Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

87 §. Részecske mozgása gravitációs erőtérben

87 §. Részecske mozgása gravitációs erőtérben

Egy szabad részecske mozgását a speciális relativitáselméletben a legkisebb hatás elve határozza meg:

10.69. egyenlet - (87.1)

δ S = m c δ d s = 0 .

Eszerint a részecske úgy mozog, hogy világvonala két adott világpont között szélső értéket vesz fel, azaz a szóban forgó esetben egyenes. (A szokásos háromdimenziós térben ennek egyenes vonalú egyenletes mozgás felel meg.)

A részecske mozgását gravitációs térben a legkisebb hatás elvével, (87.1)-gyel azonos formában kell meghatároznunk, mivel a gravitációs tér hatása csupán a téridő metrikájának megváltoztatásában áll, és ez csak ds-nek dxi-kkel való kifejezését módosítja. Gravitációs térben tehát a részecske úgy mozog, hogy, a világpontja által leírt görbe extremális, vagy amint mondani szokták, az x0, x1, x2, x3 négyestérben geodetikus vonal legyen; mivel azonban gravitációs tér jelenlétében a téridő nem Galilei-féle, ezért ez a világvonal nem „egyenes”, a részecske mozgása a háromdimenziós térben pedig nem egyenes vonalú és nem egyenletes.

Ahelyett azonban, hogy újra közvetlenül a legkisebb hatás elvéből indulnánk ki (lásd e szakaszt követő feladatot), egyszerűbb a részecske gravitációs térbeli mozgásegyenletét a speciális relativitáselméletben a szabad mozgásra levezetett differenciálegyenletek megfelelő általánosításával származtatni. Ezek az egyenletek dui∕ds=0 vagy másképp dui=0 alakúak, ahol ui=dxi∕ds a négyessebesség. Görbevonalú koordinátákban ennek az egyenletnek általánosított alakja nyilvánvalóan

10.70. egyenlet - (87.2)

D u i = 0 .

(85.6) kifejezés szerint a vektor kovariáns differenciálja

dui+Γkliukdxl=0.

Ezt az egyenletet ds-sel osztva,

10.71. egyenlet - (87.3)

2 x i s 2 + Γ k l i d x k d s d x l d s = 0 .

Ez a keresett mozgásegyenlet. Látjuk, hogy. a részecske mozgását gravitációs térben a Γkli mennyiségek határozzák meg. A d2xi∕ds2 derivált a részecske négyesgyorsulása. Ezért a –mΓkliukul mennyiséget a részecskére gravitációs térben ható négyeserőnek nevezhetjük. A gik tenzor itt a gravitációs tér „potenciáljának” szerepét játssza, deriváltjai határozzák meg a Γkli „térerősségeket”.[113]

85. §-ban megmutattuk, hogy a koordináta-rendszer alkalmas megválasztásával bármely adott téridőpontban mindig zérussá tehető az összes Γkli. Most már azt is látjuk, hogy ilyen, lokális inerciarendszer választása a gravitáció kikapcsolását jelenti a tér adott infinitezimálisan kis részében; az pedig, hogy ilyen választás mindig lehetséges, a gravitáció relativisztikus elméletében érvényes ekvivalencia-elv kifejezése.[114]

A gravitációs térben a részecske négyesimpulzusát ugyanúgy definiáljuk, mint régebben:

10.72. egyenlet - (87.4)

p i = m c u i ,

ennek négyzete

10.73. egyenlet - (87.5)

p i p i = m 2 c 2 .

Ha itt –∂S∕∂xi-t írunk pi helyett, a gravitációs térben mozgó részecske Hamilton–Jacobi-egyenletét kapjuk:

10.74. egyenlet - (87.6)

g i k S x i S x k m 2 c 2 = 0 .

A fényjel terjedésének leírására a geodetikus vonal (87.3) alakban adott egyenletét nem alkalmazhatjuk, mert a fénysugár terjedésének világvonala mentén a ds intervallum zérussal egyenlő, és így a (87.3) egyenletben mindegyik tag végtelenné válik. Ha erre az esetre is meg akarjuk adni a megfelelő alakú mozgásegyenletet, abból kell kiindulnunk, hogy a geometriai optikában a fénysugár terjedésének irányát a hullámszámvektor határozza meg, amely párhuzamos a sugárérintő irányú egységvektorával. Ezért a négydimenziós hullámszámvektort ki=dxi∕dλ alakban írhatjuk, ahol λ a sugár mentén változó valamilyen paraméter. A speciális relativitáselméletben a fény vákuumbeli terjedésekor a hullámszámvektor nem változik a sugár mentén, tehát dki=0 (lásd az  53. §-t). Gravitációs térben ez az egyenlet Dki=0 alakú lesz, vagyis

10.75. egyenlet - (87.7)

d k i d λ + Γ k l i k k k l = 0 .

(Ugyanezek az egyenletek határozzák meg a λ paramétert is.)[115]

A hullámszám négyesvektorának négyzete zérus (lásd a  48. §-t), tehát

10.76. egyenlet - (87.8)

k i k i = 0 .

k i helyére ∂ψ∕∂xi-t helyettesítve, a gravitációs térben érvényes eikonál-egyenletet

10.77. egyenlet - (87.9)

g i k ψ x i ψ x k = 0

(ψ az eikonál).

