Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

11. fejezet - A GRAVITÁCIÓS ERőTÉR EGYENLETEI

11. fejezet - A GRAVITÁCIÓS ERőTÉR EGYENLETEI

91 §. A görbületi tenzor

Térjünk vissza ismét egy vektor párhuzamos eltolásának fogalmához. Amint a  85. §-ban megmutattuk, tetszőlegesen görbült négydimenziós térben egy vektor önmagával párhuzamos, infinitezimálisan kicsiny eltolását úgy definiálhatjuk, mint egy olyan eltolást, amelynél a vektor komponensei változatlanok maradnak abban a koordináta-rendszerben, amely az adott infinitezimálisan kis térfogatban Galilei-féle koordináta-rendszer.

Ha egy görbe paraméteres egyenlete xi=xi(s)(s valamilyen ponttól számított ívhossz), akkor az ui=dxi∕ds vektor a görbe érintő egységvektora. Ha a vizsgált görbe geodetikus, akkor e vonal mentén Dui=0. Ez azt jelenti, hogy ha az ui vektort párhuzamosan eltoljuk egy geodetikus vonalon levő xi pontból egy ugyanazon vonalon levő xi+dxi pontba, akkor az eltolt vektor az ui+dui vektorral egyezik meg, mely a szóban forgó pályának xi+dxi pontjában vett érintője. Tehát egy geodetikus vonal mentén végezve eltolást, az érintő önmagával párhuzamosan mozdul el.

Másrészt két vektor párhuzamos eltolásakor az általuk bezárt „szög” nyilvánvalóan változatlan marad. Ezért azt mondhatjuk, hogy egy tetszőleges vektornak geodetikus vonal mentén való párhuzamos eltolásakor az adott vektor és a vonal érintővektora által alkotott szög is változatlan marad. Más szóval, egy vektor párhuzamos eltolása során annak a geodetikus vonalakra vett vetületei az út minden pontjában ugyanazok.

Rendkívül lényeges, hogy görbült térben egy vektor adott pontból egy másik adott pontba való eltolásának eredménye függ attól, hogy milyen út mentén végeztük az áthelyezést. Ebből például az is következik, hogy egy zárt görbe mentén önmagával párhuzamosan eltolt vektor a kiindulási pontba visszaérkezve, nem egyezik meg önmagával.

A jobb megértés céljából tekintsünk egy kétdimenziós görbült teret, azaz valamilyen görbült felületet. A  19. ábrán három geodetikus vonal által határolt felületdarabot ábrázoltunk. Toljuk el az 1 vektort önmagával párhuzamosan a geodetikus vonalak által alkotott kontúr mentén. Az 1 vektornak az AB mentén való eltolásakor e vonallal bezárt szöge állandó, így átmegy a 2 vektorba. A BC mentén való eltoláskor hasonlóképpen a 3 vektorba megy át. Végül, C-ből a CA görbe menti elmozgatással, miközben a CA görbével bezárt szöge megmarad, a vizsgált vektor egy olyan 1′ vektorba jut, amely nem egyezik meg az 1 vektorral.

19. ábra - 19. ábra

19. ábra

Vezessük le egy vektor infinitezimálisan kis zárt görbe mentén végzett párhuzamos eltolásakor bekövetkező megváltozásának általános kifejezését. Ez a ΔAk megváltozás ∮δAk alakban írható, ahol az adott görbe mentén kell integrálnunk. δAk-t (85.5)-ből véve, azt kapjuk, hogy

11.1. egyenlet - (91.1)

Δ A k = Γ k l i A i d x l

az integrál alatt álló Ai vektor a görbe mentén való eltolásának megfelelően változik.

Ennek az integrálnak további átalakítása előtt a következő megjegyzést tesszük: az Ai vektornak a görbén belül felvett értékei nem egyértelműek, mert Ai értéke függ attól az úttól, amelynek mentén az adott pontba eljutunk. A levezetendő eredményekből látni fogjuk, hogy ez a határozatlanság másodrendűen kicsiny. Ezért a transzformáció szempontjából elegendő pontossággal az elsőrendű mennyiségekig úgy tekinthetjük, hogy az Ai vektort egy infinitezimálisan kis zárt kontúr belsejében egyértelműen meghatározzák a vektor komponenseinek a kontúron felvett értékei, mégpedig a δAi=ΓilnAndxl képlet, azaz a

11.2. egyenlet - (91.2)

A i x l = Γ i l n A n

derivált segítségével.

(91.1) integrálra a (6.19) Stokes-tételt alkalmazva, és figyelembe véve, hogy a vizsgált görbe által körülzárt Δflm terület infinitezimálisan kicsiny, azt kapjuk, hogy

Δ A k = 1 2 ( Γ k m i A i ) x l ( Γ k m i A i ) x m Δ f l m = = 1 2 Γ k m i x l A i Γ k l i x m A i + Γ k m i A i x l Γ k l i A i x m Δ f l m .

Behelyettesítve ide (91.2)-ből a deriváltak értékeit, végül az adódik, hogy

11.3. egyenlet - (91.3)

Δ A k = 1 2 R k l m i A i Δ f l m ,

ahol Rklmi, egy negyedrendű tenzor:

11.4. egyenlet - (91.4)

R k l m i = Γ k m i x l Γ k l i x m + Γ n l i Γ k m n Γ n m i Γ k l n .

R k l m i tenzorjellege abból látható, hogy (91.3) bal oldalán egy vektor áll, nevezetesen ugyanazon pontban vett vektorok ΔAk különbsége. Az Rklmi tenzort görbületi tenzornak vagy Riemann-tenzornak nevezzük.

