Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

14. fejezet - RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA

14. fejezet - RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA

111 §. Izotrop tér

Az általános relativitáselmélet új utakat nyit a kozmikus méretekben tanulmányozott világ tulajdonságait érintő kérdések megoldásához. Az általa feltárt ragyogó új lehetőségek (amelyekre elsőként Einstein mutatott rá 1917-ben) a téridő nem-Galilei voltával kapcsolatosak.

Ezeket a lehetőségeket még fontosabbá teszi az a körülmény, hogy a Newton-féle mechanika olyan ellentmondásokra vezetett, amelyeket nem lehet elegendően általános alakban kikerülni a nemrelativisztikus elmélet keretei között. Így a gravitációs potenciál (96.3) Newton-féle képletét végtelen, sehol el nem tűnő átlagsűrűségű, egyébként tetszőleges anyageloszlású euklideszi térre alkalmazva (amilyen a tér a newtoni mechanikában), azt kapjuk, hogy a potenciál minden pontban végtelen. Ekkor az anyagra ható erők végtelen nagyok lennének, ami értelmetlenség.

Mielőtt hozzákezdenénk a relativisztikus kozmológiai modellek szisztematikus tárgyalásához, a kiindulásul vett alapvető téregyenletekkel kapcsolatban a következő megjegyzést tesszük.

93. §-ban a gravitációs tér hatásintegráljának definiálásakor feltételként felállított követelményeknek továbbra is eleget teszünk, ha a G skalárhoz egy állandó tagot adunk, azaz ha az

S g = c 3 1 6 π k ( G + 2 Λ ) g d Ω

kifejezést használjuk, ahol Λ egy új (cm2 dimenziójú) állandó. Ilyen módosítás az Einstein-egyenletekben egy új Λgik tag megjelenésére vezet:

R i k 1 2 R g i k = 8 π k c 4 T i k + Λ g i k .

Ha a Λ „kozmológiai állandónak” kis értéket tulajdonítunk, akkor egy ilyen tag jelenléte nem túl nagy téridő tartományokban nem módosítja lényegesen a gravitációs erőteret, viszont új típusú „kozmológiai megoldások” megjelenésére vezet, amelyek alkalmasak lehetnek a világnak mint egésznek leírására.[211] Jelenleg azonban semmilyen sürgős és meggyőző elméleti vagy kísérleti okunk nincs arra, hogy az eredeti téregyenleteket ilyen módon megváltoztassuk. Hangsúlyozzuk, hogy olyan módosításról lenne szó, amelynek nagyon mély fizikai jelentése van: egy, a tér állapotától teljesen független állandó beírása a Lagrange-sűrűségfüggvénybe azt jelentené, hogy a téridőnek egy elvileg sem kiküszöbölhető görbületet tulajdonítunk, amely egyaránt független az anyagtól és a gravitációs hullámoktól. E fejezetben a továbbiakban az összes kérdést az eredeti „klasszikus” Einstein-egyenletek alapján tárgyaljuk, a „kozmológiai állandó” bevezetése nélkül.

Mint ismeretes, a csillagok térbeli eloszlása egyáltalán nem egyenletes, azok csillagrendszerekbe (galaktikákba) csoportosulnak. A világegyetem „nagy méretekben” való tanulmányozása során azonban el kell vonatkoztatnunk az anyag csillagokba és csillagrendszerekbe történt tömörülése által létrehozott „helyi” inhomogenitásaitól. Ezért tömegsűrűségen a tér olyan tartományaira átlagolt sűrűséget kell értenünk, amelyek méretei jóval nagyobbak a galaktikák közötti távolságoknál.

Az Einstein-egyenletek alábbiakban (111114. §) vizsgálandó megoldásai – az úgynevezett izotrop kozmológiai modell (elsőként A. A. Friedmann állította fel 1922-ben) – azon a feltevésen alapulnak, hogy az anyag térbeli eloszlása homogén és izotrop. A meglevő csillagászati adatok nincsenek ellentmondásban egy ilyen feltevéssel.[212] Jelenleg minden okunk megvan annak feltételezésére, hogy az izotrop modell nemcsak a világegyetem jelenlegi állapotát, de főbb vonalaiban a múltbeli fejlődés jelentős szakaszát is helyesen írja le. A későbbiekben látni fogjuk, hogy e modell alaptulajdonsága a nemstacionárius jelleg. Kétségtelen, hogy ez a tulajdonság („a világegyetem tágulása”) a kozmológiai problémák szempontjából alapvető jelenségre, a „vöröseltolódásra” helyes magyarázatot ad (114. §).

Ugyanakkor világos, hogy az a feltevés, mely szerint a világmindenség homogén és izotrop, önmagában csak közelítő jellegű lehet, mivel ezek a tulajdonságok eleve sérülnek kisebb méretekre való áttérés esetén. A világmindenség inhomogenitásának a kozmológiai probléma különböző vonatkozásaiban játszott lehetséges szerepével kapcsolatos kérdésre a  115119. §-okban még visszatérünk.