Kis sebességeknek megfelelő határesetben a részecske relativisztikus gravitációs mozgás egyenlete átmegy a megfelelő nemrelativisztikus egyenletbe. Itt azt is figyelembe kell vennünk, hogy a sebességek kicsi voltának feltételezéséből egyúttal az is következik, hogy magának a gravitációs erőtérnek gyengének kell lennie; ellenkező esetben a benne mozgást végző részecske nagy sebességre tenne szert.

Vizsgáljuk meg ebben a határesetben a kapcsolatot a gik metrikus tenzor és a gravitációs tér φ potenciálja között.

A részecske gravitációs mozgását a nemrelativisztikus mechanikában a (81.1) Lagrange-függvény határozza meg. Írjuk ezt most

10.78. egyenlet - (87.10)

L = m c 2 + m v 2 2 m φ

alakba, hozzáadva egy –mc2 állandót. [116] Egy ilyen tagot azért kell L-hez hozzáadnunk, hogy az erőmentes szabad Lagrange-függvény alakja éppen L=–mc2+mv2∕2 legyen, amelybe a megfelelő relativisztikus L=–mc2√(1–v2∕c2) függvény a v∕c→0 határesetben átmegy.

A részecske nemrelativisztikus hatásfüggvénye gravitációs térben tehát

S=Ldt=mccv22c+φcdt

alakú. Ezt összehasonlítva az S=–mc∫ds kifejezéssel, látjuk, hogy az adott határesetben

ds=cv22c+φcdt.

Négyzetre emelve és a c→∞ határesetben zérushoz tartó tagokat elhagyva,

10.79. egyenlet - (87.11)

d s 2 = ( c 2 + 2 φ ) d t 2 d r 2 ,

ahol figyelembe vettük, hogy vdt=dr.

Az adott határesetben tehát a metrikus tenzor g00 komponense:

10.80. egyenlet - (87.12)

g 0 0 = 1 + 2 φ c 2 .

Ami a többi komponenst illeti, (87.11)-ből az következne, hogy gαβ=δαβ és g0α=0. Valójában azonban ezekhez a komponensekhez általában ugyanolyan nagyságrendű járulékok adódnak, mint a g00-ban szereplő korrekció (erről részletesebben lesz szó a  106. §-ban). Ezeket azért nem lehetett a fenti módszerrel meghatározni, mert a gαβ-ban egy, a g00-ban szereplő korrekcióval megegyező nagyságrendű járulék a Lagrange-függvényben magasabb rendben kis tagokat eredményezne (mivel a ds2 kifejezésében a gαβ komponensek, a g00 komponenssel ellentétben, nincsenek c2-tel megszorozva).

Feladat

Vezessük le a (87.3) egyenletet a (87.1) legkisebb hatás elvéből kiindulva!

Megoldás. d s 2 variációja a következő:

δ d s 2 = 2 d s δ d s = δ ( g i k d x i d x k ) = d x i d x k g i k x l + 2 g i k d x i d δ x k .

Ezért

δ S = m c 1 2 d x i d s d x k d s g i k x l δ x l + g i k d x i d s d δ x k d s d s = = m c 1 2 d x i d s d x k d s g i k x l δ x l d d s g i k d x i d s δ x k d s .

(A parciális integrálásnál figyelembe vettük, hogy a határokon δxk=0.) Az integrandus második tagjában cseréljük fel a k és l indexeket. Ekkor a tetszőleges variáció együtthatóit zérussá téve, azt kapjuk, hogy

1 2 u i u k g i k x l d d s ( g i l u i ) = 1 2 u i u k g i k x l g i l d u i d s u i u k g i l x k = 0 .

Figyelembe véve, hogy a harmadik tag

1 2 u i u k g i l x k + g k l x i

alakban írható, és bevezetve (86.2) szerint a Γkli Christoffel-szimbólumokat,

g i l d u i d s + Γ l , i k u i u k = 0

adódik. A (87.3) ebből az l index felhúzásával kapható meg.



[113] Felírjuk a mozgásegyenletnek a négyesgyorsulás kovariáns komponenseivel megadott alakját is. A Dui=0 feltételből azt kapjuk, hogy (dui/ds)–Γk,ilukul=0. Behelyettesítve ide Γk,il(86.2)-vel adott kifejezését, két tag kiejti egymást, végül a (dui/ds)–(1/2)(∂gkl/∂xi)ukul=0 (87,3a) egyenletet kapjuk.

[114] 85. §  15 számú lábjegyzetében említettük, hogy lehet olyan vonatkoztatási rendszert választani, amely egy „adott világvonal mentén inerciális”. Speciálisan, ha e vonalként az időkoordináta vonalát választjuk (amelynek mentén x1,x2,x3=const), akkor az adott térfogatelemben a teljes idő folyamán kioltjuk a gravitációs erőteret.

[115] Azokat a geodetikus vonalakat, amelyekre ds≡0, nullavonalaknak vagy fényvonalaknak nevezzük.

[116] A φ potenciál természetesen csak egy tetszőleges additív állandó erejéig határozott. Ennek értékét illetően hallgatólagosan mindenütt azzal a természetes választással élünk, amely szerint a testek által létrehozott erőtér a testektől nagy távolságban nullához tart.