Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

103 §. Porgömb gravitációs kollapszusa

103 §. Porgömb gravitációs kollapszusa

A kollapszust szenvedő test belső állapotváltozása menetének tisztázása céljából (a Schwarzschild-gömbön belülre történő összehúzódást is beleértve) az anyagi közegben fellépő gravitációs teret meghatározó Einstein-egyenleteket kell megoldanunk. Gömbszimmetrikus esetben, zérus nyomást feltételező közelítésben („porszerű” anyag állapotegyenletét használva, ϱ=0), a téregyenletek általános alakban megoldhatók (R. Tolman, 1934). Noha ez a közelítés reális körülmények között általában nem megengedett, e feladat általános megoldása metodikai szempontból figyelmet érdemel.

Amint a  97. §-ban megmutattuk, porszerű közegben választhatunk olyan vonatkoztatási rendszert, amely egyidejűleg szinkronizált és együttmozgó.[172] Az így megválasztott időt és a sugárirányú koordinátát τ-val, ill. R-rel jelölve, a gömbszimmetrikus ívelemnégyzetet a

12.71. egyenlet - (103.1)

d s 2 = d τ 2 e λ ( τ , R ) d R 2 r 2 ( τ , R ) ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 )

alakban írjuk. [173] Az r(τ,R) függvény a „sugár”, amelyet úgy definiáltunk, hogy az (origó középpontú) kör kerületének hossza 2πr legyen. A (103.1) alak τ megválasztását egyértelműen rögzíti, de még megengedi a sugárkoordináta tetszőleges R=R(R′) transzformációját.

E metrika esetén a Ricci-tenzor komponenseinek kiszámítása az Einstein-egyenletek következő rendszerére vezet:[174]

12.72. egyenlet - (103.2)

e λ r 2 + 2 r r ̈ + 2 + 1 = 0 ,

12.73. egyenlet - (103.3)

e λ r ( 2 r r λ ) + λ ̇ r + λ ̈ + λ ̇ 2 2 + 2 r ̈ r = 0 ,

12.74. egyenlet - (103.4)

e λ r 2 ( 2 r r + r 2 r r λ ) + 1 r 2 ( r λ ̇ + 2 + 1 ) = 8 π k 𝜀 ,

12.75. egyenlet - (103.5)

2 λ ̇ r = 0 ,

ahol a vessző R szerinti, a pont τ szerinti deriválást jelent.

(103.5) egyenlet idő szerint közvetlenül integrálható, eredményünk:

12.76. egyenlet - (103.6)

e λ = r 2 1 + f ( R ) ,

ahol f(R) tetszőleges, csupán az 1+f>0 feltételnek eleget tevő függvény. Ezt a kifejezést (103.2)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

2rr̈+2f=0.

[A (103.3)-ba való helyettesítés már nem ad semmi újat.] Ennek az egyenletnek az első integrálja:

12.77. egyenlet - (103.7)

2 = f ( R ) + F ( R ) r ,

ahol F(R) tetszőleges függvény. Ebből azután azt kapjuk, hogy

τ=±drf+Fr.

Az integrálás eredményeként adódó r(τ,R) függvény paraméteres alakban állítható elő:

12.78. egyenlet - (103.8)

r = F 2 f ( ch η 1 ) , τ 0 ( R ) τ = F 2 f 3 2 ( sh η η ) , ha  f > 0 ,

12.79. egyenlet - (103.9)

r = F 2 f ( 1 cos η ) , τ 0 ( R ) τ = F 2 ( f ) 3 2 ( η sin η ) , ha  f < 0 ,

ahol τ0(R) ismét egy tetszőleges függvény. Ha pedig f=0, akkor

12.80. egyenlet - (103.10)

r = 9 F 4 1 3 [ τ 0 ( R ) τ ] 2 3 , ha  f = 0 .

Mindhárom esetben: (103.6)-ot (103.4)-be helyettesítve és f-et (103.7) segítségével kiküszöbölve, az anyagsűrűségre a következő kifejezést kapjuk:[175]

12.81. egyenlet - (103.11)

8 π k 𝜀 = F r r 2 .

