Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

95 §. Az Einstein-egyenletek

95 §. Az Einstein-egyenletek

Most már hozzákezdhetünk a gravitációs tér egyenleteinek levezetéséhez. Ezeket az egyenleteket a legkisebb hatás elvéből, a δ(Sm+Sg)=0 feltételből kaphatjuk meg, ahol Sg és Sm a gravitációs térhez, illetve a gravitáló anyaghoz tartozó hatásfüggvény. Most a gravitációs teret jellemző gik mennyiségeket variáljuk.

Számítsuk ki a δSg variációt. Első lépésben a

δ R g d Ω = δ g i k R i k g d Ω = R i k g δ g i k + R i k g i k δ g + g i k g δ R i k d Ω

egyenlőséget kapjuk. Behelyettesítve ide a (86.4)-nek megfelelő

δ g = 1 2 g δ g = 1 2 g g i k δ g i k

összefüggést, azt kapjuk, hogy

11.54. egyenlet - (95.1)

δ R g d Ω = R i k 1 2 g i k R δ g i k g d Ω + g i k δ R i k g d Ω .

δ R i k kiszámítása előtt megjegyezzük, hogy bár a Γkli mennyiségek nem alkotnak tenzort, a δΓkli variációk mégis tenzort alkotnak. Ez abból következik, hogy egy vektort valamely P pontból egy infinitezimálisan közeli P′ pontba párhuzamosan eltolva, a ΓilkAkdxl-lel változik [lásd (85.5)-öt]. Ezért δΓilkAkdxl két olyan vektor különbsége, amelyeket a P pontból ugyanabba a P′ pontba való kétféle (egy nem variált és variált Γkli történő) párhuzamos eltolással kapunk. Ugyanabban a két pontban vett vektorok különbsége ismét vektor, és emiatt δΓkli tenzor.

Használjunk lokálisan geodetikus koordináta-rendszert. Ekkor az adott pontban minden Γkli=0. Az Rik-ra vonatkozó (92.7) képlet segítségével (figyelembe véve, hogy gik első deriváltjai ilyenkor eltűnnek) azt kapjuk, hogy

g i k δ R i k = g i k x l δ Γ i k l x k δ Γ i l l = g i k x l δ Γ i k l g i l x l δ Γ i k k = w l x l ,

ahol

w l = g i k δ Γ i k l g i l Γ i k k .

Mivel wl vektor, a kapott összefüggés tetszőleges koordináta-rendszerben érvényes alakja:

g i k δ R i k = 1 g x l ( g w l )

[∂wl∕∂xl-t wl;l-lel helyettesítettük, és felhasználtuk (86.9)-et]. Tehát (95.1)-ben a második integrálra fennáll, hogy

g i k δ R i k g d Ω = g w l x l d Ω ,

amit a Gauss-tétel szerint átalakíthatunk wl-nek az egész négyestérfogatot körülzáró hiperfelületre vett integráljává. Ez a tag eltűnik, mivel az erőtér variációja az integrációs felületen zérus. A Sg variáció tehát:[138]

11.55. egyenlet - (95.2)

δ S g = c 3 1 6 π k R i k 1 2 g i k R δ g i k g d Ω .

Megjegyezzük, hogy ha az

S g = c 3 1 6 π k G g d Ω

kifejezésből indulnánk ki, akkor könnyen meggyőződhetnénk arról, hogy

S g = c 3 1 6 π k G g g i k x l G g g i k x l δ g i k d Ω .

Ezt (95.2)-vel összehasonlítva, a következő összefüggést kapjuk:

11.56. egyenlet - (95.3)

R i k 1 2 g i k R = 1 g G g g i k x l G g g i k x l .

Az anyag hatásintegráljának variációját (94.5) szerint a

11.57. egyenlet - (95.4)

δ S m = 1 2 c T i k δ g i k g d Ω

képlettel adhatjuk meg, ahol Tik az anyag energia-impulzus-tenzora (az elektromágneses teret is beleértve). A gravitációs kölcsönhatás csak elegendően nagy tömegű testek esetén játszik szerepet (a gravitációs állandó kicsisége miatt). Ezért a gravitációs terek vizsgálata során rendszerint makroszkopikus testekkel van dolgunk. Így Tik-ra rendszerint a (94.9) kifejezést kell használni.

