Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

12. fejezet - GRAVITÁLÓ TESTEK ERőTERE

12. fejezet - GRAVITÁLÓ TESTEK ERőTERE

99 §. A Newton-törvény

Vizsgáljuk az Einstein-egyenletek klasszikus mechanikának megfelelő határesetét. Amint a  87. §-ban megmutattuk: az a feltételezés, hogy valamennyi részecske sebessége kicsi, azt is megköveteli, hogy a gravitációs erőtér gyenge legyen.

87. §-ban a metrikus tenzor g00 komponensére (ez az egyetlen komponens, amelyre szükségünk lesz) a vizsgált határesetben az alábbi kifejezést vezettük le:

g 0 0 = 1 + 2 φ c 2 .

Továbbá, az energia-impulzus-tenzor komponenseire a (35.4)Tik=μc2uiuk kifejezést használhatjuk, ahol μ a test tömegsűrűsége (az egységnyi térfogatban levő részecskék nyugalmi tömege; μ-nek a 0 indexét a rövidség kedvéért elhagytuk). Mivel természetesen azt is feltételezzük, hogy a makroszkopikus mozgás lassú, ui térkomponensei elhanyagolhatók, tehát uα=0-t és u0=u0=1-et írhatunk. Így Tik komponenseiből mindössze egy marad meg:

12.1. egyenlet - (99.1)

T 0 0 = μ c 2 .

A T=Tii skalár ugyancsak μc2-tel egyenlő.

A téregyenletek (95.8)

R i k = 8 π k c 4 T i k 1 2 δ i k T

alakját használva, i=k=0 esetén

R 0 0 = 4 π k c 2 μ .

A vizsgált esetben az összes többi egyenlet azonosan eltűnik, amint arról könnyen meggyőződhetünk.

R 0 0-nak a (92.7) általános képletből való kiszámításához előzetesen megjegyezzük, hogy a Γkli mennyiségek deriváltjait tartalmazó tagok minden esetben másodrendűen kis mennyiségek. A x0=ct szerinti deriválásokat tartalmazó tagok szintén kicsik (az xα térkoordináták szerinti deriváltakat tartalmazó tagokhoz képest), mert egy 1∕c szorzó szerepel bennük. Végeredményben:

R 0 0 = R 0 0 = Γ 0 0 α x α .

Behelyettesítve a

Γ 0 0 α 1 2 g β β g 0 0 x α = 1 c φ x α

értéket:

R 0 0 = 1 c 2 2 φ x 2 1 c 2 φ .

Tehát a téregyenletekből azt kapjuk, hogy

12.2. egyenlet - (99.2)

φ = 4 π k μ .

Ez pedig éppen a gravitációs erőtér newtoni mechanikából ismert egyenlete. Formailag (99.2) pontos hasonmása az elektrosztatikus potenciál (36.4) Poisson-egyenletének, csak most töltéssűrűség helyett a –k-val szorzott tömegsűrűség áll. Ezért a (96.2) általános megoldását (36.8)-hoz hasonlóan azonnal felírhatjuk:

12.3. egyenlet - (99.3)

φ = k μ d V R .

Ez a képlet, nemrelativisztikus közelítésben tetszőleges tömegeloszlás esetén meghatározza a gravitációs potenciált.

Speciálisan, egy m tömegű részecske potenciálja:

12.4. egyenlet - (99.4)

φ = k m R ,

és így ebben a térben egy másik (m′ tömegű) részecskére ható F=–m′∂φ∕∂R erőt az

12.5. egyenlet - (99.5)

F = k m m R 2

képlet adja meg. Ez az általános tömegvonzás jól ismert Newton-féle törvénye.

Gravitációs térben levő részecske potenciális energiája egyenlő az erőtér potenciáljának a részecske tömegével képzett szorzatával, mint ahogyan az elektromos erőtérben a potenciális energia egyenlő a töltés és az erőtér elektromos potenciáljának szorzatával. Ezért (37.1) mintájára tetszőleges tömegeloszlás potenciális energiáját az alábbi kifejezés adja meg:

12.6. egyenlet - (99.6)

U = 1 2 μ φ d V .

Az állandó gravitációs erőtér potenciáljára a teret létrehozó testtől nagy távolságban az elektrosztatikus térre a  4142. §-okban kapott sorfejtéshez hasonlót írhatunk fel. Válasszuk a koordináta-rendszer origójának a tömegközéppontot. Ekkor a töltésrendszer dipólmomentumának megfelelő ∫μrdV integrál azonosan eltűnik. Emiatt, az elektromos erőtérrel ellentétben, gravitációs erőtérben mindig ki lehet zárni a „dipól-tagot”. A φ potenciál sorba fejtett alakja tehát

12.7. egyenlet - (99.7)

φ = k M R 0 + 1 6 Q α β 2 X α X β 1 R 0 + ,

ahol M=μdV a rendszer össztömege, a

12.8. egyenlet - (99.8)

Q α β = μ ( 3 x α x β r 2 δ α β ) d V

mennyiséget pedig a tömeg kvadropólmomentum-tenzorának nevezhetjük.[158] A Qαβ mennyiségek a

Θαβ=μ(r2δαβxαxβ)dV

tehetetlenségi nyomaték szokásos tenzorával

12.9. egyenlet - (99.9)

Q α β = Θ γ γ δ α β 3 Θ α β

kapcsolatban vannak.

Adott tömegeloszláshoz tartozó Newton-féle potenciál meghatározása a matematikai fizika egyik fejezetét képezi; a megfelelő módszerek ismertetése nem lehet e könyv feladata. Szemléltetésként levezetjük egy homogén, ellipszoid alakú test által létrehozott gravitációs erőtér potenciálját meghatározó képleteket.

