Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

110 §. Gravitációs hullámok kisugárzása

110 §. Gravitációs hullámok kisugárzása

Vizsgáljuk a fénysebességhez képest lassan mozgó testek által keltett gyenge gravitációs erőteret.

Anyag jelenlétében a gravitációs egyenletek az egyszerű (107.8)□hik=0 alakú hullámegyenletektől abban különböznek, hogy a jobb oldalon megjelennek az energia-impulzus-tenzorból eredő tagok. Ezeket az egyenleteket

13.31. egyenlet - (110.1)

1 2 ψ i k = 8 π k c 4 τ i k

alakban írjuk, ahol hik helyett bevezettük az ilyenkor kényelmesebb

ψik=hik12δikh

mennyiségeket, τik pedig szimbolikusan azokat a járulékos kifejezéseket jelöli, amelyeket az egzakt gravitációs egyenletekből a gyenge erőterek határesetére térve kapunk. Könnyű belátni, hogy a τ00 és τα0 komponensek közvetlenül Tik megfelelő komponenseiből kaphatók, leválasztva a bennünket érdeklő rendnél nem kisebb mennyiségeket. Ami a τβα komponenseket illeti, azok a Tβα-ból adódókon kívül az Rik–(1/2)δikR-ből származó másodrendűen kis tagokat is tartalmazzák.[208]

A ψik mennyiségek kielégítik a (107.5)∂ψik∕∂xk=0 feltételt. (110.1)-ből pedig az következik, hogy ugyanilyen egyenlet áll fenn a τik-kre is:

13.32. egyenlet - (110.2)

τ i k x k = 0 .

Most ez az egyenlet helyettesíti az általános Ti;kk=0 összefüggést.

A leírt egyenletek segítségével vizsgáljuk meg a mozgó testek által gravitációs hullámok alakjában kisugárzott energia kérdését. E feladat megoldása megköveteli a gravitációs térnek a „hullámzónában”, azaz a kisugárzott hullámok hullámhosszához képest nagy távolságokban való meghatározását.

Elvileg az egész számítás pontos hasonmása az elektromágneses hullámok esetére elvégzettnek. A gyenge gravitációs tér (110.1) egyenletei alakjukban megegyeznek a retardált potenciálok egyenletével (62. §). Ezért (110.1) általános megoldását azonnal felírhatjuk:

13.33. egyenlet - (110.3)

ψ i k = 4 k c 4 ( τ i k ) t R c d V R .

Mivel a rendszerben valamennyi test kis sebességgel mozog, a rendszertől nagy távolságokban az erőtérre azt írhatjuk (vö. a  66 és 67. §-okkal), hogy

13.34. egyenlet - (110.4)

ψ i k = 4 k c 4 R 0 ( τ i k ) t R 0 c d V ,

ahol R0 valahol a rendszer belsejében levő origótól mért távolság. A későbbiekben a rövidség kedvéért az integrandusban elhagyjuk a t–R0∕c indexet.

Ezeknek az integráloknak a kiszámításához a (110.2) egyenleteket használjuk. Lehúzva τik indexét és szétválasztva a tér- és időkomponenseket, (110.2)-t a

13.35. egyenlet - (110.5)

τ α γ x γ τ α 0 x 0 = 0 , τ 0 γ x γ τ 0 0 x 0 = 0

alakba írjuk. Az első egyenletet xβ-val szorozva és a teljes térre integrálva:

x0τα0xβdV=ταγxγxβdV=(ταγxβ)xγdVταβdV.

A jobb oldal első tagját a Gauss-tétel segítségével átalakítjuk, mivel a végtelenben τik=0, ez eltűnik. A megmaradt egyenlőség és az indexek felcserélésével kapott ugyanilyen egyenlőség összegét véve és kettővel osztva, azt kapjuk, hogy

ταβdV=12x0(τα0xβ+τβ0xα)dV.

Szorozzuk most meg a (110.5) második egyenletét xαxβ-val, és integráljuk ezt is a teljes térre. Az előzőekhez hasonló átalakításokkal a

x0τ00xαxβdV=(τα0xβ+τβ0xα)dV

egyenlőségekre jutunk. A két eredményt összehasonlítva az következik, hogy

13.36. egyenlet - (110.6)

τ α β d V = 1 2 x 0 2 τ 0 0 x α x β d V .

