Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

89 §. Forgás

89 §. Forgás

Az egyenletesen forgó vonatkoztatási rendszerre való áttéréskor keletkező „erőtér” a stacionárius gravitációs erőterek egy speciális esete.

A ds ívelem meghatározása céljából hajtsunk végre nyugvó (inerciális) rendszerből egy egyenletesen forgó rendszerbe átvivő transzformációt. Nyugvó rendszerben r′, φ′, z′, t koordinátákkal (térbeli hengerkoordinátákat használunk) felírt ívelemnégyzet alakja:

10.97. egyenlet - (89.1)

d s 2 = c 2 d t 2 d r 2 r 2 d φ 2 d z 2 .

Forgó rendszerben legyenek a hengerkoordináták r, φ, z. Ha a forgástengely a z és z′ tengelyekkel esik egybe, akkor r′=r, z′=z, φ′=φ+ωt, ahol ω a forgás szögsebessége. Ezt (89.1)-be helyettesítve, megkapjuk az ívelemnégyzet keresett alakját forgó vonatkoztatási rendszerben:

10.98. egyenlet - (89.2)

d s 2 = ( c 2 ω 2 r 2 ) d t 2 2 ω r 2 d φ d t d z 2 r 2 d φ 2 d r 2 .

Meg kell jegyeznünk, hogy forgó vonatkoztatási rendszer csak c∕ω-nál kisebb távolságok esetén használható. Valóban, (89.2) szerint r>c∕ω esetén g00 negatívvá válik, ami nem megengedett. A forgó vonatkoztatási rendszerek nagy távolságokban való alkalmazhatatlansága azzal kapcsolatos, hogy a forgás sebessége a fénysebességnél nagyobbá válna, ezért egy ilyen rendszert lehetetlen valóságos testekkel létrehozni.

Mint stacionárius terekben általában, forgó testen sem lehet az órákat egyértelműen szinkronizálni a test minden pontján. Egy zárt görbe mentén végezve el a szinkronizálást, azt kapjuk, hogy a kiindulási pontba visszatérve, az idő kiindulási értékétől [lásd (88.5)-öt]

Δ t = 1 c g 0 α g 0 0 d x α = 1 c 2 ω r 2 d φ 1 ω 2 r 2 c 2 ,

mennyiséggel különbözik; feltételezve, hogy ωr∕c≪1 (azaz a forgatás sebessége kicsi a fénysebességhez képest),

10.99. egyenlet - (89.3)

Δ t = ω c 2 r 2 d φ = ± 2 ω c 2 S ,

ahol S a kontúr területének a forgástengelyt merőlegesen metsző síkra vett vetülete. (Az előjel + vagy – aszerint, hogy a kontúrt a forgással egyező vagy ellentétes irányban jártuk be.)

Tételezzük fel, hogy a fénysugár valamely zárt görbe mentén terjed. Számítsuk ki a v∕c rendű tagokig bezárólag a fénysugárnak a kiindulási pontba való visszatéréséig eltelt t időt. A fény sebessége a definíció szerint c, ha az időt zárt görbe mentén szinkronizáljuk, és minden pontban a sajátidőt használjuk. Minthogy a sajátidő és a világidő eltérése v2∕c2 nagyságrendű, a v∕c rendű tagokig vett pontosság esetén, a keresett t időintervallum kiszámításakor ezt a különbséget elhanyagolhatjuk. Ezért azt kapjuk, hogy

t = L c ± 2 ω c 2 S ,

ahol L a görbe hossza. Ha tehát a fénysebességet az L∕t hányadossal mérjük, az adódik, hogy értéke

10.100. egyenlet - (89.4)

c ± 2 ω S L .

Ezt az összefüggést tisztán klasszikus úton is levezethetjük, akárcsak a Doppler-eltolódás első közelítésben kapott képletét.

Feladat

Határozzuk meg a térbeli távolságelemet forgó koordináta-rendszerben.

Megoldás.(84.6) és (84.7) összefüggések segítségével azonnal írhatjuk, hogy

d l 2 = d r 2 + d z 2 + r 2 d φ 2 1 ω 2 r 2 c 2 ,

ami meghatározza a tér geometriáját forgó vonatkoztatási rendszerben. Megjegyezzük, hogy a z=const síkban fekvő kör kerületének és sugarának aránya (ha a kör középpontja a forgástengelyen van):

2 π 1 ω 2 r 2 c 2 > 2 π .