Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

88 §. Állandó gravitációs erőtér

88 §. Állandó gravitációs erőtér

Állandónak mondjuk a gravitációs teret, ha van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a metrikus tenzor összes komponense független az x0 időkoordinátától; ekkor x0-t világidőnek nevezzük.

A világidő választása nem egészen egyértelmű. Ha ugyanis x0-hoz hozzáadjuk a térkoordináták valamilyen függvényét, az összes gik továbbra is független lesz x0-tól; ez a transzformáció annak felel meg, hogy az időmérés kezdőpontját a tér minden pontjában önkényesen választhatjuk meg.[117] Természetesen szabad a világidőt egy állandóval megszorozni, azaz a világidő mértékegysége tetszőleges.

Szigorúan véve csak egyetlen test által létrehozott erőtér lehet állandó. Több test rendszerében a kölcsönös gravitációs vonzás mozgást eredményez, ennek következtében a testek által keltett erőtér is változik.

Ha az erőteret létrehozó test mozdulatlan (abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben gik független x0-tól), akkor a két időirány egyenértékű. Az időmérés kezdőpontját a tér minden pontjában megfelelően választva, a ds intervallum ebben az esetben független lesz x0 előjelétől, ezért a metrikus tenzor összes g0α komponense azonosan zérus. Az ilyen állandó gravitációs teret sztatikus gravitációs térnek nevezzük.

Az erőtér állandóságának az őt létrehozó test mozdulatlansága nem szükséges feltétele. Állandó például egy saját tengelye körül egyenletesen forgó tengelyszimmetrikus test által keltett erőtér is. Ebben az esetben azonban a két időirány már egyáltalán nem egyenértékű – az idő előjelének megváltoztatásával megváltozik a forgás szögsebességének előjele is. Ezért ilyen gravitációs térben (amelyeket állandó vagy stacionárius gravitációs térnek nevezünk) a metrikus tenzor g0α, komponensei általában nem tűnnek el.

Állandó gravitációs térben a világidőnek az ad értelmet, hogy a tér egy pontjában végbemenő két esemény között eltelt időtartam megegyezik a tér bármely másik pontjában végbemenő, az előbbi eseménypárral (a  84. §-ban tisztázott értelemben) egyidejű bármely másik két esemény között eltelt időtartammal. Ugyanakkor az x0 világidő különböző térpontokban mért azonos időtartamainak a τ sajátidő különböző időtartamai felelnek meg. Az x0 és τ közötti (84.1) összefüggést a jelen esetben

10.81. egyenlet - (88.1)

τ = 1 c g 0 0 x 0

alakba írhatjuk bármely véges időtartam esetén is.

Gyenge gravitációs térben a (87.12) közelítő képletet használhatjuk; ebben az esetben (88.1) ugyanilyen pontossággal a

10.82. egyenlet - (88.2)

τ = x 0 c 1 + φ c 2

összefüggésbe megy át. A sajátidő tehát annál lassabban telik, minél kisebb a tér szóban forgó pontjában a gravitációs potenciál, azaz minél nagyobb a gravitációs potenciál abszolút értéke. (A  99. §-ban megmutatjuk, hogy φ mindig negatív.) Ha két azonosan járó óra közül az egyiket bizonyos időre gravitációs térbe helyezzük, az a továbbiakban késni fog a másikhoz képest.

Már említettük, hogy sztatikus gravitációs térben a metrikus tenzor g0α komponensei nullával egyenlők. A  84. § eredményei szerint ez azt jelenti, hogy ilyenkor az órákat az egész térben szinkronizálhatjuk.

Azt is megemlítjük, hogy a térbeli távolságelemet sztatikus térben egyszerűen az alábbi összefüggés adja meg:

10.83. egyenlet - (88.3)

d l 2 = g α β d x α d x β .

