a keresett képletet

10.28. egyenlet - (84.6)

d l 2 = γ α β d x α d x β

alakba, ahol

10.29. egyenlet - (84.7)

γ α β = g α β + g 0 α g 0 β g 0 0

a (hármas) metrikát, azaz a (közönséges) tér geometriai tulajdonságait meghatározó háromdimenziós metrikus tenzor. A (84.7) összefüggések kapcsolatot teremtenek a közönséges tér és a négydimenziós téridő metrikája között.[105]

Emlékeztetnünk kell azonban arra, hogy gik általában függ x0-tól, így a (84.6) térmetrika is változik az időben. Emiatt a dl szerinti integrálásnak nincs értelme, egy ilyen integrál értéke függene attól, hogy a tér adott két pontja között milyen világvonal mentén integrálunk. Az általános relativitáselméletben tehát általában értelmét veszti a két test közötti határozott távolság fogalma, helyette csupán infinitezimális távolságról beszélhetünk. A távolságot a tér véges tartományaiban csak olyan téridőben definiálhatjuk, amelynek gik metrikája nem függ az időtől, ezért az ∫dl térbeli görbe mentén vett integrálnak határozott értelme van.

Vegyük észre, hogy –γαβ a gαβ háromdimenziós kontravariáns tenzor inverze. Valóban, a gikgkl=δli egyenlőséget komponensekben kiírva, azt kapjuk, hogy

10.30. egyenlet - (84.8)

g α β g β γ + g α 0 g 0 γ = δ γ α , g α β g β 0 + g α 0 g 0 0 = 0 , g 0 β g β 0 + g 0 0 g 0 0 = 1 .

g α0-t a második egyenletből kifejezve és az elsőbe téve, a keresett

gαβγβγ=δγα

összefüggés adódik. Ezt az eredményt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a –gαβ komponensek a (84.6) metrikának megfelelő kontravariáns háromdimenziós metrikus tenzort alkotnak:

10.31. egyenlet - (84.9)

γ α β = g α β .

Felhívjuk a figyelmet arra is, hogy a gik és γαβ mennyiségekből alkotott g és γ determinánsok egymással egyszerű kapcsolatban állnak:

10.32. egyenlet - (84.10)

g = g 0 0 γ .

A későbbi alkalmazások során hasznos lesz a g hármasvektor, amelynek kovariáns komponenseit a

10.33. egyenlet - (84.11)

g α = g 0 α g 0 0

egyenlőség definiálja. Ha a (84.6) metrikájú térben g-t vektorként kezdjük, akkor kontravariáns komponenseit a gα=γαβgβ egyenlőséggel kell definiálnunk. (84.9) és (84.8) második egyenlete segítségével könnyű belátni, hogy

10.34. egyenlet - (84.12)

g α = γ α β g β = g 0 α .

Írjuk még fel a

10.35. egyenlet - (84.13)

g 0 0 = 1 g 0 0 g α g α

egyenlőséget is, mely a (84.8) harmadik egyenletéből következik.

Térjünk át ezek után az egyidejűség fogalmának meghatározására az általános relativitáselméletben. Tisztázzuk a tér különböző pontjaiban levő órák szinkronizálhatóságának kérdését, azaz megvizsgáljuk, hogy egyezésbe lehet-e egymással hozni ezeknek az óráknak az állását.

Egy ilyen szinkronizálást nyilvánvalóan a pontok között fényjelék cseréjének segítségével kell megvalósítanunk. Vizsgáljuk meg ismét a jelek terjedését a  18. ábrán lerajzolt infinitezimálisan közel fekvő A és B pontok között. Az A pontbeli x0 pillanattal a B-beli óráknak azt az állását kell egyidejűnek tekinteni, amely a jel B-ből való kiindulása és oda való visszaérkezése időkülönbségének számtani közepe, azaz

x 0 + Δ x 0 = x 0 + 1 2 ( d x 0 ( 2 ) + d x 0 ( 1 ) ) .