A tér homogenitása és izotropiája azt jelenti, hogy minden időpillanatban lehet olyan világidőt választani, amelynél a tér metrikája minden pontban és minden irányban ugyanaz.

Foglalkozzunk mindenekelőtt az izotrop tér metrikájával, nem törődve egyelőre a metrika esetleges időfüggésével. Amint már az előzőekben is tettük, a háromdimenziós metrikus tenzort γαβ-val jelöljük, azaz a térbeli távolságelemet

14.1. egyenlet - (111.1)

d l 2 = γ α β d x α d x β

alakban írjuk fel.

A tér görbületét teljesen meghatározza háromdimenziós görbületi tenzor, amelyet Pαβγδ-val jelölünk, hogy az Riklm négydimenziós tenzortól megkülönböztessük. Teljes izotropia esetén a Pαβγδ tenzor nyilvánvalóan kifejezhető egyedül a γαβ metrikus tenzor segítségével, szimmetriatulajdonságai miatt pedig e függés csak

14.2. egyenlet - (111.2)

P α β γ δ = λ ( γ α γ γ β δ γ α δ γ β γ )

alakú lehet, ahol λ állandó szám. A Pαβ=Pγαγβ másodrendű tenzor, ennek megfelelően

14.3. egyenlet - (111.3)

P α β = 2 λ γ α β ,

a skalárgörbület pedig

14.4. egyenlet - (111.4)

P = 6 λ .

Azt látjuk tehát, hogy az izotrop tér görbületi tulajdonságait mindössze egyetlen állandó határozza meg. Ennek megfelelően a térbeli metrikának mindössze három, lényegesen különböző esete lehetséges: 1. az állandó pozitív görbületű tér (λ pozitív értékeinek megfelelően); 2. az állandó negatív görbületű tér (λ<0 értékeknek megfelelően) és 3. a zérus görbületű tér (λ=0). A legutolsó eset az euklideszi tér.

A metrika tanulmányozása során célszerű geometriai analógiából kiindulni, az izotrop háromdimenziós tér geometriáját egy (valamilyen fiktív négydimenziós térben fekvő)[213] eleve izotrop hiperfelület geometriájának tekintve. Ilyen felület a hipergömb; a neki megfelelő háromdimenziós kontínuum pedig egy állandó pozitív görbületű tér. Az a sugarú hipergömb egyenlete az x1, x2, x3, x4 négydimenziós koordináta-rendszerben

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 = a 2

alakú, a felületén levő ívelemet a

d l 2 = d x 1 2 + d x 2 2 + d x 3 2 + d x 4 2

kifejezés adja.

Az x1, x2, x3 koordinátákat választva a három térkoordinátának és dl2-ből az első egyenlet segítségével kiküszöbölve a fiktív x4 koordinátát, a térbeli távolságelemre az alábbi képletet kapjuk:

14.5. egyenlet - (111.5)

d l 2 = d x 1 2 + d x 2 2 + d x 3 2 + ( x 1 d x 1 + x 2 d x 2 + x 3 d x 3 ) 2 a 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 .

E kifejezést használva, könnyű kiszámítani a (111.2)-ben szereplő λ állandót. Mivel már az eddigiekből tudjuk, hogy a Pαβ tenzor a tér minden pontjában (111.3) alakú, így elegendő azt egy, az origó közelében levő pontban kiszámítani, ahol fennáll a

γαβ=δαβ+xαxβa2

egyenlőség.

γ α β első deriváltjai és velük együtt a Γβγα mennyiségek is zérussá válnak a koordinátarendszer origójában, így a (92.7) általános képlet szerinti számolás nagyon egyszerűnek bizonyul, és a

14.6. egyenlet - (111.6)

λ = 1 a 2

eredményre vezet.

Az a mennyiséget a tér „görbületi sugarának” nevezhetjük. Az x1, x2, x3 koordináták helyett vezessük be a nekik megfelelő r, 𝜃, φ „gömbi” koordinátákat. Ekkor az ívelem alakja:

14.7. egyenlet - (111.7)

d l 2 = d r 2 1 r 2 a 2 + r 2 ( sin 2 𝜃 d φ 2 + d 𝜃 2 ) .

Természetesen a tér bármelyik pontját választhatjuk origónak. A kör kerülete ezekben a koordinátákban 2πr, a gömb felülete pedig 4πr2. Ugyanakkor a kör (vagy a gömb) „sugara” az

0rdr1r2a2=aarcsinra

kifejezéssel egyenlő, azaz r-nél nagyobb. A kerület hosszának a sugárhoz való viszonya tehát 2π-nél kisebb.

d l 2 egy másik előnyös alakját a „négydimenziós gömbkoordinátákkal” lehet megadni, amelyeket akkor kapunk meg, ha r helyett az r=asinχ helyettesítéssel bevezetjük a χ „szöget”[214] (amely 0-tól π-ig változik):

14.8. egyenlet - (111.8)

d l 2 = a 2 [ d χ 2 + sin 2 χ ( sin 2 𝜃 d φ 2 + d 𝜃 2 ) ] .