Stacionárius térben g0α nem zérus, így az órák nem szinkronizálhatók a teljes térben. Minthogy a gik-k függetlenek x0-tól, a tér különböző pontjaiban végbemenő két egyidejű esemény közt eltelt (84.14) világidőtartamot az alábbi alakba írhatjuk:

10.84. egyenlet - (88.4)

Δ x 0 = g 0 α d x α g 0 0 .

E képlet alkalmazható bármely két pontra, amely rajta van az órák szinkronizálásának vonalán. Zárt kontúr mentén szinkronizálva az órákat, a kiindulási pontba való visszatérés esetén észlelt világidő-különbség

10.85. egyenlet - (88.5)

Δ x 0 = g 0 α d x α g 0 0 ,

ahol a szóban forgó zárt kontúr mentén kell integrálnunk.[118]

Vizsgáljuk meg fénysugár terjedését állandó gravitációs térben. Az  53. §-ban azt láttuk, hogy a fény frekvenciája a ψ eikonál időderiváltja (negatív előjellel). Az x0∕c világidőben mért frekvencia ezért ω0=–c∂ψ∕∂x0. Mivel a (87.9) eikonál-egyenlet állandó gravitációs térben x0-t expliciten nem tartalmazza, az ω0 frekvencia a fénysugár terjedése közben állandó marad. A sajátidőben mért ω=–∂ψ∕∂τ frekvencia ugyanakkor a tér különböző pontjaiban különböző.

A

ψ τ = ψ x 0 x 0 τ = ψ x 0 c g 0 0

összefüggés miatt

10.86. egyenlet - (88.6)

ω = ω 0 g 0 0 .

Ebből gyenge gravitációs tér esetén közelítőleg az

10.87. egyenlet - (88.7)

ω = ω 0 1 φ c 2

összefüggést kapjuk. Látjuk, hogy a fény frekvenciája a gravitációs potenciál abszolút értékének növekedésével, tehát az erőteret létrehozó testekhez közeledve, növekszik; és megfordítva, az erőteret létrehozó testektől távolodó fénysugár frekvenciája csökken. Ha a fénysugár kibocsátásának helyén a gravitációs potenciál értéke φ1, és ugyanitt a fénysugár frekvenciája ω, akkor egy olyan pontba érve, ahol a gravitációs potenciál φ2, a frekvencia (ennek a pontnak a sajátidejében mérve)

ω1φ1c21φ2c2=ω1+φ1φ2c2.

A Napon levő atomok által kibocsátott vonalas színkép a Napon ugyanúgy néz ki, mint az ugyanolyan földi atomok által kibocsátott színkép a Földön megfigyelve. Ha azonban a Napon levő atomok által kibocsátott spektrumot a Földön figyeljük meg, akkor a fentiekből az következik, hogy színképvonalai eltolódnak a Földön kibocsátott fény ugyanazon színképvonalaihoz képest. Egy ω frekvenciájú vonal eltolódása

10.88. egyenlet - (88.8)

Δ ω = φ 1 φ 2 c 2 ω ,

ahol φ1 és φ2 a gravitációs potenciál értékei a kibocsátás, illetve a spektrum megfigyelésének helyén. Ha a Napon vagy a csillagokban kibocsátott spektrumot a Földön figyeljük meg, akkor |φ1|>|φ2|, és (88.8)-ból az következik, hogy Δω<0, tehát az eltolódás a kisebb frekvenciák felé történik. A most leírt jelenséget gravitációs vöröseltolódásnak nevezzük.

E jelenség eredetét a világidővel kapcsolatban mondottakból kiindulva, közvetlenül is megvilágíthatjuk. Az erőtér állandósága miatt az a világidőtartam, amely ahhoz kell, hogy a fényhullám egy bizonyos rezgése a tér egy adott pontjából a tér egy másik pontjába érjen, független x0-tól. Ezért az egységnyi világidő alatt végbement rezgések száma a sugár mentén minden pontban ugyanaz. De egy és ugyanaz a világidőtartam annál nagyobb sajátidőtartamnak felel meg, minél távolabb vagyunk az erőteret létrehozó testektől. Következésképpen a testektől távolodó fénysugár egységnyi sajátidő alatt végbement rezgéseinek száma csökken.

