Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

97 §. Szinkronizált vonatkoztatási rendszer

97 §. Szinkronizált vonatkoztatási rendszer

Amint a  84. §-ban láttuk, az órák járását csak abban az esetben lehet a tér különböző pontjaiban szinkronizálni, ha a metrikus tenzor g0α komponensei zérussal egyenlőek. Ha ezen túlmenően még a g00=1 egyenlőség is fennáll, akkor az x0=t időkoordináta a sajátidő lesz a tér minden pontjában.[148] Azt a vonatkoztatási rendszert, amely eleget tesz a

11.86. egyenlet - (97.1)

g 0 0 = 1 , g 0 α = 0

feltételeknek, szinkronizált vonatkoztatási rendszernek nevezzük. Egy ilyen rendszerben az ívelemnégyzet

11.87. egyenlet - (97.2)

d s 2 = d t 2 γ α β d x α d x β ,

ahol a térbeli metrikát megadó tenzor komponensei (előjeltől eltekintve) a gαβ komponensekkel egyeznek meg:

11.88. egyenlet - (97.3)

γ α β = g α β .

Szinkronizált vonatkoztatási rendszerben az idővonalak a négyestérben geodetikus vonalak. Valóban, az x1,x2,x3=const világvonal ui=dxi∕ds érintő-négyesvektorának komponensei uα=0, u0=1, és ez automatikusan kielégíti a geodetikus egyenleteket:

d u i d s + Γ k l i u k u l = Γ 0 0 i = 0 ,

mivel a (97.1) feltétel miatt a Γ00α, Γ000 Christoffel-szimbólumok azonosan eltűnnek.

Könnyen beláthatjuk azt is; hogy ezek a vonalak merőlegesek a t=const felületre. Ez abból következik, hogy egy ilyen hiperfelülethez tartozó ni=(∂t/∂xi) normális négyesvektornak a komponensei nα=0 és n0=1. A megfelelő kovariáns komponensek a (97.1) feltétel miatt szintén nα=0, n0=1, azaz megegyeznek az idővonalak ui érintő irányú négyesvektorának komponenseivel.

Fordítva, a most talált két tulajdonságot felhasználhatjuk tetszőleges téridőbeli szinkronizált vonatkoztatási rendszer geometriai megkonstruálására. E célból kiindulásként válasszunk tetszőleges térszerű hiperfelületet, azaz olyat, amelynek minden pontjához időszerű (az adott eseménypontban felvett fénykúp belsejében levő) normális tartozik; egy ilyen hiperfelületben az összes ívelem térszerű. Ezek után keressük meg a szóban forgó felületre merőleges geodetikus; vonalakat. Ha végül ezeket a vonalakat választjuk az idő koordinátavonalainak, és a t időkoordinátát geodetikus vonalak kiindulási felülettől mért s ívhosszként definiáljuk, akkor szinkronizált vonatkoztatási rendszert kapunk.

Világos, hogy egy ilyen konstrukció, azaz egy szinkronizált koordináta-rendszer választása elvileg mindig lehetséges. Sőt ez a választás még nem is egyértelmű. A (97.2) alakú metrika a térkoordináták tetszőleges, időt nem érintő transzformációja esetén, továbbá a fenti geometriai konstrukcióban szereplő kiindulási hiperfelület megválasztásában levő önkény által megengedett transzformáció esetén változatlan marad.

Szinkronizált vonatkoztatási rendszerre vezető transzformációt elvileg analitikusan lehet elvégezni, a Hamilton–Jacobi-egyenletek segítségével. E módszer alapja, hogy gravitációs térben a részecskepályák egyben geodetikus vonalak.

Egy gravitációs térben levő (egységnyi tömegű) részecske Hamilton–Jacobi egyenlete:

11.89. egyenlet - (97.4)

g i k τ x i τ x k = 1

(a hatást τ-val jelöltük). Ennek teljes integrálja

11.90. egyenlet - (97.5)

τ = f ( ξ α , x i ) + A ( ξ α )

alakú, ahol f a négy xi koordináta és három ξα paraméter függvénye; a negyedik állandót, A-t a három ξα tetszőleges függvényének tekintjük. τ ilyen ábrázolása esetén a részecske pályájának egyenleteit abból lehet megkapni, hogy zérussá tesszük a ∂τ∕∂ξα deriváltakat, azaz

11.91. egyenlet - (97.6)

f ξ α = A ξ α .

