Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

101 §. Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs erőtérben

101 §. Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs erőtérben

Vizsgáljuk meg egy test gömbszimmetrikus gravitációs erőtérben végzett mozgását. Mint minden gömbszimmetrikus erőtérben, a mozgás most is a koordináták kezdőpontján átmenő síkban megy végbe; válasszuk e síkot a 𝜃=π∕2 síknak.

A részecske pályájának meghatározása céljából a Hamilton–Jacobi-egyenletet használjuk:

g i k S x i S x k m 2 c 2 = 0 ,

itt m a részecske tömege. Az erőteret létesítő test tömegét m′-vel jelöljük.

(100.14) metrikus tenzor segítségével ez az egyenlet az

12.51. egyenlet - (101.1)

1 r g r 1 S c t 2 1 r g r S r 2 1 r 2 S φ 2 m 2 c 2 = 0

alakra hozható, ahol rg=2m′k∕c2 a középponti test gravitációs sugara.

A Hamilton–Jacobi-egyenlet megoldásának általános szabálya szerint S-et az

12.52. egyenlet - (101.2)

S = 0 t + J φ + S r ( r )

alakban keressük, állandó ℰ0 energia és J impulzusmomentum mellett. Ezt (101.1)-be helyettesítve, megkapjuk a dSr∕dr deriváltat, amiből azután

12.53. egyenlet - (101.3)

S r = 0 2 c 2 1 r g r 2 m 2 c 2 + J 2 r 2 1 r g r 1 1 2 d r .

Az r=r(t) függést ismeretes módon a ∂S∕∂ℰ0=const egyenlet határozza meg (lásd az I. kötet 47. §-át), amiből

12.54. egyenlet - (101.4)

c t = 0 m c 2 d r 1 r g r 0 m c 2 2 1 + J 2 m 2 c 2 r 2 1 r g r 1 2 .

A pályát ∂S∕∂J=const egyenletből származtatjuk, eredményül azt kapjuk, hogy

12.55. egyenlet - (101.5)

φ = J d r r 2 0 2 c 2 m 2 c 2 + J 2 r 2 1 r g r .

Ez az integrál elliptikus integrállá alakítható.

A Nap gravitációs erőterében levő bolygók mozgásához, mivel a bolygók sebessége nagyon kicsi a fénysebességhez viszonyítva, a relativisztikus elmélet a Newton-elmélethez képest csupán jelentéktelenül kis járulékot ad.(101.5) pályaegyenletben ennek megfelelően kicsi az rg∕r hányados, ahol rg a Nap gravitációs sugara.[165]

A pálya kiszámításakor fellépő relativisztikus járulék meghatározásához célszerű a (101.3) kifejezésből, a hatás sugártól függő részének a J szerint való differenciálás előtti alakjából kiindulni.

Hajtsunk végre integráltranszformációt az r(r–rg)=r′2, azaz r–rg∕2≈r′ új változó bevezetésével, melynek eredményeképpen a gyök alatt a J2-et tartalmazó tag J2∕r′2 alakú lesz. A többi tagban rg∕r′ hatványai szerint sorba fejtve, a szükséges pontossággal azt kapjuk, hogy

12.56. egyenlet - (101.6)

S r = 2 m + 2 c 2 + 1 r ( 2 m 2 m k + 4 m r g ) 1 r 2 J 2 3 m 2 c 2 r g 2 2 1 2 d r ,

ahol az integrációs változó mellől elhagytuk a vesszőt, és bevezettük a nemrelativisztikus (nyugalmi energiát nem tartalmazó) ℰ′ energiát.

A gyök alatt az első két tagban szereplő együtthatókban a korrekciós tagok csak a Newton-féle ellipszispálya paraméterei, valamint a részecske energiája és impulzusmomentuma közötti (nem különösebben érdekes) összefüggésekben jelentkeznek. Az 1∕r2-hez tartozó együttható megváltozása fontosabb jelenséghez, a pálya perihéliumának szisztematikus szekuláris eltolódásához vezet.