Állandó gravitációs erőtérben a mozgó részecske energiája, amit a hatásnak a világidő szerinti –c∂S∕∂x0 deriváltjaként definiáltunk, megmarad. Ez például abból következik, hogy a Hamilton–Jacobi-egyenletben x0 expeliciten nem szerepel. Az így definiált energia a pk=mcuk=mcgkiui kovariáns négyesimpulzus időszerű komponense. Sztatikus térben ds2=g00(dx0)2–dl2, így az ℰ0 energiára azt kapjuk, hogy

0 = m c 2 g 0 0 d x 0 d s = m c 2 g 0 0 d x 0 g 0 0 ( d x 0 ) 2 d l 2 .

Vezessük be a részecske sajátidőben, tehát az adott helyen levő megfigyelő által mért sebességét:

v = d l d τ = c d l g 0 0 d x 0 .

Ekkor az energia

10.89. egyenlet - (88.9)

0 = m c 2 g 0 0 1 v 2 c 2 .

Ez a mennyiség marad állandó a részecske mozgása során.

Könnyű megmutatni, hogy a (88.9) kifejezés stacionárius terekben is érvényes, ha a v sebességet a részecske pályája mentén szinkronizált órák által meghatározott sajátidőben mérjük. Ha a részecske az x0 világidő-pillanatban indul az A pontból, és az x0+dx0 pillanatban érkezik az infinitezimálisan közeli B pontba, akkor a sebesség definíciójában most nem az (x0+dx0)–x0=dx0 időtartamot kell vennünk, hanem az x0+dx0 és az x0–(g0α/g00)dxα időadat különbségét, ahol az utóbbi a B pontban egyidejű az A pontbeli x0 időpillanattal:

( x 0 + d x 0 ) x 0 g 0 α g 0 0 d x α = d x 0 + g 0 α g 0 0 d x α .

Ezt még √(g00)∕c-vel megszorozva, a megfelelő sajátidőtartamot kapjuk, ezért a sebesség:

10.90. egyenlet - (88.10)

v α = c d x α h ( d x 0 g α d x α ) ,

ahol a (84. §-ban már említett) g háromdimenziós vektorra és a g00 háromdimenziós skalárra a

10.91. egyenlet - (88.11)

g α = g 0 α g 0 0 , h = g 0 0

jelölést vezettük be. A γαβ-val adott metrikájú háromdimenziós térben a v hármassebesség kovariáns komponenseit és e hármasvektor négyzetét a következőképpen adhatjuk meg:[119]

10.92. egyenlet - (88.12)

v α = γ α β v β , v 2 = v α v α .

Megjegyezzük, hogy a ds ívelemet a sebességgel a fenti definíciók szerint kifejezve, a szokásoshoz hasonló képlethez jutunk:

ds2=g00(dx0)2+2g0αdx0dxα+gαβdxαdxβ==h(dx0gαdxα)2dl2=h(dx0gαdxα)21v2c2.(88.13)

Az ui=dxi∕ds négyessebesség komponensei:

10.93. egyenlet - (88.14)

uα=vαc1v2c2,u0=1h1v2c2+gαvαc1v2c2.


Ekkor az energia:

0=mc2g0iui=mc2h(u0gαuα),

ami (88.14) behelyettesítéSe után (88.9) alakú lesz.

Gyenge gravitációs erőtér és kis sebességek határesetében (88.9)-be g00=1+(2φ/c2)-t helyettesítve, közelítőleg érvényes lesz az

10.94. egyenlet - (88.15)

0 = m c 2 + m v 2 2 + m φ

képlet, ahol mφ, a részecske potenciális energiája a gravitációs térben, egyezésben a (87.10) Lagrange-függvénnyel.