A legkisebb hatás δSm+δSg=0 elvéből kapjuk, hogy

c 3 1 6 π k R i k 1 2 g i k R 8 π k c 4 T i k δ g i k g d Ω = 0 ,

amiből δgik tetszőleges voltára való tekintettel az

11.58. egyenlet - (95.5)

R i k 1 2 g i k R = 8 π k c 4 T i k

egyenlet következik, vagy kevert komponensekkel:

11.59. egyenlet - (95.6)

R i k 1 2 δ i k R = 8 π k c 4 T i k .

Ezek a keresett gravitációs egyenletek, az általános relativitáselmélet alapegyenletei. Ezeket az egyenleteket Einstein-egyenletnek nevezzük.

(95.6)-ban összeejtve az i és k indexeket:

11.60. egyenlet - (95.7)

R = 8 π k c 4 T

(T=Tii). Ezért a téregyenleteket az

11.61. egyenlet - (95.8)

R i k = 8 π k c 4 T i k 1 2 g i k T

alakban is felírhatjuk.

Az Einstein-egyenletek nem lineárisak. Ezért a gravitációs terekre nem érvényes a szuperpozíció elve. Ez az elv gyenge terek esetén, amikor az Einstein-egyenletek linearizálhatók, közelítőleg teljesül. (Ez a helyzet például a klasszikus newtoni gravitációs tér esetében; lásd a  99. §-t.)

Üres térben Tik=0, ilyenkor a gravitációs egyenletek az

11.62. egyenlet - (95.9)

R i k = 0

egyenletekre redukálódnak. Ez még egyáltalán nem jelenti, hogy az üres téridő nem görbült, ehhez az erősebb Riklm=0 feltételek teljesülése volna szükséges.

Az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorának átlósösszege zérus, Tii=0 [lásd (33.2)-t]. Ebből a (95.7) képlet figyelembevételével következik, hogy amíg csupán az elektromágneses tér van jelen, mindenféle tömeg nélkül, akkor a téridő skalár görbülete zérus.

Mint ismeretes, az energia-impulzus-tenzor divergenciája eltűnik:

11.63. egyenlet - (95.10)

T i ; k k = 0 .

Ezért divergenciamentes a (95.6) egyenlet bal oldala is. Ez a (92.10) azonosság miatt valóban így is van. A (95.10) feltételt tehát a (95.6) gravitációs egyenletek lényegében már tartalmazzák. Másrészt a (95.10) egyenletek, amelyek az energia és impulzus megmaradásának törvényét fejezik ki, magukban foglalják annak a fizikai rendszernek a mozgásegyenleteit, amelyre a vizsgált energia-impulzus-tenzor vonatkozik (tehát az anyagi részecskék mozgásegyenletét vagy a Maxwell-egyenletek második párját). Ily módon a gravitációs egyenletek tartalmaznák magának a gravitációs teret létrehozó anyagnak az egyenleteit is. Ezért a gravitáló anyag eloszlását és mozgását egyáltalán nem adhatjuk meg tetszőlegesen. Éppen ellenkezőleg, ezeket az anyag által létrehozott térrel egyidejűleg kell meghatározni (adott kezdeti feltételek mellett megoldva a téregyenleteket).

Felhívjuk a figyelmet, hogy ilyen szempontból lényeges különbség van a gravitációs tér és az elektromágneses tér között. Az elektromágneses tér egyenletei (a Maxwell-egyenletek) csak a teljes töltés megmaradásának egyenletét (a kontinuitási egyenletet) tartalmazzák, a töltések mozgásegyenletét nem. A töltések eloszlását és mozgását önkényesen adhatjuk meg, csak az össztöltés állandóságára kell ügyelnünk. A töltéseloszlás ismeretében az általa létrehozott teret a Maxwell-egyenletek segítségével határozzuk meg.

