Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

102 §. Gömbszimmetrikus test gravitációs kollapszusa

102 §. Gömbszimmetrikus test gravitációs kollapszusa

(100.14) Schwarzschild-metrikában az r=rg értéknél (a „Schwarzschild-féle gömbfelületen”) a g00 zérussá, a g11 pedig végtelenné válik. Ez a körülmény egy olyan következtetésre adhatna alapot, hogy a téridőmetrikának itt szingularitása van, továbbá hogy (adott tömeg esetén) nem létezhet a gravitációs sugárnál kisebb „sugarú” test. Ilyen következtetés azonban elhamarkodott volna. Erre utal már az is, hogy a g=–r4 sin2𝜃 determinánsnak r=rg-nél nincs semmilyen szingularitása, tehát a (82.3)g<0 feltétel nem sérül meg. Látni fogjuk, hogy a g11-ben r=rg-nél fellépő szingularitás csupán azt jelenti, hogy r<rg esetén merev vonatkoztatási rendszer nem valósítható meg.

A téridőmetrika e tartományban való viselkedésének tisztázása céljából[168] hajtsuk végre a következő koordinátatranszformációt:

12.60. egyenlet - (102.1)

c τ = ± c t ± f ( r ) d r 1 r g r , R = c t + d r 1 r g r f ( r ) .

Ekkor

ds2=1rgr1f2(c2dτ2f2dR2)r2(d𝜃2+ sin2𝜃dφ2).

Az r=rg-nél levő szingularitást eltüntethetjük, ha f(r)-et úgy választjuk, hogy f(rg)=1 legyen. Az f(r)=√(rg∕r) választással az új rendszer egyúttal szinkronizált is (gττ=1). Az egyértelműség kedvéért (102.1)-ben válasszuk először a felső előjelet, ekkor azt kapjuk, hogy

Rcτ=(1f2)dr1rgrf=rrgdr=23r32rg12,

vagy

12.61. egyenlet - (102.2)

r = 3 2 ( R c τ ) 2 3 r g 1 3

(a τ időmérés kezdőpontjának választásától függő integrálási állandót zérusnak vettük). Az ívelemnégyzet

12.62. egyenlet - (102.3)

d s 2 = c 2 d τ 2 d R 2 3 2 r g ( R c τ ) 2 3 3 2 ( R c τ ) 4 3 r g 2 3 ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 ) .

Ezekben a koordinátákban a Schwarzschild-féle gömbfelület [amelynek itt a (3/2)(R–cτ)=rg egyenlet felel meg] nem szinguláris. R mindenütt térkoordináta, τ pedig időkoordináta. A (102.3) metrika nem stacionárius. Mint minden szinkronizált vonatkoztatási rendszerben, az idővonalak most is geodetikusak. Más szóval, a vonatkoztatási rendszerhez képest nyugalomban levő „próbatestek” az erőtérben szabad mozgást végeznek.

20. ábra - 20. ábra

20. ábra

r adott értékeihez az R–cτ=const világvonalak tartoznak (a  20. ábrán ezek a ferde egyenesek). A vonatkoztatási rendszerhez képest nyugalomban levő részecskék világvonalai ugyanezen az ábrán függőleges egyenesekkel ábrázolhatók; az utóbbi világvonalak mentén haladva, a részecskék a valódi idő véges intervallumának eltelte után a tér „centrumába” zuhannak (r=0), amely a metrika valódi szingularitási pontja.