Feladatok

1. Határozzuk meg az állandó gravitációs térben levő részecskére ható erőt.

Megoldás. Γ k l i számunkra szükséges komponenseire az alábbi összefüggéseket kapjuk:

Γ00α=12h;α,Γ0βα=h2(g;βαgβ;α)12gβh;α,(1)Γβγα=λβγα+h2[gβ(gγ;αg;βα)+gγ(gβ;αg;βα)]+12gβgγh;α.

Ezekben a kifejezésekben a g háromdimenziós vektoron és a h háromdimenziós skaláron az összes tenzorműveletet (kovariáns differenciálások, indexek le- és felhúzása) a γαβ által meghatározott metrikájú háromdimenziós térben kell végrehajtani; λβγα a háromdimenziós Christoffel-szimbólum, amit a γαβ tenzor komponenseiből ugyanúgy kell megalkotni, ahogy a Γkli-t gik komponenseiből; a számításokban a (84.9)(84.12) képleteket használtuk.

(1)-et a mozgásegyenletbe helyettesítve:

d u α d s = Γ 0 0 α ( u 0 ) 2 2 Γ 0 β α u 0 u β Γ β γ α u β u γ

A négyessebesség komponenseire a (88.14) képleteket használva, egyszerű átalakítások után azt kapjuk, hogy

10.95. egyenlet - (2)

d d s v α c 1 v 2 c 2 = h ; α 2 h 1 v 2 c 2 h ( g ; β α g β ; α ) v β c 1 v 2 c 2 λ β γ α v β v γ c 2 1 v 2 c 2 .

A részecskére ható f erő a p impulzusnak a részecske (szinkronizált) sajátideje szerint képzett deriváltja, amelyet háromdimenziós kovariáns differenciálás segítségével határozhatunk meg:

f α = c 1 v 2 c 2 D p α d s = c 1 v 2 c 2 d d s m v α 1 v 2 c 2 + λ β γ α m v β v γ 1 v 2 c 2 .

(2)-ből ezért azt kapjuk (a kényelem kedvéért lehúzva az α indexet), hogy

f α = m c 2 1 v 2 c 2 x α ln h + h g β x α g α x β v β c ,

vagy a közönséges háromdimenziós vektorjelölést használva:[120]

10.96. egyenlet - (3)

f = m c 2 1 v 2 c 2 grad ln h + h v c × rot g .

Megjegyezzük, hogy ha a test mozdulatlan, akkor a rá ható erő potenciálból származtatható [az első tag (3)-ban]. Kis sebességeknél (3) második tagja mc√hv×rotg alakú, ami emlékeztet az

ω = c 2 h rot g .

szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben (erőtérmentes esetben) fellépő Coriolis-erőre.

2. Vezessük le az állandó gravitációs térben terjedő fénysugárra vonatkozó Fermat-elvet.

Megoldás. A Fermat-elv szerint (lásd az  53. §-t)

δ k α d x α = 0 ,

ahol a fénysugár mentén kell integrálni, az integrandust pedig ki kell fejezni a sugár mentén állandó ω0 frekvenciával és a koordináták differenciáljaival. Észrevéve, hogy k0=–∂φ∕∂x0=ω0∕c, írhatjuk, hogy

ω 0 c = k 0 = g 0 i k i = g 0 0 k 0 + g 0 α k α = h ( k 0 g α k α ) .

Ezt a kiki=gikkikk összefüggésbe tesszük, amit a h(k0–gαkα)2–γαβkαkβ=0 alakban írunk. Így az adódik, hogy

1 h ω 0 c 2 γ α β k α k β = 0 .

Figyelembe véve még, hogy a kα vektor dxα-val azonos irányú, írhatjuk, hogy

k α = ω 0 c h d x α d l ,

ahol dl(84.6) a sugár mentén vett térbeli távolságelem. kα végleges alakjának meghatározásához felhasználjuk még, hogy

k α = g α i k i = g α 0 k 0 + g α β k β = g α ω 0 c γ α β k β ,

amiből

k α = γ α β k β + ω 0 c g β = ω 0 c γ α β h d x β d l + g α .

