Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

86 §. A Christoffel-szimbólumok és a metrikus tenzor kapcsolata

86 §. A Christoffel-szimbólumok és a metrikus tenzor kapcsolata

Először bebizonyítjuk, hogy a gik metrikus tenzor kovariáns deriváltja zérus. E célból megjegyezzük, hogy a DAi vektorra, mint minden vektorra, érvényes a

D A i = g i k D A k

összefüggés. Másrészről Ai=gikAk, tehát

D A i = D ( g i k A k ) = g i k D A k + A k D g i k .

D A i két alakját összehasonlítva és Ai differenciálhatóságát figyelembe véve,

D g i k = 0

adódik. Ezért a kovariáns derivált is zérus:

10.55. egyenlet - (86.1)

g i k ; l = 0 .

Kovariáns deriválásnál tehát a gik-t állandónak kell tekintenünk.

A gik;l=0 egyenlőséget arra használhatjuk fel, hogy a Γkli Christoffel-szimbólumokat kifejezzük a gik metrikus tenzor segítségével. E célból a (85.14) általános definíciónak megfelelően felírjuk, hogy

g i k ; l = g i k x l g m k Γ i l m g i m Γ k l m = g i k x l Γ k , i l Γ i , k l = 0 .

Eszerint gik deriváltjai kifejezhetők a Christoffel-szimbólumokkal.[112] Írjuk le ezeket a deriváltakat az i, k, l indexek felcserélésével:

g i k x l = Γ k , i l Γ i , k l , g l i x k = Γ i , k l + Γ l , i k , g k l x i = Γ l , k i Γ k , l i .

Ezeket az egyenlőségeket összeadva (figyelembe véve, hogy Γi,kl=Γi,lk), a

10.56. egyenlet - (86.2)

Γ i , k l = 1 2 g i k x l + g i l x k g k l x i

összefüggést nyerjük. Ebből a Γkli=gimTm,kl szimbólumokra a

10.57. egyenlet - (86.3)

Γ k l i = 1 2 g i m g m k x l + g m l x k g k l x m

kifejezést kapjuk. Ezek a képletek adják a Christoffel-szimbólumok és a metrikus tenzor keresett kapcsolatát.

Most levezetünk egy, a későbbiek szempontjából hasznos kifejezést az összeeső indexű Γk;ii Christoffel-szimbólumra. E célból először határozzuk meg a gik tenzor komponenseiből alkotott g determináns dg differenciálját; dg-t úgy lehet megkapni, hogy minden egyes gik tenzorkomponens differenciálját szorozzuk a determinánson belüli együtthatójával, azaz a megfelelő aldeterminánssal. Másrészről gik inverz tenzorának, gik-nak a komponensei, mint ismeretes, egyenlőek a gik mennyiségekből képzett determináns aldeterminánsainak és magának a determinánsnak a hányadosával. Ezért a g determináns aldeterminánsai ggik-val egyenlőek. Így tehát

10.58. egyenlet - (86.4)

d g = g g i k d g i k = g g i k d g i k

(ezért gikgik=δii=4, ezért gikdgik=–gikdgik).

(86.3) szerint írhatjuk, hogy

Γ k i i = 1 2 g i m g m k x i + g m i x k g k i x m .

A zárójelben levő első és harmadik tagban az m és i indexeket felcserélve, azok kiejtik egymást, így

Γ k i i = 1 2 g i m g i m x k ,

vagy (86.4) szerint

10.59. egyenlet - (86.5)

Γ k i i = 1 2 g g x k = ln g x k .

Érdemes felírni a gklΓkli-re vonatkozó kifejezést is. Tudjuk, hogy

g k l Γ k l i = 1 2 g k l g i m g m k x l + g l m x k g k l x m = g k l g i m g m k x l 1 2 g k l x m .

(86.4) segítségével ezt

10.60. egyenlet - (86.6)

g k l Γ k l i = 1 g ( g g i k ) x k

alakra hozhatjuk.