Tehát valamennyi ταβ integrálja kifejezhető a τ00 komponenst tartalmazó integrálok segítségével. Ez utóbbi azonban, mint már említettük, megegyezik az energia-impulzus-tenzor T00 komponensével, és elegendő pontossággal [lásd (99.1)-et] azt kapjuk, hogy

13.37. egyenlet - (110.7)

τ 0 0 = μ c 2 .

Behelyettesítve ezt (110.6)-ba és bevezetve a t=x0∕c időt, (110.4)-et a

13.38. egyenlet - (110.8)

ψ α β = 2 k c 4 R 0 2 t 2 μ x α x β d V

alakba írhatjuk át.

A testektől nagy távolságokban (kis térrészekben) a hullámot síkhullámnak tekinthetjük. Ezért az anyagi rendszer által, mondjuk az x1 tengely irányában, kisugárzott energiaáramot kiszámíthatjuk a (107.12) képlet segítségével. Ebben csak a h23=ψ23 és a h22–h33=ψ22–ψ33 komponensek szerepelnek, melyekre (110.8)-ból az alábbi kifejezéseket kapjuk:[209]

13.39. egyenlet - (110.9)

h 2 3 = 2 k 3 c 4 R 0 Q ̈ 2 3 , h 2 2 h 3 3 = 2 k 3 c 4 R 0 ( Q ̈ 2 2 Q ̈ 3 3 )

(a pont idő szerinti differenciálást jelent). Itt bevezettük a tömegek (99.8) kvadrupólmomentum-tenzorát:

13.40. egyenlet - (110.10)

Q α β = μ ( 3 x α x β δ α β x γ 2 ) d V .

Végeredményben az x1 tengely mentén terjedő energiaáramra a

13.41. egyenlet - (110.11)

c t 1 0 = k 3 6 π c 5 R 0 2 Q ... 2 2 Q ... 3 3 2 2 + Q ... 2 3 2

alak adódik. Ebből az adott irányban levő térszögelembe kisugárzott energiaáramot R02dΩ-val való szorzással kapjuk.

Ebben a kifejezésben a két tag a két független polarizációjú hullám kisugárzásának felel meg; invariáns (a kisugárzás irányának megválasztásától független) alakban való felírásához bevezetjük a gravitációs síkhullám háromdimenziós polarizációs egységtenzorát, eαβ-t. Ez azt határozza meg, hogy hαβ mely komponensei különböznek zérustól (a hik mértéke olyan, hogy h0α=h00=h=0). A polarizációs tenzor szimmetrikus, és kielégíti az

13.42. egyenlet - (110.12)

e α α = 0 , e α β n β = 0 , e α β e α β = 1

feltételeket, ahol n a hullám terjedési irányába mutató egységvektor; az első két feltétel a hullám tenzor- és transzverzális jellegét fejezi ki. E tenzor segítségével az adott polarizációjú sugárzás intenzitását a dΩ térszögben a

13.43. egyenlet - (110.13)

d I = k 7 2 π c 5 ( Q ... α β e α β ) 2 d Ω

képlettel adhatjuk meg.

Ez a kifejezés az n iránytól közvetett módon, az eαβnβ=0 feltételen keresztül függ. Valamennyi polarizációs irányra összegezett szögeloszlást a (110.13)-nak a polarizációkra történő összegezésével, vagy ami ugyanaz, a polarizációkra átlagolt szögeloszlást kettővel (a független polarizációk számával) szorozva kapjuk meg. Az átlagolás az

13.44. egyenlet - (110.14)

e α β e γ δ ¯ = 1 4 { n α n β n γ n δ + ( n α n β δ γ δ + n γ n δ δ α β ) ( n α n γ δ β δ + n β n γ δ α δ + n α n δ δ β γ + n β n δ δ α γ ) δ α β δ γ δ + ( δ α γ δ β δ + δ β γ δ α δ ) }

összefüggés felhasználásával végezhető el. (A jobb oldal az egységtenzor és az n vektor komponenseiből alkotott olyan tenzor, amely indexeiben rendelkezik az összes megkövetelt szimmetriával, és az α, γ, ill. a β, δ indexek összeejtésekor egységtenzort ad, továbbá amelynek az n vektorral képzett skaláris szorzata nulla.) Eredményünk:

13.45. egyenlet - (110.15)

d I = k 3 6 π c 5 1 4 ( Q ... α β n α n β ) 2 + 1 2 Q ... α β 2 Q ... α β Q ... α γ n β n γ d Ω .

