Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

85 §. Kovariáns differenciálás

85 §. Kovariáns differenciálás

Galilei-féle koordinátákban[108] az Ai vektor dAi differenciálja vektorkomponenseinek koordináták szerint ∂Ai∕∂xk deriváltjai tenzorokat képeznek. Görbevonalú koordinátákban ez a tulajdonság nem marad meg; dAi nem vektor, ∂Ai∕∂xk pedig nem tenzor. Ez azzal kapcsolatos, hogy dAi a tér (infinitezimálisan közeli) különböző pontjaiban vett vektorok különbsége; minthogy azonban a (83.2) és (83.4) transzformációs képletekben szereplő együtthatók függenek a koordinátáktól, a vektorok a tér különböző pontjaiban különbözőképpen transzformálódnak.

A mondottakról közvetlenül is könnyen meggyőződhetünk. E célból levezethetjük a dAi differenciálok transzformációs képleteit görbevonalú koordinátákban. Egy kovariáns vektor az

A i = x k x i A k

képlet szerint transzformálódik, ezért

d A i = x k x i d A k + A k d x k x i = x k x i d A k + A k 2 x k x i x l d x l .

Látható, hogy dAi nem transzformálódik vektorként (természetesen ugyanez vonatkozik a kontravariáns vektorok differenciáljaira is) csak abban az esetben, ha a (∂2x′k/∂xi∂xl) második deriváltak eltűnnek, azaz ha az x′k-k xk-k lineáris függvényei. Ekkor

d A i = x k x i d A k .

Próbáljunk most egy olyan tenzort definiálni, amely görbevonalú koordináta-rendszerben ugyanolyan szerepet játszik, mint a ∂Ai∕∂xk tenzor a Galilei-féle koordinátákban. Pontosabban ∂Ai∕∂xk-t transzformáljuk Galilei-féle koordinátákból görbevonalúkba.

Ahhoz, hogy görbevonalú koordinátákban vektor differenciálja ismét vektor legyen, az szükséges, hogy a térnek ugyanabban a pontjában adott vektorokat vonjuk ki egymásból. Más szóval, a két infinitezimálisan közeli vektor közül az egyiket át kell vinnünk valamilyen módon abba a pontba, ahol a másik adott, majd ezután a tér egy és ugyanazon pontjához tartozó két vektor különbségét kell valahogyan meghatároznunk. Eközben az áthelyezés műveletét úgy kell definiálnunk, hogy Galilei-koordinátákban a fenti különbség megegyezzék a szokásos dAi differenciállal. Minthogy dAi egyszerűen két végtelenül közel fekvő vektor különbsége, ez a feltétel azt jelenti, hogy az áthelyezési művelet eredményeképpen a vektor komponenseinek Galilei-féle koordinátákban változatlanoknak kell maradniuk. Egy ilyen áthelyezés pedig nem lehet más, mint a vektornak önmagával párhuzamos eltolása. Párhuzamos eltolás során a vektor komponensei Galilei-féle koordinátákban nem változnak, de görbevonalú koordináták használata esetén ilyen eltoláskor a vektor komponensei általában megváltoznak. Ha tehát görbevonalú koordináta-rendszerben toljuk el az egyik vektort abba a pontba, ahol a másik van, a két vektor komponenseinek különbsége az eltolás után más lesz, mint az eltolás előtt (azaz megváltozik a dAi differenciál).

Ily módon, két infinitezimálisan közeli vektor összehasonlításakor először az egyiket párhuzamosan el kell tolni abba a pontba, ahol a másik van. Vizsgáljunk egy kontravariáns vektort; ha az xi koordinátájú pontban az értéke Ai akkor a szomszédos xi+dxi koordinátájú pontban Ai+dAi lesz. Ha az Ai vektort infinitezimálisan kicsi, az xi+dxi-be vivő párhuzamos eltolásnak vetjük alá, értéke δAi-vel változik meg. Így a most már egy pontban levő vektorok DAi különbsége:

10.37. egyenlet - (85.1)

D A i = d A i δ A i .

A vektorkomponensek infinitezimálisan kis párhuzamos eltoláskor fellépő δAi megváltozásai függenek maguknak a komponenseknek az értékeitől. A függvénykapcsolat nyilvánvalóan lineáris. Ez közvetlenül következik abból, hogy két vektor összege ugyanolyan szabály szerint transzformálódik, mint az egyes összetevő vektorok. δAi tehát a következő alakban adható meg:

10.38. egyenlet - (85.2)

δ A i = Γ k l i A k d x l ,

ahol a Γkli, mennyiségek a koordináták valamilyen függvényei; alakjuk természetesen függ a koordináta-rendszer választásától, Galilei-féle rendszerben minden Γkli nulla.