Ugyanakkor azt is világosan kell látnunk, hogy gravitációs térben az anyag eloszlásának és mozgásának teljes meghatározásához az Einstein-egyenletek mellett az, anyag állapotegyenletét, azaz a nyomást és sűrűséget összekapcsoló egyenletet is fel kell használnunk. Az Einstein-egyenletek természetesen ezt nem tartalmazzák. Ezt az egyenletet a téregyenletekkel együtt kell megadni.[139]

A négy xi koordinátát tetszőleges transzformációnak vethetjük alá. Egy ilyen transzformáció segítségével a gik tenzor tíz komponenséből négynek tetszés szerinti értéket adhatunk. Ezért a gik mennyiségekből csupán hat komponens tekinthető független, ismeretlen függvénynek. Továbbá az energia-impulzus-tenzorban szereplő négyessebesség négy ui komponense között fennáll az uiui=1 összefüggés. Tehát, ahogy ennek lennie kell, a (95.5) alatt felírt tíz téregyenletben tíz ismeretlen függvény szerepel: a gik komponensei közül hat, az ui komponensek közül három az ismeretlen meghatározandó, továbbá az anyag 𝜀∕e2 sűrűsége (vagy p nyomása). Az üres térben érvényes gravitációs egyenletben mindössze hat ismeretlen mennyiség van (gik komponensei), és ennek megfelelően a független téregyenletek száma is lecsökken: a tíz Rik=0 egyenlet közül négyet megszorít a (92.10)-zel adott négy azonosság.

Ismerjük meg az Einstein-egyenletek szerkezetének néhány különleges tulajdonságát. Az Einstein-egyenletek másodrendű parciális differenciálegyenlet-rendszert alkotnak, de nem szerepel bennük mind a tíz gik komponens időderiváltja. Valóban, (92.4)-ből látható, hogy idő szerinti második deriváltak csak a görbületi tenzor R0α0β komponenseiben szerepelnek –(1/2)g̈αβ típusú tagok alakjában (ponttal az x0 szerinti deriválást jelöljük); a metrikus tenzor g0α és g00 komponenseinek második deriváltjai nem fordulnak elő. Nyilvánvaló ebből, hogy a görbületi tenzorból kontrakcióval kapott Rik tenzorban és ezzel együtt a (95.5) egyenletekben is csak a hat térszerű gαβ komponens második időderiváltja szerepel.

Azt is könnyű belátni, hogy ezek a deriváltak csupán a (95.5)αβ-egyenleteiben szerepelnek, tehát az

11.64. egyenlet - (95.11)

R α β 1 2 δ α β R = 8 π k c 4 T α β

egyenletekben. A 00 és α0-egyenletek, tehát az

11.65. egyenlet - (95.12)

R 0 0 1 2 R = 8 π k c 4 T 0 0 , R α 0 = 8 π k c 4 T α 0

összefüggések csupán első időderiváltakat tartalmaznak. Erről meggyőződhetünk, ha ellenőrizzük, hogy amikor kontrakcióval az Riklm-ből az Rα0-t és az R00–(1/2)R=(1/2)(R00–Rαα)-t képezzük, akkor az R0α0β alakú komponensek valóban kiesnek. Még egyszerűbben láthatjuk ezt a (92.10) azonosságból, ha azt

11.66. egyenlet - (95.13)

R i 0 1 2 δ i 0 R ; 0 = R i α 1 2 δ i α R ; α

alakba írjuk (i=0,1,2,3). A legmagasabb rendű időderiváltak ennek az egyenletnek a jobb oldalán másodrendűek (amelyek magukban az Riα és az R mennyiségekben lépnek fel). Mivel a (95.13) egyenlet azonosság, bal oldalán is csak másodrendűnél nem magasabb időderiváltak szerepelhetnek. Egy időderiválást azonban már expliciten tartalmaz az egyenlet, ezért maguk az Ri0–(1/2)δi0R mennyiségek legfeljebb csak elsőrendű időderiváltakat tartalmazhatnak.

