Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

94 §. Energia-impulzus-tenzor

94 §. Energia-impulzus-tenzor

32. §-ban általános szabályt kaptunk arra, hogyan kell egy olyan tetszőleges fizikai rendszer energia-impulzus-tenzorát kiszámítani, amelynek hatásintegrálját a négyestérfogatra vett (32.1) integrál adja meg. Görbevonalú koordináták használata esetén ez az integrál az alábbi alakot ölti:

11.36. egyenlet - (94.1)

S = 1 c Λ g d Ω

(Galilei-koordinátákban g=–1 és S átmegy ∫ΛdVdt-be). Az integrálást a teljes hármastérre és két adott időpillanat közé eső időtartamra, tehát a négyestérnek két hiperfelülettel határolt végtelen tartományára kell kiterjeszteni.

Amint már a  32. §-ban megmutattuk, a (32.5) képlettel definiált energia-impulzus-tenzor nem okvetlenül szimmetrikus. Ha szimmetrizálni akarjuk, akkor a (32.5) a kifejezéshez egy megfelelően megválasztott (∂/∂xl)ψikl alakú tagot kell hozzáadni, ahol ψikl=–ψilk.

Most az energia-impulzus-tenzor kiszámítására egy másik módszert adunk, amelynek megvan az az előnye, hogy azonnal a szimmetrikus kifejezésre vezet.

(94.1)-ben az xi koordinátákról áttérünk az új x′i=xi+ξi koordinátákra, ahol ξi kis mennyiség. Ebben az esetben a gik komponensei így transzformálódnak:

g i k ( x l ) = g n m ( x l ) x i x n x k x m = g n m δ l i + ξ i x n δ m k + ξ k x m g i k ( x l ) + g i m ξ k x m + g k n ξ i x n .

Itt a g′ik tenzor az x′i függvénye, a gik tenzor pedig a korábbi xi koordináták függvénye. Azért, hogy az összes mennyiséget ugyanannak a változónak függvényként adhassuk meg, fejtsük sorba g′ik(xl+ξl)-t ξl hatványai szerint. Elhanyagolva továbbá a ξl-ben magasabb rendű tagokat, a ξl-eket tartalmazó tagokban g′ik helyett gik-t írhatunk. Így

g i k ( x l ) = g i k ( x l ) ξ m g i k x m + g i m ξ k x m + g k m ξ i x m .

Közvetlenül ellenőrizhetjük, hogy a jobb oldalon az utolsó három tagot kontravariáns deriváltjaiból álló ξi;k+ξk;i összegként is felírhatjuk. Ezáltal gik transzformációját végül az alábbi alakban kapjuk meg:

11.37. egyenlet - (94.2)

g i k = g i k + δ g i k , δ g i k = ξ i ; k + ξ k ; i .

A kovariáns komponensek pedig:

11.38. egyenlet - (94.3)

g i k = g i k + δ g i k , δ g i k = ξ i ; k ξ k ; i .

(Ezáltal elsőrendben kis mennyiségekig terjedő pontossággal teljesül a gilg′kl=δik feltétel.)[133]

Minthogy az S hatás skalár, koordinátatranszformáció során változatlan marad. Másrészt a hatás koordinátatranszformáció által okozott δS megváltozását formálisan fel lehet írni. Minta  32. §-ban, jelöljük itt is q-val az S hatású rendszert meghatározó mennyiségeket. Koordinátatranszformációt végezve, q mennyiségek δq-val változnak. δS kiszámításánál azonban el lehet hagyni a q megváltozásával kapcsolatos tagokat. Ezek a tagok az anyagi rendszer mozgásegyenletei miatt kölcsönösen kiejtik egymást, hiszen ezeket a mozgásegyenleteket éppen azzal definiáltuk, hogy S-nek q szerinti variációja nulla legyen. Ezért elegendő a gik megváltozásának megfelelő tagokat leírni. Szokás szerint a Gauss-tételt használjuk, és megköveteljük, hogy a határokon δgik=0 legyen.[134] Ekkor

δS=1cgΛgikδgik+gΛgikxlδgikxldΩ=1cgΛgikxlgΛgikxlδgikdΩ.

Vezessük be az

11.39. egyenlet - (94.4)

1 2 g T i k = g Λ g i k x l g Λ g i k x l

jelölést; ekkor δS a következő alakot ölti:[135]

11.40. egyenlet - (94.5)

δ S = 1 2 c T i k δ g i k g d Ω = 1 2 c T i k δ g i k g d Ω .

(Megjegyezzük, hogy gikδgik=–gikδgik, és ezért Tikδgik=–Tikδgik.) Behelyettesítve ide δgik(94.2) kifejezését, valamint a Tik tenzor szimmetriatulajdonságait felhasználva, azt kapjuk, hogy

δS=12cTik(ξi;k+ξk;i)gdΩ=1cTikξi;kgdΩ.

Alakítsuk át ezt a kifejezést a következő módon:

11.41. egyenlet - (94.6)

δ S = 1 c ( T i k ξ i ) ; k g d Ω 1 c T i ; k k ξ i g d Ω .

