Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

98 §. Az Einstein-egyenletek négyláb-ábrázolása

98 §. Az Einstein-egyenletek négyláb-ábrázolása

Valamilyen tetszőlegesen választott metrika esetén a Ricci-tenzor komponenseinek meghatározása (így az Einstein-egyenletek felírása is) általában meglehetősen bonyolult számításokkal jár. Ezért mindazok a képletek, amelyek bizonyos esetekben lehetővé teszik e számítások egyszerűsítését és az eredmény áttekinthetőbb alakban való megadását, nagy jelentőségűek. Ilyen a görbületi tenzor „négylábak” segítségével való, kifejezése.

Vezessünk be négy (az a indexszel számozott) lineárisan független bázis-négyesvektort, e(a)i-kat, amelyek mindössze az

11.109. egyenlet - (98.1)

e ( a ) i e ( b ) i = η a b

feltételnek tartoznak eleget tenni, ahol ηab előre megadott +––– szignatúrájú állandó mátrix; az ηab mátrix inverzét ηab-vel jelöljük (ηacηcb=δba).[153] Az e(a)i vektornégyes (négyláb, kvartett) mellett vezessük be az

11.110. egyenlet - (98.2)

e i ( a ) e ( b ) i = δ b a

feltételekkel definiált reciprok e(a)i vektornégyest is. Minden e(a)i vektor merőleges három e(b)i (b≠a) vektorra. A (98.2) egyenletet e(a)k-val megszorozva, azt kapjuk, hogy (e(a)kei(a))e(b)i=e(b)k, amiből látható, hogy (98.2)-vel együtt automatikusan teljesülnek az

11.111. egyenlet - (98.3)

e i ( a ) e ( a ) k = δ i k

egyenlőségek is.

Az e(a)ie(c)i=ηac egyenletet mindkét oldalról ηbc-vel szorozva:

e ( a ) i ( η b c e ( c ) i ) = δ a b ;

(98.2)-vel való összehasonlítás után adódik, hogy

11.112. egyenlet - (98.4)

e i ( b ) = η b c e ( c ) i , e ( b ) i = η b c e i ( c ) .

A bázisindexek fel- és lehúzását tehát az ηbc és ηbc be mátrixok segítségével végezhetjük.

Az így bevezetett bázisvektorok azért jelentősek, mert segítségükkel a metrikus tenzort kifejezhetjük. Valóban, egy négyesvektor kovariáns és kontravariáns komponensei kapcsolatának definíciója szerint ei(a)=gile(a)l; az egyenlet mindkét oldalát e(a)k-val megszorozva és a (98.3), (98.4) összefüggéseket felhasználva, azt kapjuk, hogy

11.113. egyenlet - (98.5)

g i k = e ( a ) i e k ( a ) = η a b e i ( a ) e k ( b ) .

(98.5) metrikus tenzorhoz tartozó ívelemnégyzet a következő alakot ölti:

11.114. egyenlet - (98.6)

d s 2 = η a b ( e i ( a ) d x i ) ( e k ( b ) d x k ) .

Ami a tetszőlegesen megoldható ηab mátrixot illeti, legkézenfekvőbb azt „Galilei-féle” alakúnak választani (tehát diagonális mátrixnak. 1, –1, –1, –1 elemekkel); ekkor (98.1) szerint a bázisvektorok merőlegesek egymásra, egyikük időszerű, a másik három pedig térszerű.[154] Hangsúlyozzuk azonban, hogy egy ilyen választás egyáltalán nem kötelező, és bizonyos esetekben előfordulhat (például a metrika szimmetriatulajdonságai következtében), hogy nem ortogonális kvartett választása célszerű.[155]

Az Ai négyesvektor négylábra vonatkoztatott komponenseit (és hasonlóan bármilyen rendű négyestenzorét is) a bázis-négyesvektorokra való „vetületként” definiáljuk:

11.115. egyenlet - (98.7)

A ( a ) = e ( a ) i A i , A ( a ) = e i ( a ) A i = η a b A ( b ) .

Megfordítva:

11.116. egyenlet - (98.8)

A i = e i ( a ) A ( a ) , A i = e ( a ) i A ( a ) .

Ugyanígy definiáljuk az „a irány mentén vett” differenciálás műveletét is:

φ,(a)=e(a)iφxi.

Vezessük be a továbbiakban szükséges

11.117. egyenlet - (98.9)

γ a b c = e ( a ) i ; k e ( b ) i e ( c ) k

mennyiségeket[156] és lineáris kombinációikat:

11.118. egyenlet - (98.10)

λ a b c = γ a b c γ a c b = ( e ( a ) i ; k e ( a ) k ; i ) e ( b ) i e ( c ) k = ( e ( a ) i , k e ( a ) k , i ) e ( b ) i e ( c ) k .

