Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

93 §. A gravitációs erőtér hatásintegrálja

93 §. A gravitációs erőtér hatásintegrálja

A gravitációs erőteret meghatározó egyenletek felírásához definiálnunk kell az erőtér Sg hatásintegrálját. A keresett egyenleteket ezután az erőtér és az anyagi részecskék hatásintegráljai összegének variálásával kaphatjuk meg.

Az Sg hatás, ugyanúgy mint az elektromágneses tér esetében is, mindig felírható bizonyos ∫G√(–g) dΩ skaláris integrál alakjában, ahol az integrálást a térkoordinátákban az egész térre, az x0 időkoordinátában pedig két előre megadott érték között kell venni.

Abból indulunk ki, hogy a gravitációs egyenletek (akárcsak az elektrodinamikában) a „térpotenciáloknak” legfeljebb második deriváltjait tartalmazzák. Minthogy a téregyenleteket a hatás variálásával kapjuk meg, ez a feltétel csak akkor teljesíthető, ha az integrál alatt szereplő G mennyiség gik-nak legfeljebb elsőrendű deriváltjait tartalmazza; G-t tehát a gik tenzorból és Γkli mennyiségekből kell felépíteni.

Csupán a gik és Γkli mennyiségekből azonban nem tudunk skalárt képezni. Ez már abból is látható, hogy a koordináta-rendszer alkalmas választásával egy adott pontban az összes Γkli mennyiség zérussá tehető. Létezik azonban egy skalár, a négyestér R invariáns görbülete, amely bár gik-n és gik elsőrendű deriváltjain kívül tartalmazza gik másodrendű deriváltjait is, de az utóbbiakat csak lineárisan. Emiatt az ∫R√(–g) dΩ invariáns integrál a Gauss-tétel segítségével olyan kifejezés integráljává alakítható, amely már nem tartalmaz második deriváltakat. Az invariáns integrált két tag összegeként írhatjuk fel:

R g d Ω = G g d Ω + g w i x i d Ω ,

ahol G csak a gik tenzort és annak elsőrendű deriváltjait tartalmazza, a második integrál alatt álló kifejezés pedig valamely wi mennyiség divergenciája. (A részletes számítást e szakasz végén végezzük el.) A Gauss-tétel szerint a második integrált a másik két integrál integrációs térfogatát határoló hiperfelületre vonatkozó integrállá alakíthatjuk. A hatásintegrál variálásakor a jobb oldal második tagjának variációja tehát eltűnik, mivel a legkisebb hatás elve szerint az integrálási tartomány határain az erőtér variációja zérus. Következésképpen azt írhatjuk, hogy

δ R g d Ω = δ G g d Ω .

A bal oldalon egy skalár áll, ezért a jobb oldalon álló kifejezésnek is skalárnak kell lennie. (Maga a G mennyiség természetesen nem skalár.)

A G mennyiség eleget tesz a fenti követelményeknek, minthogy csak gik-t és annak első deriváltjait tartalmazza. Tehát azt írhatjuk, hogy

11.33. egyenlet - (93.1)

δ S g = c 3 1 6 π k δ G g d Ω = c 3 1 6 π k δ R g d Ω ,

ahol k egy új univerzális állandó. Ahhoz hasonlóan, ahogy az elektromágneses tér hatásintegráljának vizsgálata során a  27. §-ban eljártunk, beláthatjuk, hogy a k állandó szükségképpen pozitív (lásd e szakasz végét).

A k állandót gravitációs állandónak nevezzük.k dimenziója (93.1)-ből közvetlenül megállapítható. A hatás dimenziója g cm2s–1; a koordináták dimenziója cm, gik pedig dimenziótlan szám, tehát R dimenziója cm2. Végeredményül azt kapjuk, hogy k dimenziója cm3g–1s–2. Számértéke pedig

11.34. egyenlet - (93.2)

k = 6 , 6 7 1 0 8 cm 3 g 1 s 2

Megjegyezzük, hogy k-t egységnyinek (vagy tetszőleges dimenziótlan számnak) is választhattuk volna. Ebben az esetben azonban meg kellene változtatnunk a tömeg szokásos egységét.[131]

Befejezésül számítsuk ki a (93.1)-ben szereplő G mennyiséget. Az Rik-ra vonatkozó (92.7) kifejezésből azt kapjuk, hogy

gR=ggikRik=ggikΓiklxlgikΓillxk+gikΓiklΓimmgikΓilmΓkml.

A jobb oldalon levő első két tagra érvényesek az alábbi összefüggések:

ggikΓiklxl=xlggikΓiklΓiklxl(ggik),ggikΓillxk=xkggikΓillΓillxk(ggik).