Ezenkívül a (95.12) egyenletek bal oldalai nem tartalmazzák a g0α és g00 első deriváltakat sem (hanem csupán ġαβ). Valóban, ezek a deriváltak a Γi,kl szimbólumok közül csak a Γα,00-ban és Γ0,00-ban szerepelnek, ezek viszont a görbületi tenzor R0α0β típusú komponenseiben lépnek fel, amelyek, mint már tudjuk, kiesnek a (95.12) egyenletek bal oldalának képzésekor.

Ha az Einstein-egyenletek adott kezdeti (idő szerint) feltételekhez tartozó megoldásai érdekelnek bennünket, felmerül a kérdés, hány mennyiség kezdeti térbeli eloszlását adhatjuk meg önkényesen.

A másodrendű egyenletekre vonatkozó kezdeti feltételek tartalmazzák mind a differenciálható mennyiségek, mind pedig azok időderiváltjainak eloszlását. Mivel azonban az adott esetben az egyenletek csupán a hat gαβ mennyiség második deriváltját tartalmazzák, kezdeti feltételként nem adhatjuk meg önkényesen az összes gik-t és ġik-ot. Tetszőlegesen megadhatjuk a gαβ és ġαβ függvények kezdeti értékeit (az anyag sűrűségével és sebességével együtt), majd a (95.12) egyenletekből meghatározhatjuk a g0α és g00 megengedett kezdeti értékeit; a (95.11) egyenletekben azonban még megmaradnak ġ0α tetszőleges kezdeti értékei.

A megadható kezdeti feltételek így meghatározott számába azonban belevettük azokat a függvényeket is, amelyeknek önkényesen megadható volta egyszerűen a négyes koordináta-rendszer kiválasztásában meglevő önkénnyel kapcsolatos. Ezért az így megadott tetszőleges függvények közül csupán annyinak van reális fizikai értelme, amennyi fizikailag különböző, melyek számát a koordináta-rendszer semmilyen megválasztásával sem lehet már csökkenteni. Fizikai meggondolások alapján könnyen beláthatjuk, hogy az ilyen értelemben egyszerre megadható önkényes függvények száma nyolc: a kezdeti feltételeknek meg kell adniuk az anyag sűrűségeloszlását és sebességének három komponensét, továbbá még négy (az anyaggal nem kapcsolatos), mennyiséget, amelyek a szabad gravitációs teret jellemzik (lásd a  107. §-t); a vákuumbeli szabad gravitációs tér kezdeti feltételeit ez az utóbbi négy mennyiség adja meg.

Feladat

Írjuk fel úgy az állandó gravitációs tér egyenleteit, hogy a térkoordináták szerint az összes differenciálás, a γαβ(84.7) metrikájú térben értelmezett kovariáns deriváltakkal legyen kifejezve.

Megoldás. Vezessük be a g00=h, g0α=–hgα(88.11) jelöléseket és a vα hármassebességet (88.10). Az alábbiakban a gα, vα háromdimenziós vektorokkal és a háromdimenziós h skalárral kapcsolatos indexfelhúzást, illetve -lehúzást és a kovariáns deriválást a γαβ metrikájú háromdimenziós térben kell értenünk.

A keresett egyenleteknek invariánsaknak kell lenniük az

11.67. egyenlet - (1)

x α x α , x 0 x 0 + f ( x α )

transzformációval szemben, amely a tér stacionaritását megőrzi. Egy ilyen transzformáció esetén azonban, amint arról könnyen meggyőződhetünk (lásd a  88. §  21-es számú lábjegyzetét), gα→gα–(∂f/∂xα), a h skalár és a γαβ=–gαβ+hgαgβ tenzor pedig változatlan marad. Ezért világos, hogy a keresett egyenletek, bár bennük a γαβ, h és gα, mennyiségek szerepelnek, a gα-t csupán olyan deriváltak kombinációjának alakjában tartalmazhatják, amelyek háromdimenziós antiszimmetrikus tenzort alkotnak:

11.68. egyenlet - (2)

f α β = g β ; α g α ; β = g β x α g α x β ;

ez pedig az (1) transzformációval szemben invariáns. Figyelembe véve ezt a körülményt, a számítások lényegesen egyszerűsíthetők, a gα=0 és gα;β+gβ;α=0 összefüggésekre támaszkodva[140] (az Rik-ban szereplő összes derivált kiszámítása után).