Mivel a pálya egyenletét a φ+(∂Sr/∂J)=const egyenlőség határozza meg, a φ szög megváltozása a bolygómozgás egy periódusa alatt

Δ φ = J Δ S r ,

ahol ΔSr az Sr mennyiség megfelelő megváltozása. Az 1∕r2 együtthatójában levő kis járulék szerint sorba fejtve, azt kapjuk, hogy

Δ S r = Δ S r ( 0 ) 3 m 2 c 2 r g 2 4 J Δ S r ( 0 ) J ,

ahol ΔSr(0) a mozdulatlan zárt ellipszisen végbemenő mozgásnak felel meg. J szerint differenciálva e képlet mindkét oldalát, és figyelembe véve, hogy

J Δ S r ( 0 ) = Δ φ ( 0 ) = 2 π ,

azt kapjuk, hogy

Δ φ ( 0 ) = 2 π + 3 π m 2 c 2 r g 2 2 J 2 = 2 π + 6 π k 2 m 2 m 2 c 2 J 2 .

Itt a második tag a Newton-féle ellipszis egy körbefordulás ideje alatt történő keresett δφ elfordulása, vagyis a pálya perihéliumának elmozdulása. Az ismert J2∕km′m2=a(1–e2) képlet segítségével δφ-t kifejezhetjük az ellipszis a nagytengelyével és e excentricitásával:[166]

12.57. egyenlet - (101.7)

δ φ = 6 π k m c 2 a ( 1 e 2 ) .

Vizsgáljuk ezután a fénysugár terjedését gömbszimmetrikus gravitációs térben. A fénysugár útját a (87.9)

g i k ψ x i ψ x k = 0

eikonál-egyenlet határozza meg, amely a Hamilton–Jacobi-egyenletből m=0 helyettesítésével adódik. Ezért a sugár pályáját (98.5)-ből m=0-t írva közvetlenül is kiszámíthatjuk; a részecske ℰ0=–∂S∕∂t energiája helyett az ω=–∂ψ∕∂t frekvenciát használjuk. A J állandó helyett a ϱ=(cJ/ω0) állandót bevezetve, kapjuk, hogy

12.58. egyenlet - (101.8)

φ = d r r 2 1 ϱ 2 1 r 2 1 r g r .

A relativisztikus járulékok elhanyagolásával (rg→0) ez az egyenlet r=ϱ∕cosφ fényutat ad, azaz a koordináták kezdőpontjától ϱ távolságban haladó egyenest. A relativisztikus járulékok kiszámításakor az előző esetben mondottakhoz hasonlóan járunk el.

Az eikonál radiális része [lásd (101.3)-at]:

ψ r ( r ) = ω 0 c r 2 ( r r g ) 2 ϱ 2 r ( r r g ) d r .

Végrehajtva ugyanazokat a transzformációkat, amelyek alkalmazásával (101.3)-ból megkaptuk (101.6)-ot, a

ψ r ( r ) = ω 0 c 1 + 2 r g r ϱ 2 r 2 d r

eredményre jutunk. Az integrandust rg∕r hatványai szerint sorba fejtve, azt kapjuk, hogy

ψ r = ψ r ( 0 ) + r g ω 0 c d r r 2 ϱ 2 = ψ r ( 0 ) + r g ω 0 c arch r ϱ ,

ahol ψr(0) a klasszikus egyenes sugárnak felel meg. Amikor a sugár valamilyen nagyon nagy R távolságból közeledik a centrumhoz legközelebb eső r=ϱ pontba, majd újra R távolságra távolodik el, ψr teljes megváltozása

Δ ψ r = Δ ψ r ( 0 ) + 2 r g ω 0 c arch R ϱ .

A sugár menti φ polárszögnek ehhez az R-hez tartozó megváltozását J=ϱω0∕c szerint differenciálva kaphatjuk meg:

Δ φ = Δ ψ r J = ψ r ( 0 ) J + 2 r g R ϱ R 2 ϱ 2 .

Végül figyelembe véve, hogy az egyeneshez Δφ=π tartozik, az R→∞ határátmenetben azt kapjuk, hogy

Δ φ = π + 2 r g ϱ .

Ez azt jelenti, hogy a gravitációs erőtérben a fénysugár elgörbül: a fényút olyan görbe, amelynek konvex oldala a centrum felé esik (a fénysugarat „vonzza” a centrum), a két aszimptota által bezárt szög pedig π-től

12.59. egyenlet - (101.9)

δ φ = 2 r g ρ = 4 k m c 2 ϱ

értékkel különbözik, más szóval az erőtér középpontjától ϱ távolságban haladó fénysugár δφ szöggel térül el.[167]



[165] A Napra rg=3 km, a Föld esetében rg=0,9 cm.

[166] (101.7) képlet által meghatározott szögváltozás számszerű értékei a Merkúrra, 43,0”, a Földre 3,8” száz év alatt.

[167] A napkorong közelében elhaladó fénysugárra δφ=1,75”.