A ξα paraméterek minden megadott értékéhez a (97.6) egyenlet jobb oldalának meghatározott állandó értéke tartozik, és a (97.6) egyenletek által meghatározott világvonal a részecske egyik lehetséges pályája. Szinkronizált vonatkoztatási rendszert úgy kapunk, hogy a pálya mentén új térkoordinátákként a ξα mennyiségeket, új időkoordinátaként pedig a τ mennyiséget választjuk, a (97.5) és a (97.6) egyenletek pedig meghatározzák a régiekről az új koordinátákra történő áttérés keresett transzformációját. Valóban, egy ilyen transzformáció esetén az idővonal automatikusan geodetikussá válik, és ezek a vonalak a τ=const hiperfelületek normálisai lesznek. Ez utóbbi nyilvánvalóan következik egy mechanikából vett analógiából: a hiperfelület normális egységvektora –∂τ∕∂xi a mechanikában a részecske négyesimpulzusát adja, így iránya megegyezik az ui négyessebességnek, tehát a világvonal érintő-négyesvektorának az irányával. Végül a g00=1 feltétel teljesülése nyilvánvalóan adódik abból, hogy a hatás világvonal mentén vett –dτ∕ds deriváltja a részecske tömegét adja, amelyet egységnyinek vettünk, tehát |dτ∕ds|=1.

Írjuk fel az Einstein-egyenleteket szinkronizált vonatkoztatási rendszerben, szétválasztva bennük az idő és tér szerint végrehajtandó differenciálást.

Vezessük be a háromdimenziós metrikus tenzor komponenseinek időderiváltjaira a

11.92. egyenlet - (97.7)

ϰ α β = γ α β t

jelölést; e mennyiségek szintén háromdimenziós tenzort alkotnak. A ϰαβ tenzor indexeinek fel- és lehúzását, annak kovariáns differenciálását a későbbiekben γαβ metrikájú háromdimenziós térben végezzük.[149] Megjegyezzük, hogy a ϰαα összeg a γ≡|γαβ|=–g determináns logaritmikus deriváltjával egyenlő:

11.93. egyenlet - (97.8)

ϰ α α = γ α β γ α β t = t ln γ .

A Christoffel-szimbólumokra

11.94. egyenlet - (97.9)

Γ 0 0 0 = Γ 0 0 α = Γ 0 α 0 = 0 , Γ α β 0 = 1 2 ϰ α β , Γ 0 β α = 1 2 ϰ β α , Γ β γ α = λ β γ α

adódik, ahol λβγα-k a γαβ tenzorból képzett háromdimenziós Christoffel-szimbólumok. A (92.7) képletből kiindulva, az Rik komponensekre a következő kifejezéseket kapjuk:

11.95. egyenlet - (97.10)

R 0 0 = 1 2 t ϰ α α 1 4 ϰ α β ϰ β α , R 0 α = 1 2 ( ϰ α ; β β ϰ β ; α β ) , R α β = P α β + 1 2 t ϰ α β + 1 4 ( ϰ α β ϰ γ γ 2 ϰ α γ ϰ β γ ) .

Itt Pαβ a háromdimenziós Ricci-tenzor, amelyet a γαβ komponensekből ugyanúgy kelt felépíteni, ahogyan a gik-kból az Rik tenzort; az alábbiakban Pαβ indexeit is a γαβ metrikus tenzor segítségével húzzuk fel.

Az Einstein-egyenleteket kevert komponensekben adjuk meg:

11.96. egyenlet - (97.11)

R 0 0 = 1 2 t ϰ α α 1 4 ϰ α β ϰ β α = 8 π k T 0 0 1 2 T ,

11.97. egyenlet - (97.12)

R α 0 = 1 2 ( ϰ α ; β β ϰ β ; α β ) = 8 π k T α 0 ,

11.98. egyenlet - (97.13)

R α β = P α β 1 2 γ t ( γ ϰ α β ) = 8 π k T α β 1 2 δ α β T .

A szinkronizált vonatkoztatási rendszerek egyik jellemző tulajdonsága, hogy nem stacionáriusak: a gravitációs tér egy ilyen rendszerben nem lehet állandó. Állandó gravitációs térben ugyanis ϰαβ=0 lenne. Ez azonban, anyag jelenlétében, ellentmondásban állna a (97.11) egyenlettel (amelynek jobb oldala zérustól különbözik). Üres térben pedig (97.13)-ból azt kapnánk, hogy az összes Pαβ és ezért a Pαβγδ háromdimenziós görbületi tenzor valamennyi komponense is zérussá válik, ami azt jelenti, hogy egyáltalán nincs erőtér (szinkronizált rendszerben euklideszi térmetrika esetén a téridőkontinuum nem görbült).