A Christoffel-szimbólumok:

Γ 0 0 0 = 1 2 g α h ; α , Γ 0 0 α = 1 2 h ; α , Γ α 0 0 = 1 2 h h ; α + h 2 g β f α β + , Γ 0 β α = h 2 f β α 1 2 g β h ; α , Γ α β 0 = 1 2 g α x β + g β x α 1 2 h ( g α h ; β + g β h ; α ) + g γ λ α β γ + , Γ β γ α = λ α β γ h 2 ( g β f γ α + g γ f β α ) +

Az elhagyott tagok (amelyekre a pontok utalnak) négyzetesek a gα vektor komponenseiben: ezek biztosan kiesnek, amikor az Rik-beli (92.7) differenciálások elvégzése után gα=0-t veszünk. A számításokban a (84.9), (84.12), (84.13) képleteket használtuk; λβγα-k a háromdimenziós Christoffel-szimbólumok, amelyeket a γαβ metrikának megfelelően alkottunk meg.

A Tik tenzor a (94.9) képlet segítségével határozható meg, miközben ui(88.14)-ből vesszük (ahol szintén gα=0-t helyettesítünk).

A számítás eredményeképpen a (95.8) egyenletekből az alábbiakat kapjuk:

1hR00=1h(h);α;α+h4fαβfαβ=8πkc4𝜀+p1v2c2𝜀p2,(3)1hR0α=h2f;βαβ32fαβ(h);β=8πkc4p+𝜀1v2c2vαc,(4)Rαβ=Pαβ+h2fαγfβγ1h(h);α;β=8πkc4(p+𝜀)vαvβc2(1v2c2)+𝜀p2γαβ.(5)

Itt Pαβ egy hármastenzor, amely γαβ-kból ugyanúgy képezhető, mint Rik a gik-kból.[141]



[138] Felhívjuk a figyelmet a következő érdekes körülményre: ha R∫√(–g) dΩ variációt [(92.7) által adott Rik-val felírva] úgy számítanánk ki, hogy a Γkli-eket tekintenénk független változóknak, a gik-kat pedig állandóknak, s a számítás végén még felhasználnánk a Γkli-re vonatkozó (86.3) összefüggést, akkor, amint erről könnyen meggyőződhetünk, azonosan zérust kapnánk. Fordítva: Γkli és a metrikus tenzor kapcsolatát úgy is meghatározhatnánk, hogy megköveteljük a fenti variáció eltűnését.

[139] Az állapotegyenlet valójában nem két, hanem három termodinamikai mennyiséget kapcsol össze, például az anyag nyomását, sűrűségét és hőmérsékletét. A gravitációs kölcsönhatások leírásában azonban ez a körülmény rendszerint nem lényeges, mivel az itt használt közelítő állapotegyenletek legtöbbször függetlenek a hőmérséklettől (ilyen állapotegyenletekre példa a ritka anyag p=0 egyenlete vagy az erősen összenyomott anyagra vonatkozó extrém relativisztikus p=𝜀∕3 állapotegyenlet stb.).

[140] A félreértések elkerülése végett hangsúlyozzuk, hogy a számítások elvégzésének ez az egyszerűsített módja, amely a helyes téregyenleteket adja meg, önmagában véve nem volna előnyös Rik tetszőleges komponensének kiszámítására, mivel azok nem invariánsak az (1) transzformációval szemben. A (3)(5) egyenletek bal oldalán a Ricci-tenzornak azokat a komponenseit tüntettük fel, amelyekkel ténylegesen egyenlők a felírt kifejezések. Ezek a komponensek invariánsak az (1) transzformációval szemben.

[141] Az Einstein-egyenleteket hasonló módon fel lehet írni az általános esetben is, amikor a metrika az időtől függ. Ekkor a térkoordináták szerint vett deriváltak mellett az egyenletekben szerepelnek a γαβ, gα és h mennyiségek időderiváltjai is. Lásd A. L. Zelmanov, Dokl. Ak. SZSZSZR 107, 815 (1956).