Már ebből is látszik, hogy a Γkli mennyiségek nem alkotnak tenzort. Ugyanis ha egy tenzor zérus valamelyik koordináta-rendszerben, akkor a többi koordináta-rendszerben is eltűnik. Görbült térben a koordináta-rendszer alkalmas választásával természetesen nem érhető el, hogy egyszerre az összes Γkli nulla legyen. Lehet viszont olyan koordináta-rendszert választani, amelyben Γkli-ek egy adott infinitezimálisan kis tartományban zérussá válnak (lásd e szakasz végét) [109] A Γkli mennyiségeket Cristoffel-szimbólumoknak nevezik. Használni fogjuk a Γi,kl mennyiségeket is,[110] amelyeket így definiálunk:

10.39. egyenlet - (85.3)

Γ i , k l = g i m Γ k l m .

Fordítva:

10.40. egyenlet - (85.4)

Γ k l i = g i m Γ m , k l .

A Christoffel-szimbólumokkal könnyen kapcsolatba hozhatók a kovariáns vektorkomponensek párhuzamos eltoláskor fellépő megváltozásai is. Először megjegyezzük, hogy a skalárok párhuzamos eltoláskor nyilvánvalóan változatlanok maradnak. Speciálisan, két vektor skaláris szorzata párhuzamos eltoláskor ugyanaz marad.

Legyenek Ai és Bi tetszőleges kovariáns és kontravariáns vektorok. Ekkor a δ(AiBi)=0 feltételből azt kapjuk, hogy

B i δ A i = A i δ B i = Γ k l i B k A i d x l ,

vagy az indexek jelölését megváltoztatva,

B i δ A i = Γ i l k A k B i d x l .

Minthogy Bi tetszőleges vektor, ezért

10.41. egyenlet - (85.5)

δ A i = Γ i l k A k d x l ,

ami éppen a kovariáns vektor párhuzamos eltoláskor fellépő megváltozása.

(85.1)-be (85.2)-t és dAi=(∂Ai/∂xl) dxl-et helyettesítve, azt kapjuk, hogy

10.42. egyenlet - (85.6)

D A i = A i x l + Γ k l i A k d x l .

Hasonlóan adódik a kovariáns vektorra:

10.43. egyenlet - (85.7)

D A i = A i x l Γ i l k A k d x l .

(85.6)(85.7)-ben a zárójelben álló mennyiségek tenzorok, minthogy ezek a dxl vektorral szorozva vektort adnak. Nyilvánvaló, hogy éppen ezek azok a tenzorok, amelyek megvalósítják a vektor deriváltja fogalmának görbevonalú koordinátákra való keresett általánosítását. Ezeket a tenzorokat az Ai, illetve az Ai vektorok kovariáns deriváltjainak nevezzük. Így tehát

10.44. egyenlet - (85.8)

D A i = A ; l i d x l , D A i = A i ; l d x l ,

és maguk a kovariáns deriváltak:

10.45. egyenlet - (85.9)

A ; l i = A i x l + Γ k l i A k ,

10.46. egyenlet - (85.10)

A i ; l = A i x l Γ i l k A k .

Galilei-féle koordinátákban Γkli=0, és a kovariáns deriváltak átmennek a szokásos deriváltakba.

Ezek után nem jelent nehézséget a tenzorok kovariáns deriváltjainak értelmezése sem. E célból elegendő meghatároznunk a tenzor végtelen kis párhuzamos eltolásakor fellépő megváltozást. Vizsgáljunk például egy olyan kontravariáns tenzort, amely két kontravariáns vektor AiBk szorzata. Párhuzamos eltolás esetén:

δ ( A i B k ) = A i δ B k + B k δ A i = A i Γ l m k B l d x m B k Γ l m i A l d x m .

Minthogy ez a kifejezés lineáris, tetszőleges Aik tenzorra is igaz az, hogy

10.47. egyenlet - (85.11)

δAik=(AimΓmlk+AmkΓmli)dxl.


Ezt behelyettesítve a

DAik=dAikδAikAik;ldxl

egyenlőségbe, az Aik tenzor kovariáns deriváltját

10.48. egyenlet - (85.12)

Aik;l=Aikxl+ΓmliAmk+ΓmlkAim


alakban kapjuk.

Ugyanígy kaphatjuk meg a vegyes és a kontravariáns tenzorok kovariáns deriváltjait definiáló kifejezéseket:

10.49. egyenlet - (85.13)

Ak;li=AkixlΓklmAmi+ΓmliAkm,


10.50. egyenlet - (85.14)

Aik;l=AikxlΓilmAmkΓklmAim.


Hasonló eljárással definiálhatjuk tetszőleges rendű tenzorok kovariáns deriváltjait. A kovariáns differenciálásra a következő általános szabályt kapjuk: egy A⋯⋯ tenzor kovariáns deriváltját úgy képezhetjük xl szerint, hogy a szokásos ∂A⋯⋯∕∂xl deriválthoz hozzáadunk minden kovariáns i indexnek megfelelően (A⋅i⋅⋯) egy –ΓilkA⋅k⋅⋯ tagot, minden kontravariáns i indexnek megfelelően (A⋯⋅i⋅) pedig egy +ΓkliA⋯⋅k⋅ tagot.