Végül dxα-val szorozva, a Fermat-elvet (az állandó szorzó elhagyásával)

δ d l h + g α d x α = 0

alakban kapjuk meg.

Sztatikus térben egyszerűen:

δ d l h = 0 .

felhívjuk a figyelmet arra, hogy gravitációs térben a fénysugár nem a legrövidebb úton terjed a koordinátatérben, ezt ugyanis a δ∫dl=0 egyenlet határozná meg.



[117] Könnyű belátni, hogy egy ilyen transzformáció esetén a háromdimenziós tér metrikája állandó marad. Valóban az x0→x0+f(x1,x2,x3)helyettesítéskor [ f(x1,x2,x3) egy tetszőleges függvény] gik komponenseit az alábbiakkal kell helyettesítenünk: gαβ→gαβ+g00f,αf,β+g0αf,β+g0βf,α,g0α→g0α+g00f,α, g00→g00, ahol f,α=∂f∕∂xα. Ilyen helyettesítés esetén a (84.7) háromdimenziós tenzor változatlan marad.

[118] (88.5) integrál azonosan zérus, ha a gα0dxα∕g00 összeg a térkoordináták valamilyen függvényének teljes differenciáljával egyenlő. De ez egyúttal azt is jelentené, hogy sztatikus térrel van dolgunk, mert ebben az esetben egy x0→x0+f(xα) alakú transzformációval az összes gα0 zérussá tehető.

[119] A továbbiakban a négyesvektorok és négyestenzorok mellett többször használunk olyan hármasvektorokat és hármastenzorokat is, amelyeket a γαβ-val adott metrikájú háromdimenziós térben definiálunk; ilyenek például a már bevezetett g és v vektorok. A négyestenzorok esetén a tenzoroperációkat (így az indexek fel- és lehúzását) a gik metrikus tenzor segítségével végezzük, a hármastenzorok esetén viszont ugyanezt a γαβ-val hajtjuk végre. Hogy elkerüljük az ebből adódható félreértéseket, a háromdimenziós mennyiségek esetén a négydimenziós mennyiségek jelölésére használtaktól eltérő jeleket alkalmazunk.

[120] Háromdimenziós görbevonalú koordinátákban az antiszimmetrikus egységtenzort az alábbiak szerint definiáljuk: ηαβγ=√γeαβγ, ηαβγ=(1/√γ)eαβγ, ahol e123=e123=1, az indexek felcserélésekor pedig eαβγ előjelet vált [lásd a (83.13) és (83.14) összefüggéseket]. Ennek megfelelően a cβγ=aβbγ–aγbβ antiszimmetrikus tenzorhoz duális vektorként rendelt c=a×b vektor komponensei: cα=(1/2)√γeαβγcβγ=√γeαβγaβbγ, cα(1/2√γ)eαβγcβγ=(1/√γ)eαβγaβbγ. Megfordítva: cαβ=√γeαβγcγ, cαβ=(1/√γ)eαβγcγ.

Speciálisan rota ugyanilyen értelemben az aβ;α–aα;β=(∂aβ/∂xα)–(∂aα/∂xβ) tenzorhoz duális vektor, e vektor kontravariáns komponensei: (rota)α=(1/2√γ)eαβγ((∂aγ/∂xβ)–(∂aβ/∂xγ)). Emlékeztetünk továbbá arra, hogy egy vektor háromdimenziós divergenciája: diva=(1/√γ)(∂/∂xα)(√γaα) [lásd (86.9)-et].

Hangsúlyozzuk, hogy a vektorműveletekre vonatkozóan ortogonális görbevonalú koordinátarendszerekben felírt képletek (lásd például a „Folytonos közeg elektrodinamikája” című VIII. kötet Függelékét) közvetlenül nem hasonlíthatók össze a fentiekkel, hiszen most egy vektor komponensein a √(g11)A1(=√(A1A1)), √(g22)A2, √(g33)A3 mennyiségeket értjük.