Az irányokra összegezett sugárzás, tehát a rendszer időegység alatti (–dℰ∕dt) energiaveszteségé egyenlő dI∕dΩ4π szorzott irány szerinti átlagával. Az átlagolás a  71. §  13. számú lábjegyzetében levő képletek segítségével könnyen elvégezhető, amivel a

13.46. egyenlet - (110.16)

d d t = k 4 5 c 5 Q ... α β 2

eredményre jutunk.

Megjegyezzük, hogy a gravitációs hullámok kisugárzása 1∕c-ben ötödrendű effektus. Ez a körülmény – azzal együtt, hogy a k gravitációs állandó kicsi – általában rendkívül kis hatást eredményez.

Feladatok

1. Két, egymást a Newton-törvény szerint vonzó test (közös tömegközéppontjuk körül) körpálya mentén mozog. Határozzuk meg a gravitációs hullámok kisugárzásának (egy keringés periódusára) átlagolt intenzitását, valamint a sugárzás polarizációs és irányeloszlását.

Megoldás. Az origónak a tömegközéppontot választva, a két test helyvektoraira azt kapjuk, hogy

r 1 = m 2 m 1 + m 2 r , r 2 = m 1 m 1 + m 2 r , r = r 1 r 2 .

A Qαβ tenzor komponensei (az xy sík megegyezik a mozgás síkjával):

Q x x = μ r 2 ( 3 cos 2 ψ 1 ) , Q y y = μ r 2 ( 3 sin 2 ψ 1 ) , Q x y = 3 μ r 2 cos ψ sin ψ , Q z z = μ r 2 ,

ahol μ=m1m2∕(m1+m2), ψ az r vektor xy síkbeli polárszöge. Körmozgás esetén r=const és ψ̇=r–3∕2√(k(m1+m2))≡ω.

Az n irányt gömbi polárszögekkel adjuk meg (a 𝜃 polárszöggel és a φ azimutális szöggel), polártengelyként a mozgás síkjára merőleges z tengelyt választjuk. Két polarizációt vizsgálunk, amelyekre: 1. e𝜃φ=1∕√2, 2. e𝜃𝜃=–eφφ=1∕√2. A gömbi e𝜃 és eφ merőleges egységvektorokra vetített Qαβ tenzort (110.13)-ba helyettesítve, időben átlagolva a fenti két esetre és azok I=I1+I2 összegére, végeredményként azt kapjuk, hogy

d I 1 ¯ d Ω = k μ 2 ω 6 r 4 2 π c 5 4 cos 2 𝜃 , d I 2 ¯ d Ω = k μ 2 ω 6 r 4 2 π c 5 ( 1 + cos 2 𝜃 ) 2 , d I ¯ d Ω = k μ 2 ω 2 r 4 2 π c 5 ( 1 + 6 cos 2 𝜃 + cos 4 𝜃 ) ,

majd az irányokra integrálva:

d d t = I = 3 2 k μ 2 ω 6 r 4 5 c 5 = 3 2 k 4 m 1 4 m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 5 c 5 r 5 , I 1 ¯ I 2 ¯ = 5 7 .

[Ha csak a teljes I intenzitást akartuk volna kiszámítani, természetesen a (110.16)-ot használtuk volna.]

A sugárzó rendszer energiavesztesége a testek fokozatos (szekuláris) közeledését eredményezi. Mivel ℰ=–km1m2∕2r, a közeledés sebessége:

= 2 r 2 k m 1 m 2 d d t = 6 4 k 3 m 1 m 2 ( m 1 + m 2 ) 5 c 5 r 3 .

2. Határozzuk meg két, ellipszis pályán mozgó testből álló rendszer gravitációs hullámok alakjában kisugárzott (egy forgási periódusra átlagolt) energiáját (P. C. Peters, J. Mathews).[210]

Megoldás. A körmozgással ellentétben, az r távolság és a szögsebesség a pálya mentén időben változik az

a ( 1 e 2 ) r = 1 + e cos ψ , d ψ d t = 1 r 2 [ k ( m 1 + m 2 ) a ( 1 e 2 ) ] 1 2

törvénynek megfelelően, ahol e az excentricitás, a pedig az ellipszis fél nagytengelye (lásd az I. kötet 15. §-át). A (110.16) szerinti hosszadalmas számolás eredménye, hogy

d d t = 8 k 4 m 1 2 m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 5 a 5 c 5 ( 1 e 2 ) 5 ( 1 + e cos ψ ) 4 [ 1 2 ( 1 + e cos ψ ) 2 + e 2 sin 2 ψ ] .