Könnyen belátható, hogy szorzat kovariáns deriváltját ugyanúgy kell képezni, mint a szorzat szokásos deriváltját. Egy φ skalár kovariáns deriváltján a szokásos deriváltat értjük, φk=∂φ∕∂xk tehát kovariáns vektor, hiszen skalárokra δφ=0, és ezért Dφ=dφ. Például az AiBk szorzat kovariáns deriváltját az

( A i B k ) ; l = A i ; l B k + A i B k ; l

szabály szerint kell képezni.

Kovariáns deriváltak differenciálásra utaló indexét felhúzva, az úgynevezett kontravariáns deriváltakat kapjuk. Így

A i ; k = g k l A i ; l , A i ; k = g k l A i ; l .

Bebizonyítjuk, hogy a Γkli Christoffel-szimbólumok alsó indexeikben szimmetrikusak. Mivel egy vektor Ai;k kovariáns deriváltja tenzor, az Ai;k–Ak;i különbség is tenzor. Legyen Ai egy skalár deriváltja, azaz Ai=∂φ∕∂xi. Minthogy

A i x k = 2 φ x i x k = A k x i ,

(85.10) kifejezés segítségével azt kapjuk, hogy

A k ; i A i ; k = ( Γ i k l Γ k i l ) φ x l .

Galilei-féle koordináta-rendszerben a kovariáns deriváltak átmennek a szokásosokba, ezért a fenti egyenlet bal oldala zérussá válik. De Ak;i–Ai;k tenzor, ezért ha egy adott rendszerben eltűnik, akkor minden más koordináta-rendszerben is nulla. Ebből az következik, hogy

10.51. egyenlet - (85.15)

Γ k l i = Γ l k i .

Nyilvánvaló, hogy

10.52. egyenlet - (85.16)

Γ i , k l = Γ i , l k

is fennáll.

Általános esetben mindössze 40 különböző Γkli mennyiség van: az i index mind a négy értékéhez a 10 különböző k, l indexpár tartozik (azonosnak tekintjük az egymásból k és l felcserélésével adódó párokat).

E szakasz befejezéseképpen megadjuk, hogyan transzformálódnak a Christoffel-szimbólumok egy másik koordináta-rendszerre való áttérés során. Ezeket az összefüggéseket úgy kaphatjuk meg, hogy összehasonlítjuk tetszőleges kovariáns deriváltak transzformációs szabályait meghatározó egyenletek két oldalát, és megköveteljük, hogy a két oldal ugyanúgy transzformálódjon. Egyszerű számolás után az alábbi kifejezésre jutunk:

10.53. egyenlet - (85.17)

Γ k l i = Γ n p m = x i x m x n x k x p x l + 2 x m x k x l x i x m .

Ebből leolvashatjuk, hogy a Γkli mennyiségek csak a koordináták lineáris transzformációja esetén viselkednek tenzorként [amikor is (85.17)-ben a második tag eltűnik].

(85.17) összefüggés segítségével könnyen bebizonyítható az a fentebbi állítás, hogy mindig található olyan koordináta-rendszer, amelyben egy tetszőleges, de előre megadott pontban az összes Γkli zérussá válik (ezeket a rendszereket nevezik lokálisan geodetikus koordináta-rendszereknek; lásd a  87. §-t).[111]

Valóban, válasszuk az adott pontot a koordináta-rendszer kezdőpontjának, és legyen a Γkli mennyiségek értéke (az xi koordinátákban) ebben a rendszerben (Γkli)0. Hajtsunk végre e pont környezetében egy

10.54. egyenlet - (85.18)

x i = x i + 1 2 ( Γ k l i ) 0 x k x l

transzformációt. Ekkor a

2xmxkxlxixm0=(Γkli)0

összefüggést kapjuk, és (85.17) szerint az összes Γnp′m zérussá válik.

Megjegyezzük, hogy a (85.18) transzformációra

x i x k 0 = δ k i ,

ezért ez a transzformáció minden tenzor origóbeli értékét változatlanul hagyja (így a gik tenorét is), tehát egyszerre hozhatjuk a Galilei-féle alakra a gik tenzort, és tehetjük zérussá a Christoffel-szimbólumokat.



[108] Általában mindig, amikor a gik mennyiségek állandók.

[109] Éppen ilyen koordináta-rendszert kell majd választanunk minden olyan megfontolás során, amikor a rövidség kedvéért egyszerűen Galilei-féle rendszerről beszélünk; ekkor az összes bizonyítás egyaránt érvényes marad nemcsak az euklideszi, hanem a görbült négyestérre is.

[110] A Γkli és Γi,kl jelölések helyett szokás a {kli}és [kli] jelöléseket használni.

[111] Meg lehet mutatni azt is, hogy a koordináta-rendszer megfelelő választásával az összes Γkli zérussá tehető nemcsak egy adott pontban, de egy adott vonal mentén is. [Ennek az állításnak a bizonyítását P. K. Rasevszkij „Riemann-geometria és tenzoranalízis” című könyvének 91. §-ában találhatjuk meg, „Nauka” (1964).]