Szinkronizált vonatkoztatási rendszerben általában a teret kitöltő anyag sem lehet nyugalomban. Ez nyilvánvaló abból, hogy olyan anyag részecskéi, amelyben nyomóerők hatnak, általában nem geodetikus vonal mentén mozognak; ugyanakkor a nyugalomban levő részecske világvonala idővonal, amely szinkronizált rendszerben geodetikus. Kivételt csak a „porszerű” (p=0) anyag képez. Mivel egy ilyen anyag részecskéi nem állnak kölcsönhatásban egymással, geodetikus világvonal mentén mozognak; ebben az esetben tehát a vonatkoztatási rendszer szinkronizáltságának feltétele nem mond ellent a rendszerben levő anyag „együttes mozgása” feltételének.[150] Más állapotegyenleteknél hasonló helyzet csak akkor lehetséges, ha az összes vagy némely irányban a nyomás gradiense zérus.

(97.11) egyenlet segítségével megmutathatjuk, hogy a metrikus tenzor –g=γ determinánsának szinkronizált vonatkoztatási rendszerben feltétlenül zérussá kell válnia véges idő alatt.

E célból megjegyezzük, hogy a (97.11) jobb oldalán álló kifejezés tetszőleges anyageloszlás esetén is állandó. Ugyanis a (94.9) energia-impulzus-tenzorra szinkronizált vonatkoztatási rendszerben a

T 0 0 1 2 T = 1 2 ( 𝜀 + 3 p ) + ( p + 𝜀 ) v 2 1 v 2

kifejezést kapjuk [a négyessebesség komponenseit (99.14)-ből vettük], amely nyilvánvalóan pozitív. E tulajdonság érvényes marad az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorára is (T=0, T00 az erőtér pozitív energiasűrűsége). Így (97.11)-ből azt kapjuk, hogy

11.99. egyenlet - (97.14)

R 0 0 = 1 2 t ϰ α α + 1 4 ϰ α β ϰ β α 0

(az egyenlőségjel üres térben érvényes).

Felhasználva a

ϰαβϰβα13(ϰαα)2

egyenlőséget,[151](97.14)-et

tϰαα+16(ϰαα)20

vagy

11.100. egyenlet - (97.15)

t 1 ϰ α α 1 6

alakba írhatjuk át. Legyen például valamely időpillanatban ϰαα pozitív. Ekkor t csökkenésével az 1∕ϰαα mennyiség, is csökken, miközben deriváltja mindig véges (nem zérus), és ezért 1∕ϰαα véges idő alatt zérussá válik. Más szóval, ϰαα+∞-né válik, és minthogy ϰαα=∂lnγ∕∂t, ez azt jelenti, hogy a γ determináns zérussá válik [mégpedig a (97.15) egyenlőtlenség szerint, nem gyorsabban, mint t6]. Ha a kiindulási időpillanatban ϰαα<0, akkor ugyanez növekvő időre igaz.

Ez az eredmény azonban még egyáltalán nem bizonyítja, hogy a metrikában okvetlenül léteznie kell a valódi, fizikai szingularitásnak. Csak olyan szingularitást tekintünk fizikainak, amely a téridőnek belső tulajdonsága, és nincs összefüggésben a vonatkoztatási rendszer választásának jellegével. (Egy ilyen szingularitást okvetlenül az jellemez, hogy a végtelenben skaláris mennyiségek, mint az anyagsűrűség vagy a görbületi tenzor invariánsai, zérussá válnak.) A szinkronizált vonatkoztatási rendszerben fellépő szingularitás, amelynek elkerülhetetlenségét most bizonyítottuk, általában fiktív, amely másik (nem szinkronizált) vonatkoztatási rendszerre áttérve eltűnik. Felléptük egyszerű geometriai megfontolásokból megérthető.

A fentiekben láttuk, hogy szinkronizált vonatkoztatási rendszer megszerkesztése visszavezethető tetszőleges térszerű hiperfelületre merőleges geodetikus vonalsereg megtalálására. Egy tetszőlegesen adott halmazhoz tartozó geodetikus vonalak azonban általában bizonyos burkoló felületekben metszik egymást, amelyek a geometriai optika kausztikus felületeinek négydimenziós analogonjai. A koordinátavonalak metszéspontja pedig természetesen az adott koordináta-rendszerben a metrika szingularitási pontja. A szingularitások felléptének tehát olyan geometriai okai vannak, amelyek a szinkronizált vonatkoztatási rendszer speciális tulajdonságaival kapcsolatosak, ezért nincs fizikai jelentésük. A négyestér tetszőleges metrikája általában megengedi egymást nem metsző időszerű geodetikus vonalcsaládok létezését is. Az, hogy szinkronizált vonatkoztatási rendszerben a γ determináns elkerülhetetlenül zérussá válik, azt jelenti, hogy a valódi (nem feltétlenül euklideszi) téridő görbületének a téregyenletek által megengedett tulajdonságai (amelyeket az R00≥0 egyenlőtlenség fejez ki) kizárják a geodetikus vonalak egymást nem metsző halmazainak létezését, ezért az idővonalak minden szinkronizált vonatkoztatási rendszerben elkerülhetetlenül metszik egymást.[152]