(103.6)(103.11) képletek a keresett általános megoldást határozzák meg.[176] Megjegyezzük, hogy ez mindössze két „fizikailag különböző”, tetszőleges függvénytől függ: bár három függvény, f, F, τ0 szerepel benne, az R koordinátát még alávethetjük egy tetszőleges R=R(R′) transzformációnak. Ezek szerint az anyag legáltalánosabb gömbszimmetrikus eloszlását két függvénnyel (a sűrűségeloszlással és az anyag sugárirányú sebességével) adhatjuk meg, gömbszimmetrikus szabad gravitációs, tér pedig egyáltalán nem létezik.

Minthogy a vonatkoztatási rendszer az anyaggal együtt mozog, minden egyes részecskének határozott R érték felel meg; ugyanakkor az r(τ,R) függvény R értéke mellett meghatározza a vizsgált részecske mozgástörvényét, az ṙ derivált pedig sugárirányú mozgásának sebességét. A kapott megoldás fontos tulajdonsága, hogy a benne szereplő tetszőleges függvények 0-tól valamilyen R0-ig terjedő intervallumban való megadása az R0 sugarú gömb viselkedését teljesen meghatározza; az nem függ attól, hogyan adtuk meg ezeket a függvényeket az R>R0 tartományban. Ezzel automatikusan megkapjuk a belső feladat megoldását bármilyen véges gömbre. A gömb teljes tömegét (100.23) szerint az

m = 4 π 0 r ( τ , R 0 ) 𝜀 r 2 d r = 4 π r R 0 𝜀 r 2 r d R

integrál adja. Ebbe (103.11)-et behelyettesítve és figyelembe véve, hogy F(0)=0 (R=0-ban r-nek is zérusnak kell lennie), azt kapjuk, hogy

12.82. egyenlet - (103.12)

m = F ( R 0 ) 2 k , r g = F ( R 0 )

(rg a gömb gravitációs sugara).

F=const≠0 esetén (103.11)-ből 𝜀=0 adódik, ez a megoldás tehát üres térre vonatkozik, vagyis (a középpontban, a metrika szinguláris pontjában levő) pontszerű tömeg terét írja le. Így F=rg, f=0, τ0=R értékeket véve a (102.3) metrikát kapjuk meg.[177]

(103.8)(103.10) képletek (attól függően, hogy az η paraméter milyen értékeket fut be) egyaránt leírják a gömb összehúzódását és tágulását; maguk a téregyenletek egyformán megengedik ezt is és azt is. Nagy tömegű instabil test valódi mozgása az összehúzódást, a gravitációs kollapszust valósítja meg.

(103.8)(103.10) megoldásokat oly módon adtuk meg, hogy akkor lép fel összehúzódás, amikor τ növekedve τ0-hoz tart. A τ=τ0(R) időpillanatnak a vizsgált R sugarú anyaggömb centrumba érkezése felel meg (ekkor szükségképpen τ0′>0).

A gömb belsejében a metrika viselkedése τ→τ0(R) határátmenet során mind a három [(103.8)(103.10)] esetben ugyanaz:

12.83. egyenlet - (103.13)

r 9 F 4 1 3 ( τ 0 τ ) 2 3 , e λ 2 2 F 3 1 3 τ 0 1 + f ( τ 0 τ ) 1 3 .

Ez azt jelenti, hogy az összes sugárirányú távolság (a vizsgált együttmozgó vonatkoztatási rendszerben) végtelenhez tart, a kerület menti távolságok pedig zérushoz, miközben minden térfogatelem is [ (τ–τ0)2 szerint] zérushoz tart.[178] Ennek megfelelően az anyag sűrűsége minden határon túl nő:[179]

12.84. egyenlet - (103.14)

8 π k 𝜀 2 F 3 F τ 0 ( τ 0 τ ) .