Adjuk meg az ellipszoidot az

12.10. egyenlet - (99.10)

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , a > b > c

egyenlettel. Ekkor az erőtér potenciálját tetszőleges, a testen kívül levő x, y, z pontban a következő integrál adja meg:

12.11. egyenlet - (99.11)

φ = π μ a b c k ξ 1 x 2 a 2 + s y 2 b 2 + s z 2 c 2 + s d s R s , R s = ( a 2 + s ) ( b 2 + s ) ( c 2 + s ) ,

ahol ξ az

12.12. egyenlet - (99.12)

x 2 a 2 + ξ + y 2 b 2 + ξ + z 2 c 2 + ξ = 1

egyenlet pozitív gyöke. A potenciált az ellipszoid belsejében a

12.13. egyenlet - (99.13)

φ = π μ a b c k 0 1 x 2 a 2 + s y 2 b 2 + s z 2 c 2 + s d s R s

képlet határozza meg, amely abban különbözik (99.11)-től, hogy itt az integrálás alsó határa zérus; megjegyezzük, hogy ez a kifejezés az x, y, z koordináták kvadratikus függvénye.

A test gravitációs energiáját (99.6) szerint úgy kaphatjuk meg, hogy integráljuk (99.13)-at az ellipszoid térfogatára. Az integrálás elemi úton[159] elvégezhető, és azt adja, hogy

U = 3 k m 2 8 0 1 5 x 2 a 2 + s + y 2 b 2 + s + z 2 c 2 + s 1 d s R s = 3 k m 2 8 0 2 5 d s 1 R s 2 5 d s R s

(m=(4π/3)abcμ a test össztömege); az első tagot parciálisan integrálva végeredményül azt kapjuk, hogy

12.14. egyenlet - (99.14)

U = 3 k m 2 1 0 0 d s R s .

(99.11)(99.14) képletekben szereplő valamennyi integrál visszavezethető egy első- vagy másodrendű elliptikus integrálra. Forgási ellipszoidok esetén ezek elemi függvények segítségével kifejezhetők. Speciálisan, lapos forgási ellipszoid (a=b>c) gravitációs energiája:

12.15. egyenlet - (99.15)

U = 3 k m 2 5 a 2 c 2 arccos c a ,

a megnyúlt forgási ellipszoidé (a>b=c) pedig

12.16. egyenlet - (99.16)

3 k m 2 5 a 2 c 2 arch a c .

Gömbre (a=c) mindkét összefüggés az U=–3km2∕5a értéket adja, amely természetesen elemi úton is levezethető.[160]

Feladat

Határozzuk meg egy egészében egyenletesen forgó, saját gravitációs erőtere által összetartott, homogén tömegeloszlású folyadék egyensúlyi alakját.

Megoldás. Az egyensúly feltétele az, hogy a test felületén a gravitációs potenciál és a „centrifugális erő” potenciáljának összege állandó legyen:

φ ω 2 2 ( x 2 + y 2 ) = c o n s t

(ω a forgás szögsebessége; a forgás tengelye a z tengely). A keresett alak egy lapos forgási ellipszoid. Az ellipszoid paramétereinek meghatározása céljából az egyensúlyi feltételbe behelyettesítjük (99.13)-at és a (99.10) segítségével kiküszöböljük z2-et; eredményünk:

( x 2 + y 2 ) d s ( a 2 + s ) 2 c 2 + s ω 2 2 π μ k a 2 c c 2 a 2 d s ( a 2 + s ) ( c 2 + s ) 3 2 = c o n s t ,

amiből az következik, hogy a szögletes zárójelben levő kifejezés nulla. Az integrálásokat elvégezve, végeredményként az

( a 2 + 2 c 2 ) c ( a 2 c 2 ) 3 2 arccos c a 3 c 2 a 2 c 2 = ω 2 2 π k μ = 2 5 6 4 π 3 1 3 J 2 μ 1 3 m 1 0 3 k c a 4 3

egyenlet adódik (J=(2/5)ma2ω a test z tengelyre vonatkoztatott impulzusmomentuma), amely meghatározza a c∕a arányt adott ω vagy J esetén. c∕a-nak J-től való függése egyértelmű, J növelésével monoton csökken.

Kiderül azonban, hogy a fenti szimmetrikus alak csupán abban az esetben stabil (kis perturbációkkal szemben), ha J nem túlságosan nagy. Pontosabban, a stabilitás J=0,24 k1∕2m5∕3μ–1∕6 értéknél megszűnik (ekkor c∕a=0,58). J további növekedésénél az egyensúlyi alak háromtengelyű ellipszoiddá válik, fokozatosan (értelemszerűen 1-től, ill. 0,58-tól) csökkenő b∕a és c∕a értékekkel. Ez az alak aztán ismét instabillá válik J=0,31 k1∕2m5∕3μ–1∕6-nál (amikor a:b:c=1:0,43:0,34).[161]



[158] Itt valamennyi α, β indexet alul írjuk, nem különböztetjük meg a kovariáns ás kontravariáns komponenseket, mert minden műveletet a közönséges Newton-féle (euklideszi) térben hajtunk végre.

[159] Az x2, y2, z2 négyzetek integrálását legegyszerűbben az x=ax′, y=by′, z=cz′ helyettesítéssel végezhetjük el, amikor is az ellipszoid térfogatára vett integrál helyett egy egységnyi sugarú gömb térfogatára vett integrált kell kiszámítanunk.

[160] A homogén a sugarú gömb belsejében a potenciál φ=–2πkμ(a2–(r2/3)).

[161] G. Lamb: „Hidrodinamika” (XII. fejezet, Gosztyehizdat 1947.) könyvében találhatunk ezekkel a kérdésekkel foglalkozó irodalmi útmutatásokat.