Mint már említettük, a szinkronizált vonatkoztatási rendszer porszerű anyagra, egyidejűleg együtt mozgó is lehet. Ebben az esetben az anyagsűrűség a kausztikán végtelenné válik egyszerűen annak következtében, hogy a részecskéknek az idővonalakkal azonos világvonalai metszik egymást. Világos azonban, hogy a sűrűség ilyen szingularitása már infinitezimálisan kis nyomás bevezetésével is megszüntethető, és ebben az értelemben a porszerű anyagban fellépő szingularitás sem fizikai.

Feladatok

1. Írjuk fel a gravitációs egyenletek megoldását vákuumban idő szerinti sor alakjában egy nem szinguláris időpont környezetében.

Megoldás. A vizsgált időpontot az időmérés kezdőpontjának választva, γαβ-t a

11.101. egyenlet - (1)

γ α β = a α β + t b α β + t 2 c α β +

alakban keressük, ahol aαβ, bαβ, cαβ a térkoordináták függvényei. Ugyanebben a közelítésben az inverz tenzor:

γαβ=aαβtbαβ+t2(bαγbγβcαβ),

ahol aαβ az aαβ tenzor inverze; az indexek felhúzását a többi tenzornál aαβ segítségével végezzük. Emellett fennáll a

ϰαβ=bαβ+2tcαβ,ϰαβ=bαβ+t(2cαβbαγbβγ)

összefüggés is.

(97.11)(97.13) Einstein-egyenletek az alábbi összefüggéseket adják:

11.102. egyenlet - (2)

R 0 0 = c + 1 4 b α β b β α = 0 ,

11.103. egyenlet - (3)

R α 0 = 1 2 ( b α ; β β b ; α ) + t c ; α + 3 8 ( b β γ b γ β ) ; α + c α ; β β + 1 4 b α β b ; β 1 2 ( b α γ b γ β ) ; β = 0 ,

11.104. egyenlet - (4)

R α β = P α β 1 4 b α β b + 1 2 b α γ b γ β c α β = 0

(b=bαα, c=cαα). A kovariáns deriválás itt az aαβ metrikájú háromdimenziós térre vonatkozik; ugyanezzel a metrikával kell meghatározni Pαβ tenzort is.

(4)-ből a cαβ együtthatók teljesen meghatározhatók az aαβ és bαβ segítségével. Ezután (2) a

11.105. egyenlet - (5)

P + 1 4 b 2 1 4 b α β b β α = 0

összefüggést adja. A (3)-ban a nullarendű tagokból azt kapjuk, hogy

11.106. egyenlet - (6)

b α ; β β = b ; α .

(3) egyenletben a ∼t-ed rendű tagok az (5) és (6) képlet [és a Pα;ββ=(1/2)P;α azonosság; lásd (92.10)-et] behelyettesítésével azonosan zérussá válnak.

A 12aαβ, bαβ mennyiséget tehát az egyetlen összefüggést jelentő (5) és a három egyenlőséget adó (6) egyenletek kapcsolják össze úgy, hogy megmarad a három térkoordináta nyolc tetszőleges függvénye. Három közülük a három térkoordináta önkényes megválaszthatóságával, egy pedig a vonatkoztatási rendszer szinkronizálásánál szereplő kiindulási hiperfelület tetszőleges megválaszthatóságával kapcsolatos. Tehát, amint annak lennie kell (lásd a  95. § végét), négy „fizikailag különböző” meghatározatlan függvény marad.

2. Számítsuk ki az Riklm görbületi tenzor komponenseit szinkronizált vonatkoztatási rendszerben.

Megoldás.(97.9) Christoffel-szimbólumok segítségével a (92.1) képlet szerint azt kapjuk, hogy,

R α β γ δ = P α β γ δ + 1 4 ( ϰ α δ ϰ β γ ϰ α γ ϰ β δ ) , R 0 α β γ = 1 2 ( ϰ α γ ; β ϰ α β ; γ ) , R 0 α 0 β = 1 2 t ϰ α β 1 4 ϰ α γ ϰ β γ

ahol Pαβγδ a γαβ háromdimenziós térbeli metrikának megfelelő görbületi tenzor.