Az első integrált (86.9) segítségével

1cxkgTikξidΩ

alakban írjuk, és átalakíthatjuk hiperfelületre vett integrállá. Minthogy az integrálás határain ξi-k zérussá válnak, ez az integrál eltűnik.

Így δS-et zérussal téve egyenlővé, azt kapjuk, hogy

δS=1cTi;kkξigdΩ=0.

Tekintettel arra, hogy teljesen tetszőleges, ebből az következik, hogy

11.42. egyenlet - (94.7)

T i ; k k = 0 .

Összehasonlítva ezt az egyenletet a Galilei-féle koordinátákban érvényes és (32.4) alatt felírt ∂Tik∕∂xk=0 egyenlettel, látjuk, hogy a (94.4) képlet által meghatározott tenzor – legalábbis egy állandó szorzó erejéig – az energia-impulzus-tenzorral azonos. Hogy ez a szorzó 1-gyel egyenlő, legkönnyebben úgy ellenőrizhető, hogy a (94.4) képlet segítségével elvégzünk egy konkrét számítást, például az elektromágneses tér esetére, amikor

Λ=116πFikFik=116πFikFlmgilgkm.

Ily módon, a (94.4) képlet alkalmazásával, az energia-impulzus-tenzort Λ-nak a metrikus tenzor komponensei (és azok deriváltjai) szerint végzett differenciálásával számíthatjuk ki. Ilyenkor a Tik azonnal szimmetrikus alakban adódik. A (94.4) képlet használata az energia-impulzus-tenzor kiszámítására nemcsak gravitációs tér jelenlétében kényelmes, de minden olyan esetben is, amikor nincs gravitációs tér. Ilyenkor a metrikus tenzornak nincs önálló jelentése, a görbevonalú koordinátákra való áttérést pusztán formálisan, mint a Tik kiszámítását célzó közbenső lépést végezzük el.

Az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorára kapott (33.1) kifejezést görbe-vonalú koordinátákban

11.43. egyenlet - (94.8)

T i k = 1 4 π F i l F k l + 1 4 F l m F l m g i k

alakba kell írni. Makroszkopikus testek esetében pedig az energia-impulzus-tenzor [(35.2)-vel összevetve]:

11.44. egyenlet - (94.9)

T i k = ( p + 𝜀 ) u i u k p g i k .

Megjegyezzük, hogy a T00 komponens mindig pozitív:[136]

11.45. egyenlet - (94.10)

T 0 0 0 .

(A T00 kevert komponenseknek általában nincs határozott előjelük.)

Feladat

Vizsgáljuk meg egy szimmetrikus másodrendű tenzor lehetséges kanonikus alakjait.

Megoldás. Egy szimmetrikus Aik tenzor főtengely-transzformációjának elvégzése tulajdonképpen azoknak a „sajátvektoroknak” a meghatározása, amelyekre

11.46. egyenlet - (1)

A i k n k = λ n i .

A megfelelő főértékeket, melyek a tenzor invariánsai, a negyedfokú

11.47. egyenlet - (2)

| A i k λ g i k | = 0

egyenlet gyökeiként határozhatjuk meg. Mind a λ mennyiségek, mind a nekik megfelelő vektorok komplexek is lehetnek. (Az Aik tenzorkomponensekről természetesen feltételezzük, hogy valósak.)

Az (1) egyenletet használva, a szokásos módon könnyen beláthatjuk, hogy különböző λ(1) és λ(2) főértékekhez tartozó ni(1) és ni(2) sajátvektorok egymásra merőlegesek:

11.48. egyenlet - (3)

n i ( 1 ) n ( 2 ) i = 0 .

Speciálisan, ha a (2) egyenletnek van két olyan λ és λ∗ gyöke, amelyek egymás komplex-konjugáltjai, és amelyeknek az ni és ni∗ egymáshoz komplex-konjugált sajátvektorok felelnek meg, azokra is teljesül az

11.49. egyenlet - (4)

n i n i = 0

összefüggés.

Az Aik tenzort kifejezhetjük főértékei és megfelelő sajátvektorai segítségével:

11.50. egyenlet - (5)

A i k = λ n i n k n l n l

(hacsak valamelyik nlnl szorzat nem nulla; lásd alább). A (2) egyenlet gyökeinek jellegétől függően a következő három eset lehetséges.

I. Mind a négy λ sajátérték valós. Ebben az esetben valósak az ni sajátvektorok is, mivel pedig az ni-k egymásra kölcsönösen merőlegesek, emiatt három sajátvektor iránya térszerű, egyé pedig időszerű (ezek az nlnl=–1, illetve az nlnl=+1 feltételekkel normálhatók). Ha a koordinátatengelyeket a sajátvektorok irányában vesszük fel, Aik diagonális lesz:

11.51. egyenlet - (6)

A i k = λ ( 0 ) 0 0 0 0 λ ( 1 ) 0 0 0 0 λ ( 2 ) 0 0 0 0 λ ( 3 ) .