A forgási periódusra átlagolva a dt integrációs változó helyett dψ-t kell bevezetnünk. Kiintegrálva:

d ¯ d t = 3 2 k 4 m 1 2 m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 5 c 5 a 5 1 ( 1 e 2 ) 7 2 1 + 7 3 2 4 e 2 + 3 7 9 6 e 4 .

Figyeljük meg, hogy a sugárzás a pálya excentricitásának növekedésével rohamosan nő.

3. Határozzuk meg stacionáriusan mozgó gravitációs hullámokat kisugárzó soktest-rendszer impulzusmomentumának időegység alatt bekövetkező átlagos csökkenését.

Megoldás. A képletek egyszerűbb írásmódja kedvéért a testeket átmenetileg tekintsük pontszerű részecskékből álló halmazoknak. Az időegység alatt bekövetkező átlagos energiaveszteséget úgy adjuk meg, mint az egyes részecskékre ható f „súrlódási erők” munkáját:

13.47. egyenlet - (1)

d ¯ d t = f v ¯

(a részecskéket számozó indexeket nem írjuk ki). Az időegység alatti átlagos impulzusmomentum-veszteséget a

13.48. egyenlet - (2)

d J α ¯ d t = ( r × f ) α ¯ = e α β γ x β f γ ¯

képlet segítségével számíthatjuk ki [lásd a (75.7) képlet levezetését].

f meghatározása céljából írjuk fel az energiaveszteséget

d ¯ d t = k 4 5 c 5 Q ... α β Q ... α β ¯ = k 4 5 c 5 Q ̇ α β Q α β ( V ) ¯

alakban (felhasználtuk, hogy a teljes időderiváltak átlagértékei zérussal egyenlők). Behelyettesítve ide a Q̇αβ=∑m(3xαvβ+xβvα–2rvδαβ) kifejezést, (1)-gyel összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

f α = 2 k 1 5 c 5 Q α β V m x β .

Ezt (2)-be írva, az alábbi eredményt adódik:

13.49. egyenlet - (3)

d J α ¯ d t = 2 k 4 5 c 5 e α β γ Q α β ( V ) Q γ δ ¯ = 2 k 4 5 c 5 e α β γ Q ... β δ Q ̈ γ δ ¯ .

4. Két, ellipszis pályákon mozgó testből álló rendszer esetén határozzuk meg az időegység alatti átlagos impulzusmomentum-veszteséget.

Megoldás. Az előző feladat (3) képlete alapján, a 2. feladatban bemutatotthoz hasonló számítás az alábbi eredményre vezet:

d J z ¯ d t = 3 2 k 7 2 m 1 2 m 2 2 m 1 + m 2 5 c 5 a 7 2 1 ( 1 e 2 ) 2 1 + 7 4 e 2 .

Körpálya esetén (e=0) az Ėés J̇ értékek között fennáll az Ė=J̇ω összefüggés, amint azt vártuk.



[208] (110.1) egyenletekből ismét megkaphatjuk a  106. §-ban felhasznált, a testektől nagy távolságban levő gyenge, állandó erőtérre vonatkozó (106.1)(106.2) képleteket. Első közelítésben elhanyagoljuk az idő szerinti kétszeres deriválást (1∕c2-et) tartalmazó tagokat, τik komponensei közül pedig csak τ00=μc2-et tartjuk meg. A △ψαβ=0, △ψ0α=0, △ψ00=16πkμ∕c2 egyenletek végtelenben eltűnő megoldásai: ψαβ=0, ψ0α=0, ψ00=4φ∕c2, ahol φ a Newton-féle gravitációs potenciál [lásd a (99.2) egyenletet]. Ebből a hik=ψik–(1/2)ψδik tenzorra a (106.1)(106.2) értékek adódnak.

[209] (110.8) tenzor nem elégíti ki azokat a feltételeket, amelyek mellett a (107.12) képleteket levezettük. A vonatkoztatási rendszernek a hik-kat a szükséges mértékre hozó transzformációja azonban nem befolyásolja az itt használt (110.9) komponensek értékeit.

[210] E sugárzás szög-, polarizációs és spektrális eloszlását illetően lásd Phys. Rev. 131, 435 (1963)