3. Határozzuk meg annak az infinitezimális transzformációnak általános alakját, amely nem sérti a vonatkoztatási rendszer szinkronizáltságát.

Megoldás. A transzformáció alakja:

t t + φ ( x 1 , x 2 , x 3 ) , x α x α + ξ α ( x 1 , x 2 , x 3 , t ) ,

ahol φ, ξα kis mennyiségek. A g00=1 feltételt azáltal tartjuk tiszteletben, hogy φ nem függ t-től, a g0α=0 feltétel megőrizhető, ha teljesülnek a

γ α β ξ β t = φ x α

egyenletek, amiből következik, hogy

11.107. egyenlet - (1)

ξ α = φ x β γ α β d t + f α ( x 1 , x 2 , x 3 ) ,

ahol az fα-k ismét kis mennyiségek (amelyek egy f háromdimenziós vektort alkotnak). Ekkor a γαβ térbeli metrikus tenzor átmegy a

11.108. egyenlet - (2)

γ α β γ α β + ξ α ; β + ξ β ; α φ ϰ α β

tenzorba [amiről könnyen meggyőződhetünk (94.3) segítségével].

A transzformáció, amint annak lennie kell, a térkoordináták négy tetszőleges (kis) függvényét, φ-t és fα-t tartalmazza.



[148] Ebben a paragrafusban c=1-gyel számolunk.

[149] Ez azonban természetesen nem vonatkozik az Rik, Tik négyestenzorok térkomponenseit jelölő indexek fel- és lehúzására (lásd a  88. §  23 számú lábjegyzetét). Így a Tαβ, mint korábban, az gβγTγα+g0βT0α összeget jelenti, ami az adott esetben gβγTγα-ra redukálódik, és ez előjelben különbözik γβγTγα-tól.

[150] Még ebben az esetben is csak akkor választhatunk „szinkronizáltan együttmozgó” vonatkoztatási rendszert, ha az anyag „forgás nélkül” mozog. Együttmozgó rendszerben a négyessebesség kontravariáns komponensei u0=1, uα=0. Ha a vonatkoztatási rendszer ezenkívül még szinkronizált is, akkor a kovariáns komponensekre szintén u0=1, uα=0, ezért a négyes szögsebesség ui;k–uk;i≡(∂ui/∂xk)–(∂uk/∂xi)=0. Ennek a tenzoregyenlőségnek viszont tetszőleges másik vonatkoztatási rendszerben is igaznak kell lennie. Így egy szinkronizált, de nem együttmozgó rendszerben a v háromdimenziós sebességre a rotv=0 feltételt kapjuk.

[151] Az egyenlőtlenség érvényességéről könnyen meggyőződhetünk a ϰαβ tenzor (tetszőleges időpillanatban végrehajtott) diagonalizálásával.

[152] A metrikának a szinkronizált vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív szingularitás közelében való analitikus meghatározását illetően lásd E. M. Lifsic, V. V. Szudakov, I. M. Halatnyikov ZSETF 40, 1847 (1961). E metrika általános tulajdonságai geometriai megfontolásokkal tisztázhatók. A kausztikus hiperfelület minden esetben tartalmaz időszerű ívhosszakat (a geodetikus idővonalaknak a kausztikus felülettel való érintési pontjaikban vett ívelemeket), így az nem lehet térszerű. Továbbá a kausztikus felületen zérussá válik a γαβ metrikus tenzor egyik főértéke, ami annak felel meg, hogy zérussá válik a távolság (δ) két olyan szomszédos geodetikus vonal között, amelyek a kausztikus hiperfelülettel való érintési pontjaikban metszik egymást. δ a metszési ponttól mért távolság (l) első hatványával tart zérushoz. Ezért a metrikus tenzor főértéke, így a γ determináns is l2 szerint tartanak nullához.

Szinkronizált vonatkoztatási rendszert úgy is konstruálhatunk, hogy az idővonalak egy kétdimenziós felületen messék egymást, azaz olyan ponthalmazon, amelynek dimenziószáma kisebb, mint egy hiperfelületé. Ezt a felületet a megfelelő geodetikus vonalcsalád fokális felületének is nevezhetjük. Ilyen metrika analitikus konstrukcióját illetően lásd V. A. Belinszkij, I. M. Halatnyikov, ZSETF, 49, 1000 (1965) cikkét.