Alkalmazások esetén hasznos lehet annak ismerete, hogy a gik kontravariáns, tenzor deriváltjai a gik deriváltjaival az alábbi kapcsolatban állnak:

10.61. egyenlet - (86.7)

g i l g l k x m = g i k g i l x m .

(Ezt a gilglk=δik egyenlőség differenciálásával kaphatjuk meg.) Végül megmutatjuk, hogyan fejezhetők ki gik deriváltjai a Γkli mennyiségekkel. A gik;l=0 azonosságból azonnal következik, hogy

10.62. egyenlet - (86.8)

g i k x l = Γ m l i g m k Γ m l k g i m .

A kapott összefüggések segítségével egyszerű alakra hozhatjuk az A;ii kifejezést is, ami a vektordivergencia általánosítása görbevonalú koordinátákra. (86.5) segítségével azt kapjuk, hogy

A ; i i = A i x i + Γ l i i A l = A i x i + A l ln g x l ,

vagy végül

10.63. egyenlet - (86.9)

A ; i i = 1 g ( g A i ) x i .

Hasonló kifejezések érvényesek az antiszimmetrikus tenzor divergenciájára is. (85.12)-ből

A ; k i k = A i k x k + Γ m k i A m k + Γ m k k A i m .

De Amk=–Akm, ezért

Γ m k i A m k = Γ k m i A k m = 0 .

Behelyettesítve Γmkk helyére a (86.5) kifejezést, végül az

10.64. egyenlet - (86.10)

A;kik=1g(gAik)xk


képlethez jutunk.

Legyen most Aik szimmetrikus tenzor, és kevert komponenseire határozzuk meg az Ai;kk kifejezést. Azonnal adódik, hogy

A i ; k k = A i k x k + Γ l k k A i l Γ i k l A l k = 1 g ( A i k g ) x k Γ k i l A l k .

Itt az utolsó tag a

1 2 g i l x k + g k l x i g i k x l A k l

kifejezéssel egyenlő. Az Akl tenzor szimmetriája miatt a zárójelben levő két utolsó tag kölcsönösen kiejti egymást, így

10.65. egyenlet - (86.11)

A i ; k k = 1 g ( g A i k ) x k 1 2 g k l x i A k l .

Descartes-koordinátákban a (∂Ai/∂xk)–(∂Ak/∂xi) különbség antiszimmetrikus tenzor. Görbevonatú koordinátákban ennek Ai;k–Ak;i felel meg. Felhasználva az Ai;k-ra kapott kifejezéseket és figyelembe véve a Γkli=Γlki egyenlőséget, azt találjuk, hogy

10.66. egyenlet - (86.12)

A i ; k A k ; i = A i x k A k x i .

Végül írjuk fel görbevonalú koordinátákban egy φ skalár második deriváltjainak (∂2φ/∂xi∂xi) összegét. Nyilvánvalóan ez az összeg görbevonalú koordinátákban φ;i;i alakú. De φ;i=∂φ∕∂xi, egy skalár kovariáns differenciálhányadosa tehát egyszerűen a szokásos derivált. Ha az i indexet felhúzzuk, azt kapjuk, hogy

φ;i=gikφxk,

és a (86.9) képlet segítségével adódik, hogy

10.67. egyenlet - (86.13)

φ ; i ; i = 1 g x i g g i k φ x k .

Érdemes még megjegyezni, hogy a (83.17) Gauss-tételt, amely azt mondja meg, hogyan kell átalakítani egy vektor hiperfelületre vett integrálját négyestérfogatra vonatkozó integrállá, (86.9) figyelembevételével a következő alakba írhatjuk:

10.68. egyenlet - (86.14)

A i g d S i = A ; i i g d Ω .



[112] Ezért a lokálisan geodetikus koordináta-rendszer használata esetén az adott pontban a metrikus tenzor komponenseinek összes első deriváltja nulla.