Vizsgáljuk a sugárirányú fényjelek terjedését. A ds2=0 egyenlet (𝜃,φ=const esetén) a sugár menti dτ∕dR deriváltra a

12.63. egyenlet - (102.4)

c d τ d R = ± 1 3 2 r g ( R c τ ) 1 3 = ± r g r

kifejezést adja, a két előjel azon „fénykúp” határainak felel meg, amelynek csúcsa az adott világpontban van. r<rg esetén (az a pont a  20. ábrán) e határok meredeksége |cdτ∕dR|<1, így az r=const egyenes (amelynek mentén cdτ∕dR=1) a kúp belsejében halad. Az r<rg tartományban ugyanakkor (a′ pont) |cdτ∕dR|>1, tehát az r=const egyenes, ami az erőtér középpontjához képest nyugvó részecske világvonala, a fénykúpon kívül halad. A fénykúp mindkét határa véges távolságon belül merőlegesen metszi az r=0 vonalat. Mivel az egymással oksági kapcsolatban álló események nem fekhetnek a fénykúpon kívül haladó világvonalon, arra következtethetünk, hogy az r<rg tartományban nem lehetnek nyugvó részecskék. Ebben a tartományban az összes kölcsönhatás és jel az erőtér középpontja felé tart, amelyet véges τ időtartamon belül el is ér.

Hasonló módon a (102.3)-tól csak τ előjelében különböző metrikájú „táguló” rendszert kapunk, ha (102.1) transzformációban az alsó előjeleket választjuk. Ez a rendszer olyan téridőnek felel meg, amelyben (az r<rg tartományban) szintén nem létezik nyugalomban levő részecske, de itt az összes jel a középponttól távolodva terjed.

Ezek az eredmények a nagy tömegű testek általános relativitáselméletbeli tárgyalásában alkalmazhatók. A gömbszimmetrikus test relativisztikus egyensúlyi feltételeinek vizsgálata mutatja: elegendően nagy tömeg esetén előfordulhat, hogy nincs a testnek sztatikus egyensúlyi állapota (lásd az V. kötet „Newton”-gömb egyensúlya c. §-át). Nyilvánvaló, hogy egy ilyen test minden határon túl összehúzódik. (Ez az úgynevezett gravitációs kollapszus.)[169]

Nem a testhez kötött, a végtelenben Galilei-féle vonatkoztatási rendszerben [(100.14) metrika] az erőtér központi testének sugara rg-nél nem lehet kisebb. Ez azt jelenti, hogy a nagyon messze levő megfigyelő órái szerint az összezsugorodó test sugara csupán aszimptotikusan, t→∞ esetén tarthat a gravitációs sugárhoz. E közelítés aszimptotikus tulajdonságait könnyű tisztázni.

Az összehúzódó test felületén levő részecske mindig egy, a test m egész tömege által létrehozott vonzó erőtérben van. r→rg esetén a vonzóerő igen naggyá válik; ugyanakkor a test sűrűsége (és ezzel együtt nyomása) állandó marad. Emiatt a test sugarának időfüggését, a nyomóerőket elhanyagolva, egy m tömegű test terében szabadon eső próbarészecske vizsgálatára visszavezetve határozhatjuk meg.

A Schwarzschild-térben történő szabadesés r(t) függését a (101.4) integrál adja meg. A tisztán sugárirányú mozgás J impulzusmomentuma zérus. Ha tehát a szabadesés valamely t0 időpillanatban a centrumtól r0 „távolságban” zérus sebességgel kezdődik, akkor a részecske energiája ℰ0=mc2√(1–rg∕r0), és az r „távolságot” abban a t időpontban éri el, amelyre fennáll, hogy

12.64. egyenlet - (102.5)

c ( t t 0 ) = 1 r g r 0 r r 0 d r 1 r g r r g r r g r 0 .

Ez az integrál r→rg esetén –rgln(r–rg) szerint divergál. Következőleg r úgy tart rg-hez, hogy

12.65. egyenlet - (102.6)

r r g = c o n s t e c t r g .

Így a kollapszust szenvedő test gravitációs sugárhoz való közeledésének végső szakasza nagyon kis ∼rg∕c időállandójú exponenciális törvény szerint megy végbe.

