Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

13. fejezet - GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK

13. fejezet - GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK

107 §. Gyenge gravitációs hullámok

A kölcsönhatások terjedésének véges sebessége, az elektrodinamikához hasonlóan, a gravitáció relativisztikus elméletében is lehetővé teszi a testektől független szabad gravitációs tér, tehát a gravitációs hullámok létezését.

Vizsgáljuk meg vákuumban a gyenge, szabad, gravitációs tereket. Éppúgy, mint a  105. §-ban, bevezetjük a hik tenzort, amely a Galilei-metrika gyenge perturbációit írja le:

13.1. egyenlet - (107.1)

g i k = g i k ( 0 ) + h i k .

Ekkor, hik-ban elsőrendű tagokig vett pontossággal a kontravariáns metrikus tenzor:

13.2. egyenlet - (107.2)

g i k = g ( 0 ) i k h i k .

A gik tenzor determinánsa pedig

13.3. egyenlet - (107.3)

g = g ( 0 ) ( 1 + h )

ahol h≡hii; a tenzorindexek fel- és lehúzásának összes műveletét a nem perturbált gik(0) metrika szerint kell végezni.

Mint már a  105. §-ban megmutattuk, a hik kicsiségére vonatkozó feltétel meghagyja a vonatkoztatási rendszer x′i=xi+ξi alakú transzformációjának lehetőségét, ha ξi-k kicsik; ekkor

13.4. egyenlet - (107.4)

h i k = h i k ξ i x k ξ k x i .

Felhasználva ezt a hik tenzor „mértékében” levő önkényességet (amint mondani szokás), hik-kra rójuk ki a

13.5. egyenlet - (107.5)

ψ i k x k = 0 , ψ i k = h i k 1 2 δ i k h

mellékfeltételeket. Így a Ricci-tenzor egyszerűen

13.6. egyenlet - (107.6)

R i k = 1 2 h i k

alakú lesz [(105.11)], ahol □ a d’ Alembert-operátor:

=g(0)lm2xlxm=1c22t2.

(107.5) feltétel még nem rögzíti egyértelműen a vonatkoztatási rendszer megválasztását: ha bizonyos hik-k eleget tesznek ezeknek a feltételeknek, akkor a (107.4)-beli hik′-k is kielégítik ezeket, hacsak a ξi mennyiségek a

13.7. egyenlet - (107.7)

ξ i = 0

egyenlet megoldásai.

(107.6)-ot zérussal téve egyenlővé, a vákuumbeli gravitációs tér egyenleteit

13.8. egyenlet - (107.8)

h i k = 0

alakban kapjuk meg.

Ez közönséges hullámegyenlet. A gravitációs hullám tehát éppúgy, mint az elektromágneses hullám, vákuumban fénysebességgel terjed.

Vizsgáljuk meg a gravitációs síkhullámot. Ilyen hullámban az erőtér csak egy térbeli irány mentén változik; fektessük ebbe az irányba az x1=x tengelyt. A (107.8) egyenletek ekkor a

13.9. egyenlet - (107.9)

2 x 2 1 c 2 2 t 2 h i k = 0

egyenletekbe mennek át, amelyeknek bármely t±x∕c-től függő függvény megoldása (47. §).

Terjedjen a hullám pozitív x irányban. Ilyen rendszerben minden mennyiség t–x∕c függvénye. A (107.5) mellékfeltételek ebben az esetben a ψ̇i1–ψ̇i0=0 egyenletre vezetnek, ahol a betű fölötti pont t szerinti deriválást jelent. Ezeket az egyenlőségeket egyszerűen úgy integrálhatjuk, hogy letöröljük a differenciálás jelét; az integrálási állandót zérusnak választhatjuk, mivel itt bennünket (csakúgy, mint az elektromágneses hullámok esetében) kizárólag az erőtér változó része érdekel. Ilyen módon ψik egyes komponensei között az alábbi összefüggések állnak fenn:

13.10. egyenlet - (107.10)

ψ 1 1 = ψ 1 0 , ψ 2 1 = ψ 2 0 , ψ 3 1 = ψ 3 0 , ψ 0 1 = ψ 0 0 .