II. A (2) egyenletnek két valós (λ(2), λ(3)) és két komplex gyöke van, amelyek egymásnak komplex-konjugáltjai (λ′±iλ″). A két komplex gyöknek megfelelő, egymáshoz komplex-konjugált ni, ni∗ vektorokat ai±ibi alakban írjuk; mivel a komplex sajátvektorok csupán tetszőleges komplex szorzó erejéig határozottak, azokat az nini=ni∗n∗i=1 feltételekkel normálhatjuk. A (4) egyenletet is figyelembe véve, az ai, bi valós vektorokra az

a i a i + b i b i = 0 , a i b i = 0 , a i a i b i b i = 1

feltételek adódnak, amiből aiai=1∕2, bibi=–1∕2 következik, tehát az ai vektor időszerű, a bi pedig térszerű.[137]

A koordinátatengelyeket az ai, bi, n(2)i, n(3)i vektorok irányába véve fel, az Aik tenzor alakja [amelyet (5) segítségével számíthatunk ki]:

11.52. egyenlet - (7)

A i k = λ λ 0 0 λ λ 0 0 0 0 λ ( 2 ) 0 0 0 0 λ ( 3 ) .

III. Ha az egyik ni vektor négyzete zérus (nlnl=0), akkor ezt a vektort nem választhatjuk koordinátatengely irányának. Megválaszthatjuk azonban úgy az egyik x0xα síkot, hogy az ni vektor ebben a síkban legyen. Válasszuk e síknak az x0x1-et. Ekkor nlnl=0-ból következik, hogy n0=n1, az (1) egyenlet szerint pedig

A 0 0 + A 0 1 = λ , A 1 0 + A 1 1 = λ ,

amiből

A 0 0 = λ + μ , A 1 1 = λ + μ , A 0 1 = μ

következik, ahol μ nem invariáns mennyiség, mivel az x0x1 síkban végrehajtott forgatások során megváltozik; egy megfelelő elforgatással μ mindig valóssá tehető. Az x2, x3 tengelyeket a másik két (térszerű) n(2)i, n(3)i vektor mentén véve fel, az Aik tenzort az alábbi alakra hozhatjuk:

11.53. egyenlet - (8)

A i k = λ + μ μ 0 0 μ λ + μ 0 0 0 0 λ ( 2 ) 0 0 0 0 λ ( 3 ) .

Ez az eset annak felel meg, amikor a (2) egyenlet két gyöke (λ(0) és λ(1)) egyenlő.

Megjegyezzük, hogy a fénysebességnél kisebb sebességgel mozgó anyag fizikai Tik energia-impulzus-tenzora csak első típusú lehet; ez azzal kapcsolatos, hogy ilyenkor mindig létezik egy olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az anyag energiaárama, azaz a három a Tα0 komponens eltűnik. Ugyanakkor az elektromágneses hullámok energia-impulzus-tenzora a harmadik típus olyan speciális esetéhez tartozik, amikor λ=λ(2)=λ(3)=0 (lásd a  33. §-t); megmutatható, hogy ellenkező esetben létezne olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az energiaáram felülmúlná a c-vel szorzott energiasűrűséget.



[133] Megjegyezzük, hogy a ξi;k+ξk;i=0 egyenletek az adott metrikát meg nem változtató koordinátatranszformációt határozzák meg. Az irodalomban ezeket az egyenleteket gyakran Killing-egyenleteknek nevezik.

[134] Hangsúlyozzuk, hogy a szimmetrikus gik tenzor komponensei szerint képzett deriváltak itt bevezetett jelölése bizonyos értelemben szimbolikus jellegű. Pontosabban, a ∂F∕∂gik deriváltak (F a gik komponensek valamilyen függvénye) lényegében csak a dF=(∂F/∂gik)dgik tényt fejezik ki. A (∂F/∂gik)dgik összegbe azonban a dgik differenciállal arányos tagok i≠k esetén kétszer szerepelnek. Ezért egy konkrét F kifejezést valamelyik kiszemelt nem diagonális gik komponens szerint differenciálva olyan mennyiséget kapnánk, amely kétszer nagyobb annál, mint amit ∂F∕∂gik-val jelölünk. Ezt a megjegyzést akkor kell figyelembe venni, amikor konkrét értékeket adunk az i, k indexeknek azokban a képletekben, amelyekben gik-k szerinti deriválás szerepel.

[135] A vizsgált esetben a tíz δgik mennyiség nem független, minthogy ezek a négy koordináta transzformációjának eredményeképpen lépnek fel. Ezért abból, hogy δS zérussal egyenlő, egyáltalán nem következik még, hogy Tik=0!

[136] Valóban T00=𝜀u02+p(u02–g00). Az első tag nyilvánvalóan pozitív. A második tagba pedig beírva az u0=g00u0+g0αuα=(g00dx0+g0αdxα/ds) kifejezést, egyszerű átalakítás után azt kapjuk, hogy az g00p(dl∕ds)2-tel egyenlő, ahol dl(84.6) térbeli távolságelem; ebből már látható, hogy T00 második tagja is pozitív. Ugyanilyen könnyű a bizonyítás a (94.8) tenzor esetében is.

[137] Mivel csupán egy vektor lehet időszerű, ebből az következik, hogy a (2) egyenleteknek nem lehet két komplex-konjugált gyökpárja.