Behelyettesítve ide (84.5)-öt, azt kapjuk, hogy két egyidejű, infiniteirnálisan közeli pontban végbemenő esemény x0 „idő” különbsége az alábbi alakba írható:

10.36. egyenlet - (84.14)

Δ x 0 = g 0 α d x α g 0 0 g α d x α .

Ez az összefüggés lehetőséget ad arra, hogy a tér bármely, infinitezimálisan kis térfogatában szinkronizáljuk az órákat. Hasonlóan továbbfolytatva, az A pontból kiindulva, szinkronizálhatjuk az órákat, azaz definiálhatjuk az események egyidejűségét bármilyen nem zárt görbe mentén.[106]

Az órákat zárt görbe mentén általában nem lehet szinkronizálni. Valóban, a kontúr mentén körbejárva és a kiindulási pontba visszaérkezve, azt kapjuk, hogy Δx0 nem nulla. Ugyanígy lehetetlen az órák egyértelmű szinkronizálása az egész térben. Csupán azok a vonatkoztatási rendszerek képeznek kivételt, amelyekben az összes g0α komponens zérus.[107]

Hangsúlyoznunk kell: az a tény, hogy az összes óra nem szinkronizálható, nem a téridőnek, hanem az önkényesen választott koordináta-rendszernek a tulajdonsága. Bármely gravitációs térben mindig választható olyan vonatkoztatási rendszer (mégpedig végtelen sokféleképpen), hogy a három mennyiség zérus legyen, ami egyúttal lehetővé teszi az órák teljes szinkronizálását (lásd a  100. §-t).

Egymáshoz képest mozgó órák esetén a sajátidő már a speciális relativitáselméletben is másképpen telik. Az általános relativitáselméletben a sajátidő másképpen telik egy adott vonatkoztatási rendszerben a tér különböző pontjaiban is. Ez azt jelenti, hogy a tér valamely pontjában lezajló két esemény közötti sajátidő-intervallum általában különbözik a tér egy másik pontjában, az előzőekkel egyidejű események közötti sajátidő-intervallumtól.



[104] 18. ábrán feltételeztük, hogy dx0(2)>0, dx0(1)<0, ami azonban nem kötelező: dx0(1) és dx0(2) egyforma előjelűek is lehetnek. Az a tény, hogy ilyen esetben a jel A-ba érkezésének pillanatában x0(A) értéke kisebb lehet, mint a jel B-ből való kiindulási pillanatában vett x0(B) érték, önmagában nem jelent semmilyen ellentmondást, minthogy a tér különböző pontjaiban levő órák járásáról nem, tételezzük fel, hogy bármi módon is szinkronizálva lennének.

[105] (84.6) kvadratikus alak szükségképpen pozitív definit. Ezért együtthatóinak ismeretes módon az alábbi feltételeket kell teljesítenie: γ11>0, |γ11γ12 / γ21γ22|>0, |γ11γ12γ13 / γ21γ22γ23 / γ31γ32γ33|>0. A γik együtthatókat gik-kal kifejezve, e feltételek |g00g01 / g10g11|<0, |g00g01g02 / g10g11g12 / g20g21g22|>0, g<0 alakba írhatók. A metrikus tenzor komponenseinek eleget kell tenniük ezeknek és a (84.3) feltételeknek minden olyan vonatkoztatási rendszerben, amely valódi testekkel megvalósítható.

[106] (84.14) egyenlőséget g00-lal megszorozva és mindkét tagot egy oldalra írva, a szinkronizálás feltételét dx0=g0idxi=0 alakban adhatjuk meg: két infinitezimálisan közeli egyidejű esemény között a dx0 „kovariáns differenciálnak” zérusnak kell lennie.

[107] Ugyanide kell sorolni azokat az eseteket is, amikor a g0α-k zérusba vihetők az időkoordináta olyan egyszerű transzformációjával, amely a térkoordináták meghatározására szolgáló tárgyak rendszerének kiválasztását nem érinti.