Amint már kimutattuk, a (107.5) feltétel nem határozza meg egyértelműen a vonatkoztatási rendszert; a koordinátákat még x′i=xi+ξi(t–x∕c) alakú transzformációknak vethetjük alá. E transzformációkat arra használhatjuk fel, hogy a négy ψ10, ψ20, ψ30, ψ22+ψ33 komponenst zérussá tegyük. (107.10) szerint ebben az esetben zérussá válnak a ψ11, ψ21, ψ31, ψ00 komponensek is. Ami a ψ23, ψ22–ψ33 komponenseket illeti, azok a vonatkoztatási rendszer semmilyen megválasztásával sem tehetők nullává, mivel, amint (107.4)-ből látható, ξi=ξi(t–x∕c) transzformáció esetén ezek a komponensek változatlanok maradnak. Megjegyezzük, hogy zérussá válik ψ=ψii is, és ezért ψik=hik.

A gravitációs síkhullámot tehát két mennyiség, h23 és h22=–h33 határozza meg. Más szóval: a gravitációs hullámok transzverzális hullámok, amelyeknek polarizációját egy, az yz síkban másodrendű szimmetrikus tenzor határozza meg. E tenzor diagonális elemeinek összege: h22+h33=0. A két független polarizációnak azokat az eseteket választhatjuk, amelyekben a két h23 és (h22–h33)∕2 mennyiség közül az egyik zérus. E két polarizáció az yz sík π∕4 szögű elforgatásában különbözik egymástól.

Számítsuk ki a gravitációs síkhullám energia-impulzus-pszeudotenzorát. A tik komponensek másodrendűen kis mennyiségek; azokat a náluk még magasabb rendű tagok elhanyagolásával kell kiszámítanunk. Mivel h=0 esetén a g determináns g(0)=–1-től csak másodrendű mennyiségekben különbözik, ezért a (96.9) általános képletben 𝔤ik,l≈gik,l≈–hik,l írható. Síkhullámokra a tik valamennyi zérustól különböző tagját (96.6)-nak a kapcsos zárójelben levő

1 2 g i l g k m g n p g q r g n r , l g p g , m = 1 2 h q n , i h n q , k

tagja tartalmazza. (Erről könnyen meggyőződhetünk, ha a Galilei-féle vonatkoztatási rendszer egyik tengelyét a hullám terjedésének irányában vesszük fel.) Tehát

13.11. egyenlet - (107.11)

t i k = c 4 3 2 π k h q n , i h n q , k .

A hullám energiaáramát a –cgt0α≈ct0α mennyiségek határozzák meg. Az x1 tengely mentén terjedő síkhullámban, amelyben a zérustól különböző h23 és h22=–h33 komponensek csak a t–x∕c különbségtől függenek, ez az áram ugyancsak az x1 tengely mentén terjed, és a

13.12. egyenlet - (107.12)

c t 0 1 = c 3 1 6 π k 2 3 2 + 1 4 ( 2 2 3 3 ) 2

kifejezéssel egyenlő.

Tetszőleges gravitációs hullám kezdeti feltételeit a koordináták négy tetszőleges függvényével adhatjuk meg: a hullámok transzverzalitása miatt hαβ-nak csak két független komponense van, de rajtuk kívül meg kell adnunk első időderiváltjaikat is. Bár a független kezdeti feltételek összeszámlálását a gyenge gravitációs terek esetén végeztük el, világos, hogy az eredmény, a négyes szám, nem lehet kapcsolatban a gyengeség feltételezésével, és érvényes marad bármely szabad (gravitáló tömegekhez nem csatolt) gravitációs térre.

Feladat

Határozzuk meg gyenge gravitációs síkhullám görbületi tenzorát.

Megoldás.(105.8) segítségével kiszámítva Riklm-et, a zérustól különböző komponensek a következők:

R 0 2 0 2 = R 0 3 0 3 = R 1 2 1 2 = R 0 2 1 2 = R 0 3 3 1 = R 3 1 3 1 = σ , R 0 2 0 3 = R 1 2 3 1 = R 0 3 1 2 = R 0 2 3 1 = μ ,

ahol σ=–(1/2)ḧ33=(1/2)ḧ22, μ=–(1/2)ḧ23. A (92.15)-ben bevezetett háromdimenziós Aαβ és Bαβ tenzorokkal:

A α β = 0 0 0 0 σ μ 0 μ σ , B α β = 0 0 0 0 μ σ 0 σ μ .

Az x2, x3 tengelyek alkalmas elforgatásával (a négyestér adott pontjában) a σ és μ mennyiségek egyike zérussá tehető; a σ mennyiséget eltüntetve, a görbületi tenzor a degenerált II. Petrov-féle osztálynak (az N típusnak) megfelelő alakot veszi fel.