Így a  102. §-ban mondottakkal egyezésben az egész anyageloszlás központba irányuló kollapszusa következik be.[180]

Abban a speciális esetben, amikor τ0(R)=const (azaz a gömb összes részecskéje egyszerre éri el a centrumot), a zsugorodó gömb belsejében más a metrika jellege. Ebben az esetben

r 9 F 3 1 3 ( τ 0 τ ) 2 3 , e λ 2 2 3 1 3 F 2 F 2 3 1 + f ( τ 0 τ ) 2 3 ,

12.85. egyenlet - (103.15)

8 π k 𝜀 4 3 ( τ 0 τ ) 2 ,

azaz τ→τ0 esetén az összes távolság – mind a kerület, mind a sugár mentén – azonos ∼(τ0–τ)(2/3) törvény szerint tart zérushoz, az anyagsűrűség pedig (τ0–τ)–2 szerint tart végtelenhez, a határesetben eloszlása homogénné válik.

Figyeljük meg, hogy a kollapszust szenvedő gömb Schwarzschild-felület mögé jutásának pillanatát [r(τ,R0)=rg] egyik esetben sem jelzi semmi a gömb belső dinamikája számára (amelyet az együttmozgó vonatkoztatási rendszer metrikája ír le). Minden egyes időpillanatban azonban a gömb egy meghatározott része már az „eseményhorizontja” alatt található. Ahogyan F(R0)(103.12) szerint a gömbnek mint egésznek gravitációs sugarát határozza meg, ugyanúgy R bármilyen előre megadott értékére F(R) az R=const gömbfelületen belül található gömbrész gravitációs sugarával egyenlő; ezért a gömb szóban forgó részét minden egyes τ időpillanatban az r(τ,R)≤F(R) feltételből határozhatjuk meg.

Végül megmutatjuk, hogyan lehet felhasználni a kapott képleteket a  102. § végén felvetett kérdés megoldására: a pontszerű tömeg tere legteljesebb vonatkoztatási rendszerének felépítésére.[181]

E célból olyan vákuummetrikából kell kiindulnunk, amely egyaránt tartalmazza az összehúzódó és kitáguló téridőtartományokat. Ilyen vonatkoztatási rendszer a (103.8) megoldás, amelyben F=const=rg értéket kell venni. Ezenkívül az

f = 1 R r g 2 + 1 , τ 0 = π 2 r g ( f ) 3 2

választással élve, azt kapjuk, hogy

12.86. egyenlet - (103.16)

r r g = 1 2 R 2 r g 2 + 1 ( 1 cos η ) , τ r g = 1 2 R 2 r g 2 + 1 3 2 ( π η + sin η )

az η paraméter 2π-től 0-ig való változása során. A τ idő (adott R-nél) monoton nő, r pedig zérustól kezdődően növekszik, átmegy egy maximumon, majd ismét zérusra csökken.

24. ábra - 24. ábra

24. ábra

24. ábrán az ACB és A′C′B′ vonalak (melyek az η paraméter η=2π és η=0 értékeihez tartoznak) az r=0 pontnak felelnek meg. Az AOA′és BOB′ vonalak az r=rg Schwarzschild-gömbnek felelnek meg. Az A′C′B′és az A′OB′ közötti téridő-tartományban csupán a centrumból távolodó mozgás, az ACB és AOB közötti tartományban pedig csak a centrumhoz közeledő mozgás lehetséges.

A vonatkoztatási rendszerünkben nyugvó részecske világvonala függőleges egyenes (R=const). E világvonal az r=0 pontban kezdődik (a pont), a Schwarzschild-gömböt a b pontban metszi, a τ=0 időpillanatban távolodik el a legmesszebbre [r=rg(R2∕rg2+1)], azután a részecske ismét a Schwarzschild-gömbre zuhan, amelyet a c pontban metsz, és a

τ = r g π 2 R 2 r g 2 + 1 3 2

időpillanatban újra eléri az r=0 pontot (d pont).