Bár a kívülről megfigyelt összehúzódás sebessége aszimptotikusan zérushoz tart, a szabadon eső részecskék sajátidejében mért v sebessége éppen ellenkezőleg, a fénysebességhez tartva növekszik. Valóban, a (88.10) definíció szerint

v 2 = g 1 1 d r g 0 0 d t 2 .

A g11 és g00 mennyiségeket (100.14)-ből véve, dr∕dt-t pedig (100.5)-ből, azt kapjuk, hogy

12.66. egyenlet - (102.7)

1 v 2 c 2 = 1 r g r 1 r g r 0 .

A külső megfigyelő órái szerint a gravitációs sugárhoz való közeledés végtelen ideig tart, sajátidőben (a próbatesthez rögzített vonatkoztatási rendszerben mért időben) azonban véges időtartam elegendő. Ez már a fenti általános vizsgálatból is nyilvánvaló, de meggyőződhetünk róla közvetlenül is, kiszámítva a sajátidőt a

c τ = d s = c 2 g 0 0 d t 2 d r 2 + g 1 1 1 2 d r

invariáns integrál elvégzésével. dr∕dt-t (102.5)-ből vesszük, így az r0-ból r-be érés sajátidejére azt kapjuk, hogy

12.67. egyenlet - (102.8)

τ τ 0 = 1 c r g r r g r 0 1 2 d r .

Ez az integrál r→rg esetén konvergens.

Miután a test elérte a gravitációs sugarat, folytatja az összehúzódást, részecskéi véges sajátidőn belül a középpontba jutnak; a középpontba esés időpillanata az anyag minden egyes darabkájára vonatkozólag a téridőmetrika valódi szingularitása. A testnek Schwarzschild-féle gömbfelületen belülre történő összehúzódásának folyamata azonban külső vonatkoztatási rendszerből nem figyelhető meg. A test e gömbfelületen a t=∞ időpillanatban halad át; így azt mondhatjuk, hogy a Schwarzschild-gömb belsejében a kollapszus teljes folyamata a távoli megfigyelő „idővégtelenjében” zajlik le, szélsőséges példát szolgáltatva arra, hogy az idő múlása relatív. E képben természetesen nincs semmilyen logikai ellentmondás. Az összehúzódó vonatkoztatási rendszer fentebb említett tulajdonsága ezzel teljes összhangban van: ebben a rendszerben semmiféle jel nem jön ki a Schwarzschild-gömb belsejéből. A részecskék és fénysugarak (együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben) csupán egy irányban metszhetik ezt a gömböt: befelé haladva, és ha egyszer beértek a gömbbe, vissza már soha nem jöhetnek. Ezt az „egyirányú szelepet” eseményhorizontnak nevezzük.

A külső megfigyelő azt tapasztalja, hogy a gravitációs sugárra történő összehúzódást a test „önbezáródása” kíséri. A test által kibocsátott jelek terjedésének ideje végtelenhez tart. Ugyanis fényjelekre ds2=0 és Schwarzschild-féle rendszerben cdt=dr∕(1–rg∕r); az r-től valamely r0>r-ig való terjedés idejét a

12.68. egyenlet - (102.9)

c Δ t = r r 0 d r r r g r = r 0 r + r g ln r 0 r g r r g

integrálja adja, mely [éppen úgy, mint a (102.5) integrál] r→rg esetén divergál.

A sajátidőtartamok a test felületén a végtelen távoli megfigyelő t időtartamaihoz képest r→rg esetén

g 0 0 = 1 r g r

arányban csökkennek, tehát a testen végbemenő összes folyamat „befagy” a külső megfigyelőhöz képest. A testen kibocsátott és a távoli megfigyelő által regisztrált spektrumvonal frekvenciája csökken, nemcsak a gravitációs vörös eltolódás miatt, hanem a gömbfelülettel a centrumba zuhanó fényforrás mozgása következtében fellépő Doppler-eltolódás miatt is. Amikor már a test sugara rg közelébe jut (és így a zuhanás sebessége csaknem eléri a fénysebességet), ez a hatás a frekvenciát

1 v 2 c 2 1 + v c 1 2 1 v 2 c 2

tényezővel csökkenti. A két hatás eredményeképpen a megfigyelt frekvencia r→rg, esetén tehát az

12.69. egyenlet - (102.10)

ω = c o n s t 1 r g r

törvény szerint tart zérushoz.