(98.10)-beli utolsó egyenlőség (86.12)-bői következik; megjegyezzük, hogy a λabc mennyiségeket a bázisvektorok egyszerű differenciálásával számíthatjuk ki. γabc-nek λabc -vel való kifejezése:

11.119. egyenlet - (98.11)

γ a b c = 1 2 ( λ a b c + λ b c a λ c a b ) .

Ezek a mennyiségek az alábbi szimmetriatulajdonságokkal rendelkeznek:

11.120. egyenlet - (98.12)

γ a b c = γ b a c , λ a b c = λ c a b .

Határozzuk meg a görbületi tenzor négylábkomponenseit. E cél érdekében (91.6) definícióból indulunk ki, ezt a bázisvektorok kovariáns deriváltjaira alkalmazva:

e ( a ) i ; k ; l e ( a ) i ; l ; k = e ( a ) m R m i k l

R ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) = ( e ( a ) i ; k ; l e ( a ) i ; l ; k ) e ( b ) i e ( c ) k e ( d ) l .

Ezt a kifejezést könnyen átírhatjuk a γabc mennyiségek segítségével. Az

e ( a ) i ; k = γ a b c e i ( b ) e k ( c )

összefüggést használjuk, majd ismételt kovariáns deriválás után a bázisvektorok differenciálhányadosait újból ugyanúgy kifejezhetjük; eközben a γabc skalármennyiség kovariáns deriváltja megegyezik közönséges deriváltjával.[157] Eredményünk:

11.121. egyenlet - (98.13)

R ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) = γ a b c , d γ a b d , c + γ a b f ( γ f c d γ f d c ) + γ a f c γ f b d γ a f d γ f b c ,

ahol az általános szabálynak megfelelően γabc=ηadγdbc stb.

E tenzor a, c indexpárját összeejtve a Ricci-tenzor keresett négylábkomponenseit kapjuk; adjuk meg e komponensek λabc mennyiségekkel való kifejezését:

11.122. egyenlet - (98.14)

R ( a ) ( b ) = 1 2 λ a b , c c + λ b a , c c + λ c c a , b + λ c c b , a + λ b c d λ c d a + λ b c d λ d c a 1 2 λ b c d λ a c d + λ c c d λ a b d + λ c c d λ b a d .

Végül vegyük észre: a levezetésben lényegében sehol sem használtuk fel, hogy a metrika négydimenziós. Ezért a kapott eredményeket a háromdimenziós Riemann-és Ricci-tenzorok háromdimenziós metrika szerint való kiszámítására is alkalmazhatjuk. Ilyenkor természetesen a négyesvektorokból alkotott négyláb helyett a hármasvektorokból alkotott háromlábbal lesz dolgunk, az ηab mátrix pedig +++ szignatúrájú (ilyen alkalmazást a  116. §-ban fogunk látni).



[153] Ebben a szakaszban az a,b,c,… latin betűkkel a bázisvektorokat számozó indexeket jelöljük; a négyestenzorok indexeit az előzőekhez hasonlóan az i,k,l,… betűk jelölik. Az irodalomban elterjedt szokás a bázisindexeket zárójelben álló indexekkel (vagy számokkal) jelölni. A képletek túlzottan körülményes írásmódjának elkerülése céljából zárójeleket csupán ott alkalmazunk, ahol a bázisindexek a négyestenzor-indexekkel együtt (vagy ugyanolyan körülmények között) szerepelnek. Olyan mennyiségek esetében, amelyeknek a definíció szerint csak bázisindexeik vannak (például ηab és az alábbiakban γabc, λabc), a zárójeleket elhagyjuk. Minden kétszer ismétlődő bázisindexre (mint a tenzorindexekre is) összegezni kell.

[154] A négyestér adott elemében a koordinátatengely szakaszainak a dx(α)=ei(α)dxi lineáris alakokat választva (és „Galilei-féle” ηab-t véve), egyúttal ebben a térfogatelemben a metrikát Galilei-alakra hozzuk. Ismételten hangsúlyozzuk, hogy a dx(α)-k általában nem adhatók meg a koordináták valamilyen függvényének teljes differenciáljaként.

[155] A négyláb célszerű megválasztását sugallhatja már az is, ha ds2-et előzetesen (98.6) alakra hozzuk. ds2(88.13) alakban való kifejezésének az ei(0)=(√h,–√hg), ei(α)=(0,e(α)) bázisvektorok felelnek meg, ahol e(α) megválasztása dl2 térbeli alakjától függ.

[156] A γabc mennyiségeket Ricci-féle forgási együtthatóknak nevezzük.

[157] A teljesség kedvéért megadjuk tetszőleges négyesvektor és négyestenzor kovariáns deriváltjaira hasonló transzformációval adódó kifejezéseket: Ai;ke(a)ie(b)k=A(a),(b)+A(d)γdab,Aik;le(a)ie(b)ke(c)l=A(a),(b),(c)+A (b)(d)γdac+A(a) (d)γdbc stb.