A teljes deriváltakat elhagyva, azt kapjuk, hogy

gG=Γimmxk(ggik)Γiklxl(g.gik)(ΓilmΓkmlΓiklΓlmm)gikg.

(86.5)(86.8) képletek segítségével láthatjuk, hogy a jobb oldal első két tagja √(–g), szorozva a

2ΓiklΓlmigmkΓimmΓkligklΓiklΓlmmgik=gik(2ΓmklΓlimΓlmmΓiklΓiklΓlmm)=2gik(ΓilmΓkmlΓiklΓlmm)

együtthatóval.

Végül tehát

11.35. egyenlet - (93.3)

G = g i k ( Γ i l m Γ k m l Γ i k l Γ l m m ) .

A gravitációs teret a metrikus tenzor komponensei határozzák meg. Ezért a gravitációs térre alkalmazva a legkisebb hatás elvét, a gik mennyiségeket kell variálni. Itt a következő lényeges megjegyzést tesszük. A jelen esetben nem mondhatjuk, hogy a megvalósuló térben a hatásintegrálnak gik valamennyi lehetséges variációjával szemben minimuma (nem pedig egyszerűen extrémuma) van. Ez azzal van összefüggésben, hogy gik megváltozása nem minden esetben vonja maga utána téridő metrikájának, azaz a valódi gravitációs térnek a megváltozását. A gik komponensek már a koordináták olyan egyszerű transzformációi esetén is megváltoznak, amelyek ugyanabban a téridőben egyik rendszerről egy másikra való áttérést jelentenek. A koordinátáknak minden ilyen transzformációja általában (a koordináták számának megfelelően) négy független transzformáció összessége. A gik komponensek ilyen, a metrika változásától független megváltozásait kizárhatjuk, ha rájuk négy kiegészítő feltételt rovunk ki, és megköveteljük, hogy a variáláskor ezek a feltételek teljesüljenek. Így, a legkisebb hatás elvét gravitációs térre alkalmazva, csak azt mondhatjuk, hogy ki lehet róni a metrikus tenzor elemeire olyan mellékfeltételeket, amelyek teljesülése esetén a hatásnak gik variálásával szemben minimuma van.[132]

E megjegyzések figyelembevételével most megmutatjuk, hogy a gravitációs állandó pozitív. Az említett négy mellékfeltételként azt követeljük, hogy a három g0α komponens legyen zérus, továbbá a gαβ komponensekből képzett |gαβ| determináns legyen állandó:

g 0 α = 0 , | g α β | = c o n s t ;

ez utóbbi feltétel miatt fennáll a

g α β g α β x 0 = x 0 | g α β | = 0

összefüggés. Bennünket itt a hatásintegrálban szereplő integrandusnak azok a tagjai érdekelnek, amelyek tartalmazzák gik-nak x0 szerinti deriváltjait (vö. a  27. §-sal). A (93.3) összefüggés segítségével végzett egyszerű számítás azt mutatja, hogy a G-ben szereplő ilyen tagok az alábbiak:

1 4 g 0 0 g α β g γ δ g α γ x 0 g β δ x 0 .

Könnyű belátni, hogy ez a mennyiség negatív-definit. Valóban, a tér adott pontjában és adott időpillanatban Descartes-féle koordináta-rendszert választva (gαβ=gαβ=–δαβ), a fenti kifejezés

1 4 g 0 0 g α γ x 0 2

alakú lesz, és mivel g00=1∕g00>0, e mennyiség előjele nyilvánvaló. Ha mármost a variálás során a gαβ komponensek x0 időfüggését elég erősre választjuk (az időintegrálás határai között gαβ-t elég gyorsan változtatjuk), a –G mennyiség tetszőlegesen naggyá tehető. Ha a k állandó negatív lenne, akkor a hatás minden határon túl csökkenne (abszolút értékben tetszőleges nagy értékeket véve fel), azaz nem léteznék minimum.



[131] Ha a k=c2 választást tennénk, akkor a tömeget centiméterekben mérnénk, 1 cm=1,35⋅1028 g. Néha a k helyett a ϰ=(8πk/c2)=1,86⋅10–27 cm g–1 mennyiséget használjuk, amelyet Einstein-féle gravitációs állandónak nevezünk.

[132] Hangsúlyozzuk azonban, hogy a fent mondottak nem befolyásolják a gravitációs egyenleteknek a legkisebb hatás elvéből való levezetését (95. §). Ezeket az egyenleteket már akkor is megkapjuk, ha azt követeljük csak meg, hogy a hatásnak extrémuma legyen (azaz első variációja tűnjön el), nem kell okvetlenül minimumának lennie. Ezért a gravitációs egyenletek levezetésekor az összes gik komponens függetlenül variálható.