A távoli megfigyelő szempontjából tehát a gravitációs kollapszus „befagyott” test keletkezésére vezet, amely a körülötte levő térbe semmilyen jelet nem küld, és a külső világgal csak sztatikus gravitációs tere révén áll kölcsönhatásban. Az ilyen képződményt fekete lyuknak (vagy kollapszárnak) nevezzük.

Befejezésül még egy metodikai jellegű megjegyzést teszünk. Láttuk, hogy vákuumban gömbszimmetrikus térre a „külső megfigyelő” végtelenben inerciális rendszere nem teljes: egy ilyen rendszerben nem figyelhetők meg a Schwarzschild-gömb belsejében mozgó részecskék világvonalai. A (102.3) metrikát ugyanakkor alkalmazhatjuk a Schwarzschild-féle gömb belsejében is, de ez a vonatkoztatási rendszer az ismert értelemben szintén nem teljes. Vizsgáljunk ugyanis ebben a rendszerben egy olyan részecskét, amely a középponttól sugárirányban távolodik. Világvonala τ→∞ esetén a végtelenbe megy, de τ→–∞ esetén egy ilyen részecske világvonalának aszimptotikusan r=rg-hez kell tartania, mivel az adott metrikában a Schwarzschild-gömb belsejében csupán a középpont felé tartó mozgás lehetséges. Másrészt a részecske r=rg-től egy tetszőleges r>rg pontba való jutásához véges sajátidőtartam szükséges. Sajátidőben tehát a gömb belsejében történő mozgás elkezdése előtt a részecskének belülről kell a Schwarzschild-gömbfelülethez jutnia; de a részecske életének ezt a részét az adott vonatkoztatási rendszerben nem lehet leírni.[170]

Hangsúlyozzuk azonban, hogy csak akkor lép fel a teljesség hiánya, ha a metrikát formálisan pontszerű tömeg által létrehozott erőtérnek tekintjük. A valódi fizikai feladatban, nevezetesen kiterjedt test kollapszusát tárgyalva, ilyen probléma nem lép fel: a (102.3) metrikának az anyag belsejében levő megoldáshoz való illesztésével adódó metrika természetesen teljes, és a részecskék összes lehetséges mozgásának történetét helyesen írja le. (Azoknak a részecskéknek a világvonalai, amelyek az r>rg tartományban a középponttól távolodva mozognak, feltétlenül az anyageloszlás felületéről indulnak ki, még mielőtt az a Schwarzschild-gömb alá húzódna.)

Feladatok

1. Határozzuk meg fekete lyuk terében mozgó részecske körpályáinak sugarát. (Sz. A. Kaplan, 1947).

Megoldás. A Schwarzschild-térben mozgó részecske r(t) függvénye a (101.4) képlettel vagy differenciális alakban az alábbi egyenlettel adható meg:

12.70. egyenlet - (1)

1 1 r g r d r c d t = 1 0 [ 0 2 U 2 ( r ) ] 1 2 ,

ahol

U(r)=mc21rgr1+J2m2c2r212

(m a részecske tömege, rg=2km′∕c2 a központi test gravitációs sugara). Az U(r) függvény az „effektív potenciális energia” szerepét játssza abban az értelemben, hogy a mozgás megengedett tartományait (a nemrelativisztikus elmélethez hasonlóan) az ℰ0≥U(r) feltétel határozza meg. A  21. ábrán az U(r) görbék láthatók a részecske J impulzusmomentumának különböző értékei mellett.