A kapott vonatkoztatási rendszer teljes: a térben mozgó valamennyi részecske világvonalának végpontjai vagy a valódi r=0 szingularitáson vannak, vagy a végtelenbe távolodnak. A nem teljes (102.3) metrika csak az AOA′ vonaltól jobbra (vagy a BOB′-től balra) levő tartományt írja le, az ugyanolyan „táguló” vonatkoztatási rendszer pedig a BOB′-től jobbra (vagy az AOA′-től balra) levő tartományt. Ami a (100.14) metrikájú Schwarzschild-féle vonatkoztatási rendszert illeti, az csupán a BOA′-től jobbra (vagy az AOB′-től balra) levő tartományt foglalja magában.

Feladat

Oldjuk meg egy porszerű, a kezdeti időpontban nyugalomban levő, homogén gömb gravitációs kollapszusának belső feladatát.

Megoldás. τ 0=const, f=–sin2R, F=2a0sin3R értékeket véve, azt kapjuk, hogy

12.87. egyenlet - (1)

r = a 0 sin R ( 1 cos η ) , τ τ 0 = a 0 ( η sin η )

(itt az R radiális koordináta dimenzió nélküli, és értékei befutják a 0-tól 2π-ig terjedő intervallumot). Ekkor a sűrűséget a

12.88. egyenlet - (2)

8 π k 𝜀 = 6 a 0 2 ( 1 cos η ) 3

kifejezés adja, amely adott τ esetén független R-től, azaz a gömb homogén. Az (1)-ből vett r-rel a (103.1) metrikát

12.89. egyenlet - (3)

d s 2 = d τ 2 a 2 ( τ ) [ d R 2 + sin 2 R ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 ) ] , a = a 0 ( 1 cos η )

alakban írhatjuk. Figyeljük meg, hogy (3) megegyezik egy olyan világ metrikájára adódó Friedmann-féle megoldással, amelyet homogén porszerű anyag tölt ki (112. §); ez teljesen természetes eredmény, mivel egy homogén eloszlású anyagból kimetszett gömb gömbszimmetrikus.[182]

Az (1) megoldás az a0 és τ0, állandók alkalmas megválasztása esetén eleget tehet az adott kezdeti feltételeknek. Itt a kényelem kedvéért az η paraméter definícióját η→π–η-ra változtatva, a megoldást

12.90. egyenlet - (4)

r = r 0 2 sin R sin R 0 ( 1 + cos η ) , τ = r 0 2 sin R 0 ( η + sin η )

alakban adjuk meg, és [(103.12)-nek megfelelően] a gömb gravitációs sugara rg=r0sin2R0. A kezdeti pillanatban (τ=0, η=0) az anyag nyugalomban van (ṙ=0), a gömb kerületének kezdeti hosszúsága pedig 2πr0=2πr(0,R0). A teljes anyag centrumba hullásának pillanata τ=πr0∕2sinR0.

A távoli megfigyelő vonatkoztatási rendszerében (Schwarzschild-féle rendszer) mért t időnek a gömbön mért τ sajátidővel való kapcsolatát a

d τ 2 = 1 r g r d t 2 d r 2 1 r g r

egyenlet adja meg, ahol r a gömb felületének megfelelő r(τ,R0) érték. E kapcsolatot kifejező egyenlet integrálásával az alábbi kifejezést kapjuk:

12.91. egyenlet - (5)

t r g = ln ctg R 0 + tg η 2 ctg R 0 tg η 2 + ctg R 0 η + 1 2 sin 2 R 0 ( η + sin η ) ,

amely t-t mint a fenti η paraméter függvényét adja meg. (A t=0 pillanat a τ=0 pillanatnak felel meg.) A gömbfelületnek Schwarzschild-gömbön [r(τ,R0)=rg] történő áthaladásakor az η paraméter értékét a

cos2η2=rgr0= sin2R0

egyenlet határozza meg. Ehhez az értékhez közeledve, t→∞, egyezésben a  102. §-ban mondottakkal.[183]



[172] Eközben azt is meg kell követelnünk, hogy az anyag „forgás nélkül” mozogjon (lásd a  97. §  29 számú lábjegyzetét). E feltétel az adott esetben minden további nélkül teljesül, mivel a gömbszimmetria az anyag tisztán sugárirányú mozgását jelenti.