Könnyű levezetni a kontravariáns vektorra vonatkozó analóg képletet. E célból vegyük figyelembe, hogy párhuzamos eltolódás esetén a skalárok nem változnak, Δ(AkBk)=0, ahol Bk tetszőleges kovariáns vektor. (91.3) segítségével ebből

Δ ( A k B k ) = A k Δ B k + B k Δ A k = 1 2 A k B i R k l m i Δ f l m + B k Δ A k = = B k Δ A k + 1 2 A i R i l m k Δ f l m = 0

adódik. Figyelembe véve, hogy a Bk vektor teljesen tetszőleges, azt kapjuk, hogy

11.5. egyenlet - (91.5)

Δ A k = 1 2 R i l m k A i Δ f l m .

Ha az Ai vektort az xk és xl szerint kétszer kovariáns vektorként deriváljuk, akkor a közönséges deriváltakra érvényes szabállyal ellentétben a végeredmény általában függ a deriválás sorrendjétől. Arra a következtetésre jutunk, hogy az Ai;k;l–Ai;l;k különbséget éppen a fenn bevezetett görbületi tenzor határozza meg:

11.6. egyenlet - (91.6)

A i ; k ; l A i ; l ; k = A m R i k l m ,

amit lokálisan geodetikus koordináta-rendszerben végzett közvetlen számítással egyszerűen ellenőrizhetünk. Hasonlóan a kontravariáns vektorra:[122]

11.7. egyenlet - (91.7)

A i ; k ; l A i ; l ; k = A m R m k l i .

Végül könnyű ugyanilyen képleteket levezetni a tenzorok második deriváltjaira is. [Ezt legegyszerűbb úgy csinálni, hogy például az AiBk tenzort vizsgáljuk (91.6) és (91.7) felhasználásával; az így kapott összefüggések lineárisak, így bármilyen Aik tenzorra érvényesek lesznek.]

11.8. egyenlet - (91.8)

A i k ; l ; m A i k ; m ; l = A i n R k l m n + A n k R i l m n .

Euklideszi térben a görbületi tenzor zérus, mert ebben az esetben mindig választhatunk olyan koordinátákat, amelyekben az összes Γkli mindenhol zérus, ezért Rklmi=0. Rklmi tenzorjellege miatt azonban ekkor ezek a mennyiségek bármilyen más koordináta-rendszerben is eltűnnek. Ez annak felel meg, hogy euklideszi térben egy vektornak adott pontból egy másikba való párhuzamos eltolása egyértelmű művelet, zárt görbén körbejárva a vektor nem változik meg.

A tétel megfordítása is érvényes: ha Rklmi=0, akkor a négyestér nem görbült. Valóban, minden téridőben lehet találni olyan koordináta-rendszert, amely egy infinitezimálisan kis tartományban Galilei-féle. Rklmi=0 esetén a párhuzamos eltolás egyértelmű művelet, ily módon a Galilei-féle rendszert a kiszemelt kis tartományból a téridő többi részére eltolva egy, az egész négyestérben Galilei-féle koordináta-rendszert tudunk megszerkeszteni, amivel az állítást bebizonyítottuk.

A görbületi tenzor zérus vagy attól különböző volta tehát egy olyan feltétel, amelynek segítségével egyértelműen eldönthetjük, hogy a négyestér görbületlen vagy görbült.

Megjegyezzük, hogy bár görbült térben is lehet (egy adott pontban) lokálisan geodetikus koordináta-rendszert választani, ebben az esetben azonban a görbületi tenzor nem tűnik el az adott pontban (mert bár maguk Γkli-ek zérussal egyenlők, deriváltjaik nem).

Feladat

Határozzuk meg két infinitezimálisan közeli geodetikus világvonal mentén mozgó részecske relatív gyorsulását.

Megoldás. Vizsgáljuk meg valamilyen v paraméter értékeivel megkülönböztetett geodetikus vonalak összességét; másképpen fogalmazva, adjuk meg a világpont koordinátáit xi=xi(s,v) függvények segítségével, melyek minden egyes v=const érték esetén egy geodetikus vonal egyenleteit adják (s e vonal mentén vett ívhossz, amelyet a vonalak valamely adott hiperfelülettel való metszéspontjától számítunk). Vezessük be az

η i = x i v δ v v i δ v

négyesvektort, amely (a v és v+δv paraméterértékeknek megfelelő) infinitezimálisan közeli geodetikus vonalak azonos s értékekhez tartozó pontjait köti össze.

A kovariáns derivált definíciójából és a ∂ui∕∂v=∂vi∕∂s egyenlőségből (ahol ui=∂xi∕∂s) az következik, hogy

11.9. egyenlet - (1)

u i ; k v k = v i ; k u k .

Tekintsük a

D 2 v i d s 2 ( v i ; k u k ) ; l u l = ( u i ; k v k ) ; l u l = u i ; k ; l v k u l + u i ; k v k ; l u l

második deriváltat. A második tagban ismét (1)-et használjuk, az első tagban pedig (91.7) segítségével felcseréljük a kovariáns differenciálások sorrendjét. Ezek után azt kapjuk, hogy

D 2 v i d s 2 = ( u i ; l u l ) ; k v k + u m R m k l i u k v l .

Mivel geodetikus vonalak mentén u;liul=0, az első tag zérussal egyenlő. Az állandó δv együtthatóval való beszorzás után végül azt kapjuk, hogy

D 2 η i d s 2 = R k l m i k u k u l η m .

(Ezt az egyenletet a geodetikus elhajlás egyenletének nevezik.)



[122] (91.7) képlet (91.6)-ból közvetlenül is megkapható az i index felhúzásával és az Riklm tenzor szimmetriatulajdonságainak felhasználásával (92. §).