A körpályák sugarait, valamint a nekik megfelelő ℰ0 és J értékeket az U(r) függvény szélső értékei határozzák meg; a minimumok stabil, a maximumok pedig instabil pályáknak felelnek meg.

21. ábra - 21. ábra

21. ábra

Az U(r)=ℰ0, U′(r)=0 egyenletek együttes megoldása azt adja, hogy

r r g = J 2 m 2 c 2 r g 2 1 ± 1 3 m 2 c 2 r g 2 J 2 ,

0 = J c 2 r r g 1 r g r ,

ahol a felső előjel a stabil, az alsó pedig az instabil pályákra vonatkozik. A középponthoz közeledve a stabil körpálya paraméterei:

r = 3 r g , J = 3 m c r g , 0 = 8 9 m c 2 .

Az instabil pálya minimális sugara 3rg∕2, ez az érték J→∞, ℰ0→∞ határesetben érhető el. A  22. ábrán az r∕rg mint J∕mcrg függvénye látható; a görbe felső ága a stabil, alsó ága az instabil pályák sugarait adja meg.[171]

22. ábra - 22. ábra

22. ábra

2. Határozzuk meg ugyanebben a térben a végtelenből eső részecskék gravitációs befogásának határkeresztmetszetét, ha a) a részecskék nem relativisztikusak, b) a részecskék extrém relativisztikusak (J. B. Zeldovics, J. D. Novikov, 1964).

Megoldás. a) A (végtelenben) nemrelativisztikus v∞ sebességű részecske energiája ℰ0≈mc2. A  21. ábrán látható, hogy az ℰ0=mc2 egyenes az összes olyan potenciálgörbe felett helyezkedik el, amelyekre J<2mcrg, tehát az ütközési paraméterekre ϱ<2crg∕v∞. Az összes ilyen ϱ-val beeső részecske gravitációsan befogódik: ezek a részecskék a Schwarzschild-gömböt (aszimptotikusan t→∞-ben) elérik, és nem jutnak el újból a végtelenbe. A befogás hatáskeresztmetszete:

σ = 4 π r g 2 c v 2 .

b) Az 1. feladat (1) egyenletében az extrém relativisztikus részecske (vagy a fénysugár) határesetét az m→0 határátmenet elvégzésével kaphatjuk meg. Bevezetve itt is a ϱ=cJ∕ℰ0, ütközési paramétert, azt kapjuk, hogy

1 1 r g r d r c d t = 1 ϱ 2 r 2 + ϱ 2 r g r 3 ;

r változásának határait a gyök alatti kifejezés zérushelyei adják meg. E zérushelyeket ϱ függvényében a  23. ábra mutatja; a lehetséges mozgásoknak az üresen hagyott tartomány felel meg. A görbének a

ϱ = 3 3 2 r g , r = 3 2 r g

pontban van minimuma. Az ütközési paraméter kisebb értékeinél a részecskék nem fordulnak vissza, hanem átmennek a Schwarzschild-gömbön. Ebből a befogás hatáskeresztmetszete:

σ = 2 7 4 π r 2 .

23. ábra - 23. ábra

23. ábra



[168] A Schwarzschild-szingularitás fizikai értelmét először D. Finkelstein tisztázta (1958) egy másik transzformáció segítségével. A (102.3) metrikát ezt megelőzően G. Lemaitre adta meg 1938-ban.

[169] E jelenség alaptulajdonságait elsőként J. R. Oppenheimer és H. Snyder tisztázták (1939).

[170] Az ilyen nehézségektől mentes vonatkoztatási rendszerről a következő szakasz végén beszélünk.

[171] Az összehasonlítás kedvéért emlékeztetünk arra, hogy a Newton-féle erőtérben a középponttól bármely távolságban lehetséges körpálya (és az mindig stabil; sugara az impulzusmomentummal az r=J2∕km′m2 összefüggés által adott kapcsolatban van).