[173] Ebben a szakaszban c=1 mértékrendszert használunk.

[174] Vö. a  100. § 5. feladatával. A (103.2)(103.5) egyenleteke feladat (2)(5) egyenleteiből adódnak, ha azokba ν=0, eμ=r2, p=0 értékeket helyettesítünk. Megjegyezzük, hogy ugyanennek a feladatnak a (6) egyenletei közül a másodikból p=0 esetén ν′=0 adódik, tehát ν=ν(τ); az (1) metrikában a τ megválasztásával kapcsolatban megmaradt önkény ezért megengedi, hogy ν-t zérussá tegyük, ami azt mutatja, hogy bevezethető olyan vonatkoztatási rendszer, amely egyszerre szinkronizált és együttmozgó.

[175] Az F, f, τ0 függvényeknek csak az eλ, r és 𝜀 pozitivitását biztosító feltételeknek kell eleget tenniük. A már említett 1+f>0 feltétel mellett ebből az is következik, hogy F>0. Úgy tekintjük majd, hogy F′>0, r′>0 is fennáll; ez kizárja az anyag gömbi rétegeinek sugárirányú mozgásai során a metszés lehetőségét.

[176] Nem tartalmazzák azonban azt a speciális esetet, amikor r=r(τ) az R-től független, így tehát a (103.5) egyenlet tartalom nélküli azonosságra vezet; lásd V. A. Ruban, ZSETF 56, 1914 (1969). Ez az eset azonban nem elégíti ki a véges test kollapszusára vonatkozó feladat feltételeit.

[177] F=0 [amikor (103.7)-ből: r=√f(τ–τ0)] a térmentes esetnek felel meg; a változók megfelelő transzformációjával a metrikát Galilei-féle alakra hozhatjuk.

[178] A centrumon áthaladó „sík” geometriája ilyenkor olyan, mint amilyen egy olyan kúpszerű forgási felületen volna, amely alkotói mentén időben tágul, s egyidejűleg minden kerülete mentén összehúzódik.

[179] Az a tény, hogy a tanulmányozott megoldásban a kollapszus bármilyen tömegű gömb esetén bekövetkezik, a nyomás elhanyagolásának egyszerű következménye. Nyilvánvaló, hogy 𝜀→∞ esetén az a feltételezés, hogy az anyag porszerű, fizikai szempontból minden esetben elfogadhatatlan. Ebben a határesetben az extrém relativisztikus p=𝜀∕3 állapotegyenletet kell használnunk. Az összehúzódás általános jellemzői azonban csak jelentéktelen mértékben függnek az állapotegyenlettől. [E. M. Lifsic, I. M. Halatnyilkov, ZSETF, 39, 149 (1960)].

[180] A τ0=const eset speciálisan, a homogén gömb kollapszusát foglalja magában, lásd a feladatot.

[181] Ilyen rendszert elsőként M. Kruskal (1960) konstruált, más változókat használva [lásd: Phys. Rev. 119, 1743 (1960)]. Az alábbiakban levezetésre kerülő megoldás alakját, amelyben a vonatkoztatási rendszer szinkronizált, I. D. Novikov adta meg (1963).

[182] (3) metrika állandó, pozitív görbületű térnek felel meg. Hasonlóan f=sh2R, F=2a0sh3R értékeket véve, olyan megoldáshoz jutunk, amely állandó, negatív görbületű teret jelent (113. §).

[183] (4) képletekkel meghatározott r(τ,R0) függvény természetesen megegyezik a külső metrika szerint kiszámított függvénnyel, amelyet a (102.8) integrál ad meg. Ugyanez vonatkozik a (4) és (5) képletekkel meghatározott t(r) függvényre is, amely a (102.5) integrállal adott függvénnyel egyezik meg.