A χ koordináta az origótól való távolságot méri, ami aχ-vel egyenlő. A gömb felülete ezekben a koordinátákban 4πa2sin2χ. Látjuk, hogy az origótól távolodva, a gömbfelület nagysága addig nő, míg a πa∕2 távolságban el nem éri a 4πa2 maximumát. Ezután az csökkenni kezd, és ponttá zsugorodik a tér „ellentétes pólusában”, πa távolságban, ami ilyen térben a lehető legnagyobb távolság. [Mindez természetesen (111.7)-ből is látható, ha figyelembe vesszük, hogy az r koordináta a-nál nagyobb értékeket nem vehet fel.]

A pozitív görbületű tér térfogata a

V = 0 2 π 0 π 0 π a 3 sin 2 χ sin 𝜃 d χ d 𝜃 d φ

integrállal adható meg, amiből

14.9. egyenlet - (111.9)

V = 2 π 2 a 3 .

A pozitív görbületű tér tehát „önmagába zárt”, térfogata véges, de természetesen határa nincs.

Érdekes megfigyelni, hogy a zárt térben az elektromos össztöltésnek nullának kell lennie. Valóban, a véges térben minden zárt felület mindkét oldalról a tér véges tartományait fogja körül. Ezért az elektromos térerősségnek ezen a felületen áthaladó fluxusa egyrészt megegyezik a felület belsejében levő össztöltéssel, másrészt pedig a felületen kívüli, ellentétes előjellel vett töltéssel. Ezért a felület két oldalán levő töltések összege zérus.

Hasonlóan a négyesimpulzus felületi integrál alakjában adott (96.16) kifejezésből következik, hogy az egész térben levő eredő Pi négyesimpulzus zérus. Így a teljes négyesimpulzus definíciója lényegében értelmét veszti, mivel a neki megfelelő megmaradási tétel az üres 0=0 azonosságba megy át.

Vizsgáljuk meg ezután az állandó negatív görbületű tér geometriáját. (111.6)-ból látjuk, hogy a λ állandó akkor válik negatívvá, ha a képzetes. Ezért az összes negatív görbületű térre vonatkozó képletet közvetlenül megkaphatjuk az előzőekből, ha azokban a-t ia-ra változtatjuk. Más szóval, a negatív görbületű tér geometriáját matematikailag úgy lehet megkapni, mint a képzetes sugarú négydimenziós pszeudogömb felületének geometriáját.

Ily módon a λ állandó most a

14.10. egyenlet - (111.10)

λ = 1 a 2

kifejezéssel adható meg, a negatív görbületű tér hosszúságelemét r, 𝜃, φ koordinátákban pedig a

14.11. egyenlet - (111.11)

d l 2 = d r 1 + r 2 a 2 + r 2 ( sin 2 𝜃 d φ 2 + d 𝜃 2 )

képlet szolgáltatja, ahol az r koordináta 0-tól ∞-ig minden értéket felvehet. A kerületnek a sugárhoz való viszonya ebben az esetben nagyobb, mint 2π. A dl2(111.8)-nak megfelelő kifejezését a χ koordinátának r=ashχ szerinti bevezetésével kaphatjuk meg (χ itt 0-tól ∞-ig változik). Ekkor

14.12. egyenlet - (111.12)

d l 2 = a 2 { d χ 2 + sh 2 χ ( sin 2 𝜃 d φ 2 + d 𝜃 2 ) } .

A gömb felülete most 4πa2sh2χ-vel egyenlő, és az origótól távolodva (χ-t növelve) minden határon túl nő. A negatív görbületű tér térfogata nyilvánvalóan végtelen.

Feladat

Hozzuk a (111.7) hossznégyzetet euklideszi kifejezésével arányos alakra (konform-euklideszi koordináták).

Megoldás. Az

r = r 1 1 + r 1 2 4 a 2

helyettesítés a

d l 2 = 1 + r 1 2 4 a 2 2 ( d r 1 2 + r 1 2 d 𝜃 2 + r 1 2 sin 2 𝜃 d φ 2 )

eredményre vezet.



[211] A többi között stacionárius megoldások is fellépnek, amelyek Λ=0 esetén nem léteznek. Einstein éppen ezért vezette be a „kozmológiai tagot”, mielőtt még Friedmann a téregyenletek nemstacionárius megoldásait felfedezte.

[212] A galaktikák térbeli eloszlásával és az izotropiával, az úgynevezett maradványsugárzással kapcsolatos adatokra gondolunk.

[213] Ennek természetesen, semmi köze sincs a négydimenziós téridőhöz.

[214] Az x1, x2, x3, x4 Descartes-koordináták az a, 𝜃, φ, χ négydimenziós gömbi polárkoordinátákkal az alábbi kapcsolatban vannak:

x1=a sinχ sin𝜃 cosφ,x2=a sinχ sin𝜃 sinγ,x3=a sinχ cos𝜃,x4=a cosχ.